河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题

河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题

豫西名校 2019—2020 学年上期第一次联考 高二数学试题 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 1.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 则 （ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正弦定理 ，可直接求出 的值. 【详解】在 中，由正弦定理得 ，所以 ， 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力， 属于基础题。 2.已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，2+a5＝a6+a3，则 S7＝（） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算 ,在利用公式求出 【详解】2+a5＝a6+a3 ， ,选 C. 【点睛】本题考查等差中项，属于简单题。 ABC∆ A B C a b c 3A π= 4B π= 3 2a = b = 2 3 3 3 sin sin a b A B = b ABC∆ sin sin a b A B = 3 2 sinsin 4 2 3sin sin 3 a Bb A π π ⋅⋅= = = 4a 7S 4 2a⇒ = 1 7 7 4 7( )= 7 142 a aS a + = = 3.当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 2 m 的竹竿如图所示放置，要使它的影子最 长，则竹竿与地面所成的角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 xm．由正弦定理，求得 ，即可 得到答案． 【详解】设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 x m． 由正弦定理，得 ，所以 ， 因为 ，所以当 ，即 时，x 有最大值, 故竹竿与地面所成的角为 时，影子最长．故选 A． 【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、 余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，着 重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4.在等比数列 中， ， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 将 转化为关于 和 q 的算式，计算出 q 即可求出 ． 【详解】因为 ＝q4， 60° 30° 60° 45° 90° α 4 3 sin(120 )3x α= °− α 2 =sin 60 sin(120 ) x α−  4 3 sin(120 )3x α= °− 30 120 120α° < °− < ° 120 90α°− = ° 30α = ° 30° { }na 1 3 1a a+ = 5 7 9 11 20a a a a+ + + = 1a = 1 6 1 3 5 7 9 11 20a a a a+ + + = 1 3a a+ 1a ( ) 4 5 7 1 3a a a a q+ = + ( ) 8 9 11 1 3a a a a q+ = + 所以 q8+q4＝20， 所以 q4＝4 或 q4＝﹣5（舍）， 所以 q2＝2， ＝1， 所以 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的 性质的应用，比较基础． 5.已知数列 通项公式为 ，要使数列 的前 项和 最大，则 的值为 A. 14 B. 13 或 14 C. 12 或 11 D. 13 或 12 【答案】D 【解析】 【分析】 由 题 可 得 ： 数 列 是 以 为 首 项 ， 公 差 的 等 差 数 列 ， 即 可 求 得 ，利用二次函数的性质即可得解。 【详解】因为 ，所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列， 所以 由二次函数的性质可得：当 或 时， 最大 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前 项和公式，还考查了二次函数 的性质及计算能力，属于中档题。 6.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 的 1 3a a+ 2 1 1a a q= + = 13a 1a 1 3 = { }na 26 2na n= − { }na n nS n { }na 1 24a = 2d = − 2 25nS n n= − + 26 2na n= − { }na 1 24a = 2d = − ( ) 2 1 1 252n n nna d n nS −= + = − + 13n = 12 nS n ABC△ 2 cos cosb c B b C= + a b = 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简已知条件，求得 ，进而得到 ，由此求得正确选项. 【详解】在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，由 正弦定理得 ，由正弦定理有 ， 故 ．故选 B. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查两角和的正弦公式以及三角形内 角和定义，属于基础题. 7.数列 中， ， ，则 （　　） A. 32 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 把 化成 ，故可得 为等比数列，从而得到 的值. 【详解】数列 中， ，故 ， 因为 ，故 ，故 ， 所以 ，所以 为等比数列，公比为 ，首项为 . 所以 即 ，故 ，故选 C. 【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求 得），常见的递推关系和变形方法如下： （1） ，取倒数变形为 ； （2） ，变形为 ，也可以变形为 2sin sinB A= 2b a= ABC△ 2 cos cosb c B b C= + 2sin sin cos sin cos sin( ) sinB C B B C B C A= + = + = 2b a= 2a b = { }na 1 2 1n na a+ = + 1 1a = 6a = 1 2 1n na a+ = + ( )1 1 2 1n na a+ + = + { }1na + 6a { }na 1 2 1n na a+ = + ( )1 1 2 1n na a+ + = + 1 1a = 1 1 2 0a + = ≠ 1 0na + ≠ 1 1 21 n n a a + + =+ { }1na + 2 2 1 2n na + = 2 1n na = − 6 63a = 1 1 n n n paa qa p − − = + 1 1 1 n n q a a p− − = ( )1 0n na q pp qa − + ≠= ( )1 1 0, 1n n n n n a q pq pp p a p − − + ≠ ≠= ； 8.设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，已知 的面积 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简已知的等式得到 ，利用同角三角函数基本关系式可求 的 值，进而利用三角形面积公式即可得解 的值． 【详解】 ， 变形为： ， 又 为三角形的内角， ， ，即 ， 为三角形的内角，可得： ， ， ， 解得： ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式在解三角 形中的应 用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题． 9.已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和， ，且 ， ， 构 成等比数列，则 （　　） A. 15 B. -15 C. 30 D. 25 11 1n na q pp aq p −−  =   − − − ABC△ A B C， ， a b c， ， 3 cos 4a C csin A= ABC△ 1 sin 102S bc A= = 4b = a 23 3 28 3 26 3 25 3 tanC sinC a  sin sin a c A C = 4 sin 3 cosc A a C∴ = 4sin sin 3sin cosC A A C= A sin 0A∴ ≠ 4sin 3cosC C∴ = 3tan 4C = C 3sin 5C = 4b = 1 1 310 sin 42 2 5S ab C a= = = × × × ∴ 25 3a = { }na nS n 3 9S = 2 1a − 3 1a − 5 1a − 5S = 【答案】D 【解析】 【分析】 设等差数列 的公差为 ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公 差，再由等差数列的前 项和公式求解． 【详解】解：设等差数列 公差为 ， 由题意， ，解得 ． ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前 项和，考查等比数列的性质，是基础题． 10.在 中，角 的对边分别是 ，若 ， 则 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 在 中利用正弦定理和二倍角公式能求出角 ，再依据余弦定理列出 关于角 的关系式，化简即得。 【详解】∵ ， ∴由正弦定理可得 ，即 . 由于 ，∴ .∵ ， 的 { }na ( )0d d ≠ n { }na ( )0d d ≠ ( ) ( )( ) 1 2 1 1 1 3 3 9 2 1 1 4 1 a d a d a d a d + = + − = + − + − 1 1 2 a d =  = 5 5 4 25 1 252S × ×= × + = n ABC∆ A B C， ， a b c， ， sin 2 2 sin 0 2b A a B b c+ = =， c a 3 3 5 5 7 7 sin 2 2 sin 0b A a B+ = A A sin 2 2 sin 0b A a B+ = sin sin 2 2 sin sin 0B A A B+ = 2sin sin cos 2 sin sin 0B A A A B+ = sin sin 0B A ≠ 2cos 2A = − 0 A π< < ∴ .又 ， 由余弦定理可得 ，∴ .故选 C. 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换。 11.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，…，9 填入 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15.一般地，将连续的正整数 填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正 方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上的数字之和为 ，如图三阶幻方的 ，那么 的值为（ ） A. 41 B. 45 C. 369 D. 321 【答案】C 【解析】 【分析】 推导出 ，由此利用等差数列求和公式能求出结果． 【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， ， ， ， ． 3 4A π= 2b c= 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 2 5a b c bc A c c c c= + − = + + = 5 5 c a = 3 3× 21,2,3, ,n n n× n n nN 3 15N = 9N 21 (1 2 3 4 5 )nN nn = + + + + +…+ 3 1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N = + + + + + + + + = 4 1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N = + + + + + + + + + + + + + + + = 5 1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = … 2 2 2 21 1 (1 ) ( 1)(1 2 3 4 5 ) 2 2n n n n nN nn n + +∴ = + + + + +…+ = × = 故 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前 项和公式，本题解题的关键是应用 等差数列的性质来解题． 12.在 中，已知角 的对边分别为 ，若 ， ， ， ，且 ，则 的最小角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理求出 和 的表达式，由 ，结合正弦定理 得出 的表达式，利用余弦定理得出 的表达式，可解出 的值， 于此确定 三边长，再利用大边对大角定理得出 为最小角，从而求出 。 【详解】 ，由正弦定理 ，即 ， ， ， ， 解得 ，由大边对大角定理可知角 是最小角，所以， ，故选：D。 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结 合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分〉 13.在数列 中， ， ， ，则 ______． 2 9 9(9 1) 9 41 3692N += = × = n ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1a n= + b n= 1c n= − n∈ +N 2A C= ABC∆ 2 5 3 5 1 2 3 4 cos A cosC 2A C= sin sin c a C A = 2sin cos a C C = cosC cosC n ABC∆ C cosC 2A C= sin sin c a C A = sin sin 2 2sin cos c a a C C C C = = ( ) 1cos 2 2 1 a nC c n +∴ = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 2 2 1 1 4cos 2 2 1 2 1 n n na b c nC ab n n n + + − −+ − += = =+ + ( ) ( ) 1 4 2 1 2 1 n n n n + +∴ =− + 5n = C 6 3cos 2 4 4C = =× { }na 1 1a = 2 5a = ( )* 2 1n n na a a n N+ += − ∈ 2020a = 【答案】 【解析】 【分析】 利用递推公式可验证出数列 为周期为 的周期数列，从而可得 . 【详解】令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 数列 为周期为 的周期数列 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列 为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简. 14.记 为等差数列 的前 n 项和，公差 ， ， ， 成等比数列，则 ________． 【答案】-8 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质得到 ，将其转化为 来表示，解方程求得 的值，进而求得 的值. 【详解】等差数列 的公差 ， ， ， 成等比数列，可得 ，即为 ，解得 ，则 ． 故填： . 1− { }na 6 2020 4 1a a= = − 1n = 3 2 1 5 1 4a a a= − = − = 2n = 4 3 2 4 5 1a a a= − = − = − 3n = 5 4 3 1 4 5a a a= − = − − = − 4n = ( )6 5 4 5 1 4a a a= − = − − − = − 5n = ( )7 6 5 4 5 1a a a= − = − − − = 6n = ( )8 7 6 1 4 5a a a= − = − − = ∴ { }na 6 2020 336 6 4 4 1a a a× +∴ = = = − 1− nS { }na 2d = 1a 3a 4a 8S = 2 3 1 4a a a= 1,a d 1a 8S { }na 2d = 1a 3a 4a 2 3 1 4a a a= ( ) ( )2 1 1 14 6a a a+ = + 1 8a = − 8 18 ( 8) 8 7 2 82S = × − + × × × = − 8− 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，考查等差数列前 项 和的求法，属于基础题. 15.在 中，内角 ， ， 所对应的边长分别为 ， ， ，且 ， ，则 的外接圆面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到 ，再根据 计算 得到答案. 【详解】由正弦定理知： ， 即 ， ， ， 即 .故 . 故答案为 【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力. 16.设锐角 三个内角 所对的边分别为 ,若 ， ，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先 利 用 余 弦 定 理 化 简 得 ， 再 利 用 正 弦 定 理 求 出 ，再结合 B 的范围求出 c 的范围. 【 详 解 】 由 及 余 弦 定 理 可 得 n ABC∆ A B C a b c 2 2cos 3C = cos cos 2b A a B+ = ABC∆ 9π ( ) 1sin sinA B C R + = = 2 2cos 3C = 1sin 3C = cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2b A a B R B A R A B+ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ( ) 1sin sinA B C R + = = 2 2cos 3C = 1sin 3C = 3R = 2 9S Rπ π= = 9π ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 3( cos cos ) 2 sina B b A c C+ = 1b = c 3 32       ， ( )3 cos cos 2 sina B b A c C+ = 3C π= sin 3 sin 2sin b Cc B B = = 3( cos cos ) 2 sina B b A c C+ = ，即 ，所以 ．又 为锐角三角形，所以 ． 由正弦定理可得 ．由 且 可得 ， 所以 ，所以 ，即 ．故 的取值范围为 ． 故答案为： 【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考 查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要 注意考查 B 的范围，否则会出错. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，且 ， ， 成等比数列，求 k 的值． 【答案】（1） ； （2）4. 【解析】 【分析】 （1）设等差数列 的公差为 d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解． （2）由（1），求得 ，再根据 ， ， 成等比数列，得到关于 的方程， 即可求解． 2 2 2 2 2 2 3( )2 2 a c b b c aa bac bc + − + −⋅ + ⋅ = 2 sinc C 3 2 sinc c C= 3sin 2C = ABC△ 3C π= sin 3 sin 2sin b Cc B B = = 0 2B π< < 20 3 2B π π< − < 6 2B π π< < 1 sin 12 B< < 3 3 32 2sin B < < 3 32 c< < c 3( , 3)2 3( , 3)2 { }na nS 2 4 6a a+ = 6 3a S= { }na *k N∈ ka 3ka 2kS na n= { }na ( )1 2n n nS += ka 3ka 2kS k 【详解】（1）设等差数列 的公差为 d， 由题意可得： ，解得 ． 所以数列 的通项公式为 ． （2）由 知 ， 因 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记 等差数列的通项公式和前 n 项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题． 18.已知数列 满足 ，其前 项和为 ，当 时， ， ， 成等差 数列. （1）求证 为等差数列； （2）若 ， ，求 . 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 (1)根据等差数列的概念得到 ，变形化简得到 ，则 ，得证；（2）根据第一问得到的结论得到 ，即 ，由 得 ，即 ，联立两式求解. 【详解】（1）当 时，由 ， ， 成等差数列得： ， 即 ，即 ，则 ， 又 ，故 是公差为 1 的等差数列. 为 { }na 1 1 1 1 3 6 5 3 3 a d a d a d a d + + + =  + = + 1 1 1 a d =  = { }na 1 1na n n= + − = 1（） ( )1 2n n nS += ka 3ka 2kS 2 3 2k k ka a S= ⋅ ( )29 2 1k k k k= ⋅ + 4k = { }na 2 1 1a a− = n nS 2n 1 1nS − − nS 1nS + { }na 0nS = 1 4nS + = n 7n = 1 12 1n n nS S S− += − + 11n na a += − + ( )2n ≥ 1 1n na a+ − = 1 4na + = 1 4a n+ = 0nS = ( ) 1 1 02 n nna −+ = 1 1 02 na −+ = 2n ≥ 1 1nS − − nS 1nS + 1 12 1n n nS S S− += − + 1 11n n n nS S S S− +− = − + − 11n na a += − + ( )2n ≥ 1 1n na a+ − = ( )2n ≥ 2 1 1a a− = { }na （2）由（1）知数列 公差为 1，由 ， 得 ，即 ， 由 得 ，即 ，联立解得： . 【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用,以及等差数列的通项公式的应用. 19.等差数列 前 项和为 ，且 ， ． （1）求 的通项公式 ； （2）数列 满足 且 ，求 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列 中 ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方 程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得 ，利用裂项相消法求和即可得结果. 【详解】（1）等差数列 公差设为 ，前 项和为 ，且 ， ． 可得 ， ， 解得 ， ， 可得 ； （2）由 ， 可得 ， ， 的 { }na 0nS = 1 4nS + = 1 4na + = 1 4a n+ = 0nS = ( ) 1 1 02 n nna −+ = 1 1 02 na −+ = 7n = { }na n nS 4 32S = 13 221S = { }na na { }nb ( )* 1n n nb b a n N+ − = ∈ 1 3b = 1 nb       n nT 2 3na n= + 1 3 1 1 2 2 1 2nT n n  = − − + +  { }na 4 32S = 13 221S = 1a d 1a d { }na 1 1 1 1 2 2nb n n  = − +  { }na d n nS 4 32S = 13 221S = 14 6 32a d+ = 113 78 221a d+ = 1 5a = 2d = ( )2 1 25 3n n na + − = += 1 2 3n n nb b a n+ − = = + ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1n n nb b b b b b b b −= + − + − +…+ − 13 5 7 2 1 (2 4) ( 2)2n n n n n= + + +…+ + = + = + 1 1 1 1 2 2nb n n  = − +  则前 项和 ． 【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项 相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题， 导致计算结果错误. 20.在 中,角 所对的边分别为 ,满足 ． （1）求 值； （2）若 ，求 的取值范围 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合 ，可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 的值．（2）由 （1）可求 ，又由 ，利用余弦定理可得 ，结合范围 ，利用二次函数的性质可求 的范围． 【详解】（1）因为 的 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n  = − + − + − + + − + − − + +  1 3 1 1 2 2 1 2n n  = − − + +  ( ) 1 1 1 1 n n k k n n k  = − + +  1 n k n+ + ( )1 n k nk = + − ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n  = − − + − +  ( ) 1 1 1 1 2 2 2n n n n  = − + +  ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cos cos 2 2 sin cosC A B A B+ = cos B 2a c+ = b 1 3 2 3 ,23      sin sin 2 2 sin cosA B A B= sin 0A ≠ sin 2 2 cosB B= cos B 1cos 3B = 2a c+ = 2 28 4( 1)3 3b a= − + 0 2a< < b cos cos cos 2 2 sin cosC A B A B+ = 所以 ， 即 因为 ，所以 又因为 解得： . （2）∵ ，可得 ， 由余弦定理可得： ∵ ，∴ 所以 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形 中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 21.已知数列 前 n 项和 ，点 在函数 的图象上． (1)求 的通项公式； (2)设数列 的前 n 项和为 ，不等式 对任意的正整数恒成立，求 实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到 .利用 ， 可求得数列的通项公式为 .（2）利用裂项求和法求得 . 为 cos( ) cos cos 2 2 sin cosA B A B A B− + + = sin sin 2 2 sin cosA B A B= sin 0A ≠ sin 2 2 cos 0B B= > 2 2sin cos 1B B+ = 1cos 3B = 2a c+ = 2c a= − 2 2 2 2 2 22 cos 3b a c ac B a c ac= + − = + − 2 2 22 8 4(2 ) (2 ) ( 1)3 3 3a a a a a= + − − − == − + 0 2a< < 2 3 23 b≤ < b 2 3 ,23      { }na nS ( )( )*, nn S n N∈ 21 1 2 2y x x= + { }na 2 1 n na a +       nT 1 log (1 )3n aT a> − na n= 1(0, )2 21 1 2 2nS n n= + 1 1 , 1{ , 1n n n S na S S n− == − > na n= 3 1 1 1 4 2 1 2nT n n  = − + + +  nT 递增的数列，当 时有最小值为 ，所以 ，解得 . 试题解析： （1） 点 在函数 的图象上， .① 当 时， ，② ①-②得 . 当 时， ，符合上式. ． （2）由（1）得 ， ． ， 数列 单调递增， 中的最小项为 . 要使不等式 对任意正整数 恒成立， 只要 ， 即 . 解得 ， 1n = 1 3 ( )1 1 log 13 3 a a> − 10, 2a  ∈    ( ), nn S ( ) 21 1 2 2f x x x= + 21 1 2 2nS n n∴ = + 2n ≥ ( ) ( )2 1 1 11 12 2nS n n− = − + − na n= 1n = 1 1 1a S= = ( )* na n n N∴ = ∈ ( )2 1 1 2n na a n n+ = + 1 1 1 2 2n n  = − +  1 3 2 4 2 1 1 1 n n n T a a a a a a + ∴ = + + + 1 1 1 1 1 112 3 2 4 2n n  = − + − + + − +  3 1 1 1 4 2 1 2n n  = − + + +  ( )( )1 1 01 3n nT T n n + − = >+ + ∴ { }nT { }nT∴ 1 1 3T = ( )1 log 13n aT a> − n ( )1 1 log 13 3 a a> − ( )log 1 loga aa a− < 10 2a< < 即实数 的取值范围为 . 点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前 项和 ，求数列通项 的方法，即用公 式 .要注意验证当 时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项 是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了 数列的单调性和恒成立问题的解法. 22.已知 中 ，角 的对边分别为 ． （1）若 依次成等差数列，且公差为 2，求 的值； （2）若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 成等差数列，且公差为 ，可得 ，利用余弦定理可构造关于 的方程，解方程求得结果；（2）设 ，利用外接圆面积为 ，求得外接圆的半径 ．根 据正弦定理，利用 表示出三边，将周长表示为关于 的函数 ，利用三角函数的值域求 解方法求得最大值. 【详解】（1） 依次成等差数列，且公差为 ， ，由余弦定理得： 整理得： ，解得： 或 又 ，则 a 10, 2      n nS na 1 1 , 1{ , 1n n n S na S S n− == − > 1n = ABC△ 2 3ACB π∠ = , ,A B C , ,a b c , ,a b c c ABC△ π ABC△ 7c = 2 3+ , ,a b c 2 2b a c b− = − = c B θ= π R θ θ ( )f θ , ,a b c 2 2b a c b∴ − = − = 2b c∴ = − 4a c= − 2 3ACB π∠ = ( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 4 22 1cos 3 2 2 2 4 2 c c ca b c ab c c π − + − −+ −= = = −− − 2 9 14 0c c− + = 7c = 2c = 4 0a c= − > 4c > 7c∴ = （2）设 ，外接圆的半径为 ，则 ，解得： 由正弦定理可得： 可得： ， ， 的周长 又 当 ，即： 时， 取得最大值 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值 的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理 能力与计算能力，属于中档题． B θ= R 2Rπ π= 1R = 2 2sin sin sin a b c RA B C = = = = 22sin sinsin 33 b a c ππθ θ ∴ = = = −   2sinb θ= 2sin 3a θπ = −   3c = ABC∆∴ ( ) 2sin 2sin 33f a b c πθ θ θ = + + = + − +   2sin 2sin cos 2cos sin 3 sin 3 cos 3 2sin 33 3 3 π π πθ θ θ θ θ θ = + − + = + + = + +   πθ 0, 3 æ öç ÷Î ç ÷è ø 2 3 3 3 π π πθ∴ < + < ∴ 3 2 π πθ + = 6 πθ = ( )f θ 2 3+