2020届二轮复习空间向量学案（全国通用）

2020届二轮复习空间向量学案（全国通用）

空间向量 在空间中，具有大小和方向的量，仍叫向量．平面向量的集合只是空间向量集合的子集．平面 向量的概念与运算可以推广的空间向量中．可以通过空间向量和空间向量的运算研究空间图形 的性质． 空间向量的概念与表示  ​ 空间向量的概念及表示方法 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向 量的大小叫做向量的长度或模（modulus）． 向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母 表示，如 ． 长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unit vector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同 且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．  空间向量的加减运算 ①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则； ②空间向量的加减运算满足交换律及结合律： ， ．  空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘 （multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍． 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律： ，结合律： ．  空间向量基本定理 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）． 共线向量定理 空间任意两个向量 ， （ ）， 的充要条件是存在实数 ，使 ． 为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线，对空间任意一点 ，点 在直线 上 的充要条件是存在实数 ，使 ，其中向量 叫做直线 的方向向量（direction vector）． （2）平行于同一平面的向量叫做共面向量（coplanar vectors）． 共面向量定理 如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 ， 共面的充要条件是，存在唯 一的一对实数 ， ，使 ． ​ ​ ​ ​ （3）空间向量分解定理 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存 在一个唯一的有序实数组 ， ， 使 ．​ 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一一个有序实数组 ǡǡ ，使 得 ．如果三个向量 ， ， 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 ǡǡǡ ．这个集合可看作是由向量 ， ， 生成的，我们把 ǡǡ 叫 做空间的一个基底（base）， ， ， 都叫做基向量（base vectors）．空间任何三个不共面向 量都可构成空间的一个基底．  空间向量的数量积运算 已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ǡ ．如果 ǡ π ，那么向量 ， 互相垂直，记作 ． 已知两个非零向量 ， ，则 cosǡ 叫做 ， 的数量积（inner product），记作 ．即 cosǡ ． 零向量与任何向量的数量积为 ． 特别地， cosǡ ． 空间向量的数量积满足如下的运算律： ； （交换律）； （分配律）． 空间向量的坐标运算  空间向量的基本定理 ， ， 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底）， 分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ．对于 空间任意一个向量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到 ．由空间 向量的基本定理可知，存在有序实数组 ǡǡ ，使得 ，我们把 ， ， 称作向量 在单位正交基底 ， ， 下的坐标，记作 ǡǡ ．​  空间向量的坐标运算 设 ǡǡ ， ǡǡ ，则 ǡ ǡ ， ǡ ǡ ， ǡǡ ， ． ǡ ǡ （ ）； ； ； cosǡ ． 在空间直角坐标系中，已知点 ǡǡ ， ǡǡ ，则 ， 两点间的距离 ． 空间向量的应用 通过建立空间直角坐标系，或直接用空间向量的方法去解决立体几何相关的问题 精选例题 空间向量 1. 已知向量 ǡǡ ， ǡ ǡ Ͷ ， ，若 ，则 ǡ ． 【答案】 2. 向量 是平面 的法向量，且 也是直线 的一个方向向量，则 与 的关系是 ． 【答案】 3. 已知空间四边形 空间 的每条边和对角线的长都等于 ，点 ， 分别是 间 ， 间空 的中点， 则向量 与 的数量积是 ． 【答案】 4. 从空间一点 发出三条射线 ， ， 空 ，在 ， ， 空 上分别取 ， ， ，点 在 上，且 ， 为 的中点，则 ． 【答案】 5. 已知平行六面体 空间 空间 ，则下列四式中：① 空 空 ；② 空 空 空空 ；③ 空空 ；④ 空 空空 空 ．其中正确的有 ． 【答案】 ①②③ 6. 如图所示，设 是 空间 所在平面外一点， 是 空间 的重心．求证： 空 间 ． 【解】 连接 ，延长后交 空间 于 ，由 为 空间 的重心， 则 ． 因为 为 空间 的中点， 所以 空 间 ，于是 空 间 空 间 空 间 7. 如图，矩形 空间 中， 间 ，将其沿 空 翻折，使点 间 到达点 的位置，且二面 角 空 为直二面角． (1)求证：平面 空 平面 空 ； 【解】 因为二面角 空 为直二面角， 空 ， 所以 空 平面 ． 所以 空 ． 因为 空 ， 空 空 空 ， 所以 平面 空 ， 所以平面 空 平面 空 ． (2)设 是 的中点，二面角 空 的平面角的大小为 ，当 ǡ 时，求 cos 的 取值范围． 【解】 ①如图，以 为坐标原点，以 间 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系， 则 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡǡ ， 则 ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 设平面 空 的法向量为 ǡǡ ， 则 ǡ 取 ，则 ǡǡ ， 同理设平面 空 的法向量为 ǡ ǡ ， 所以 cos ． 因为 ǡ ， 所以 cos ǡ ． ②过 作 空 于 ，过 作 空 于 ，连 ，则 空 ， 则二面角 空 的平面角为 ． 因为 空 ， 所以 为 空 的中点． 所以 ． 由 空 空 ，得 ， 所以 ． 所以 cos ． 因为 ǡ ， 所以 cos ǡ ． 8. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡǡ ， 为原点，点 在直线 上运动，求当 取得最小值时，点 的坐标． 【解】 由点 在直线 上，设 ǡǡ ， 则 ǡ ǡ ， ǡ ǡ ． 所以 Ͷ Ͷ ， 所以当 时， 取得最小值， 此时点 ǡ ǡ ． 9. 在平行六面体 空间 空间 中，点 是棱 的中点，点 在对角线 空 上，且 空 ，设 空间 ， 空 ， 空空 ，试用向量 ， ， 表示向量 空 ， 空 ， 空 ， 空 ． 【解】 空 ， 空 空 ， 空 空 ， 空 ． 10. 在空间四边形 空间 中，对角线 空 和 间 的中点分别是 和 ．求证： 空 间 空间 ． 【解】 取 空间 的中点 ，则 间 空 ． 从而 间 空 ． 同理可证 空间 ． 以上两式相加得 空 间 空间 ． 空间向量的概念与表示 1. 给出下列命题： ① 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底； ② 已知向量 ，则 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③ ， ， ， 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底，那么 ， ， ， 共面； ④ 已知向量组 ǡǡ 是空间的一个基底，若 ，则 ǡǡ 也是空间的一个基底． 其中正确的有 ． 【答案】 ①②③④ 2. 已知正方体 空间 空间 ，点 ， 分别是上底面 空间 和侧面 空空间间 的中心， 若 间 ，则 ． 【答案】 3. 如图，在空间平移 空 到 空 ，连接对应顶点，设 ， ， 空 ， 是 空 的中点， 是 空 的中点，则 ， ． 【答案】 ； 4. 设向量 与 互相垂直，向量 与它们构成的角都是 Ͷ ，且 ， ， ，那 么 ； ． 【答案】 Ͷ ； 5. 已知 是 空 的重心， 是空间任意一点，若 空 ，则 的值 为 ． 【答案】 6. 如图所示，已知矩形 空间 ， 是平面 空间 外一点，且 平面 空间 ， ， 分别为 空 ， 间 上的点，且 空 ， 是 间 的中点，求满足 间 的实数 ， ， 的值． 【解】 如图，在 间 上取一 点 ，使 间 ，连接 ， 则 ， 而 间 间 间 间 Ͷ 间 Ͷ 间 ， 空间 ， 所以 Ͷ 间 Ͷ ， 即 ， Ͷ ， Ͷ ． 7. 如图所示，已知平行六面体 空间 空间 的底面是菱形，且 空空 空空间 空间 Ͷ ． (1)求证： 空空 间 ； 【解】 取 空间 ， 空 ， 空空 为空间的一个基底，设菱形的边长为 ． 因为 间 空间 空 ，所以 空空 间 空空 空间 空空 空 空空 空间 cos空空 ǡ空间 空空 空 cos空空 ǡ空 空空 cosͶ 空空 cosͶ ǡ 所以 空空 间 ， 即 空空 间 ． (2)当 空间 空空 的值为多少时，能使 空 平面 空间 ？并证明之． 【解】 设 空间 空空 ，即 空间 空空 时，能使 空 平面 空间 ． 因为 空间 平面 空间 ， 间 平面 空间 ． 所以 空 空间 且 空 间 ． 从而 空 空间 ，且 空 间 ． 因为 空 空间 空 空空 ， 空间 空间 空空 ， 空间 ǡ空 空 ǡ空空 Ͷ ， 又因为 空间 空 ，所以 空 空间 空间 空 空空 空间 空空 空间 空间 空空 空 空间 空 空空 空空 空间 空 cosͶ cosͶ 整理，得 ， 结合 ，解得 ． 故当 时，有 空 间 空间 空 空空 空间 空 空间 空间 空 空 空间 空 空空 空间 空空 空 cosͶ cosͶ ǡ 所以 空 间 ，即 空 间 ． 由上述过程证明知，当 空间 空空 时，能使 空 平面 空间 ． 8. 已知 ǡǡ空 三点不共线，对空间中一点 ，满足条件 空 ，试判断： 点 与 ǡǡ空 是否一定共面？ 【解】 由题意可知 空 ， 移项可得 空 ， 所以 空 ， 故向量 ǡ ǡ空 共面，所以，点 与 ǡǡ空 共面． 9. 已知空间四边形 空 ，各边及对角线长都相等， ， 分别为 ， 空 的中点，求 与 所成的角． 【解】 如图， 设 ， ， 空 ，且 ， 则 ． 又 ， ， ． 所以 所以 cos ǡ ． 故直线 与 所成的角为 arccos ． 10. 已知空间向量 ， ， ， ，若存在实数组 ǡǡ 和 ǡǡ ，满足 ， ，且 ，试证明向量 ， ， 共面． 【解】 因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ． 所以 与 ， 共面． 空间向量的坐标运算 1. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡ ǡ ，则 空 在 方向上的投影是 ． 【答案】 2. 已知三点 ǡǡ ， ǡǡ 和 ǡǡ ， 是坐标原点，则 ． 【答案】 3. 已知 空 的三个顶点的坐标分别是 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ，若 空 ，则 的 值为 ． 【答案】 或 4. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ，若 ，且 ， ，则 ， 分别 为 ǡ ． 【答案】 ǡǡ ； ǡǡ 5. 与 ǡǡ ， ǡǡ 两点距离相等的点的坐标满足的条件为 ． 【答案】 6. 已知 为原点，向量 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ， 空 ． (1)求： 空 ； 【解】 因为 空 ，设 空 ǡǡ ， 空 ， 由 ǡǡ ， ǡ 得 ǡ ǡ 因为 空 ， 所以 ， 所以 空 ǡǡ ， 所以 空 空 ǡǡ ． (2) 空 ． 【解】 空 ǡǡ ǡǡ Ͷ ． 7. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， ， ，求实数 的值，使得 (1) ； 【解】 ǡǡ ， ǡǡ ． ， ， ． (2) ． 【解】 ， ， ． 8. 已知 ǡ ǡ ， ǡǡ ， ǡǡ ． (1)求 ， ； 【解】 ǡǡ ǡǡ Ͷ ． 因为 ǡͶǡ ，所以 Ͷ (2)问当实数 的值为多少时， 的模最小； 【解】 首先 ǡ ǡ ǡ 故 Ͷ 当 时， 的模最小． (3)问是否在实数 ，使得向量 垂直于向量 ； 【解】 ǡ ǡ ǡ ǡ 故当 时，有 垂直于向量 ． (4)问是否在实数 ，使得向量 平行于向量 ． 【解】 若存在实数 ，使得向量 平行于向量 ， 则存在实数 ，使得 ， 即 ǡ ǡ ǡ ǡ ǡ 故 ǡ 从而有 ǡǡ ǡ ǡ 整理为 无解，故不存在实数 ，使得向量 平行于向量 ． 9. 如图，在 空 中， 空 Ͷ ， 空 ， 间 是 空 上的高，沿 间 把 间 折起， 使 间空 ． (1)证明：平面 间 平面 间空 ； 【答案】 略 【解】 折起前 间 是 空 边上的高， 当 间 折起后， 间 间空 ， 间 间 ． 又 间 间空 间 ， 间 平面 间空 ． 间 平面 间 ， 平面 间 平面 间空 ． (2)设 为 空 的中点，求 与 间 夹角的余弦值． 【答案】 【解】 由 间空 及（1）知 间 ， 间 ， 间空 两两垂直， 不妨设 间 ，以 间 为坐标原点，以 间 ， 间空 ， 间 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 易得： 间 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡ ǡ ， 所以 ǡ ǡ ǡ 间 ǡǡ ǡ 所以 cos ǡ间 间 间 ǡ 所以 与 间 夹角的余弦值是 ． 10. 在空间直角坐标系中，已知 ǡǡ 和 ǡǡ ，试问在 轴上是否存在点 ，满足 ． 【解】 假设在 轴上存在点 ，满足 ，因 在 轴上，可设 ǡǡ ，由 ．可得 显然，此式对任意 恒成立．这就是说 轴上所有点都满足关系 ． 空间向量的应用 1. 如图所示，在正方体 空间 空间 中， 为棱 空空 的中点，则异面直线 间 与 所成角的余弦值为 ． 【答案】 2. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ，则平面 空 的一个单位法向量是 ． 【答案】 ǡ ǡ 3. 设平面 的法向量为 ǡǡ ，平面 的法向量为 ǡ ǡ ，若 ，则 ． 【答案】 4. 若直线 ， 的方向向量分别为 ǡǡ ， ǡǡ ，则 ， 的位置关系 是 ． 【答案】 垂直 5. 已知直线 的方向向量为 ǡǡ ，平面 的法向量为 ǡ ǡ ，且 ，则 ． 【答案】 【分析】 ， 的方向向量与 的法向量垂直． ǡǡ ǡ ǡ ，解得 ． 6. 如图所示， ， 间 分别是 ， 的直径， 间 与两圆所在的平面均垂直， 间 ． 空 是 的直径， 空 Ͷ ， 间 ，试建立适当的空间直角坐标系，求出 点 ， ， 空 ， 间 ， ， 的坐标． 【解】 因为 间 与两圆所在的平面均垂直， 间 ，所以 与两圆所在的平面也都垂 直． 又因为 空 Ͷ ． 空 是圆 的直径，所以 空 为等腰直角三角形，且 空 ， 空 Ͷ ． 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴．建立如图所示的空间直角 坐标系，则 ， ， 空 ， 间 ， ， 各个点的坐标分别为 ǡ ǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 间 ǡ ǡ ， ǡǡ ， ǡ ǡ ． 7. 如图，在四棱锥 空间 中，底面 空间 是直角梯形， 空 垂直于 和 空间 ， 底面 空间 ，且 空 间空 ， ． (1)求证：平面 空间 平面 空 ； 【解】 因为 底面 空间 ， 间空 底面 空间 ， 所以 间空 ． 又 间空 空 ， 空 ， 所以 间空 平面 空 ． 又因为 间空 平面 空间 ， 所以平面 空间 平面 空 ． (2)求平面 间 与平面 空 所成二面角的平面角的余弦值． 【解】 因为 面 空间 ， 面 空间 ， 空 面 空间 ． 所以 ， 空 ． 又 空 ， 以 为原点，分别以 ， 空 ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 空 ， 则 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， ǡǡ ， 间 ǡǡ ， 所以 间 ǡǡ ， ǡǡ ． 设平面 间 的法向量为 ǡǡ ，由 间 ǡ 得 ǡ 令 ，则 ǡ ǡ ． 由题意知，平面 空 的法向量可设为 ǡǡ ． 设 与 所成角为 ， 则 cos Ͷ Ͷ ． 又面 间 与面 空 所成二面角的平面角为锐角， 所以平面 间 与平面 空 所成二面角的平面角的余弦值为 Ͷ ． 8. 如图，在四棱锥 空间 的底面 空间 中， 空间 ，且 空间 ， 空间 间 ，侧面 间 为等边三角形，且 平面 间 ，点 是棱 的中点． (1)求证： 间 平面 空 ． 【解】 如图所示，取线段 间 的中点 ，连接 ，则易知 平面 空间 ，则以点 为 坐标原点， 所在直线为 轴，边 间 所在直线为 轴，在平面 空间 中过点 作 间 的垂 线为 轴，建立空间直角坐标系． 设 间 ，则 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 间 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡǡ ， 间 ǡǡ ， 空 ǡ ǡ ， 空 ǡǡ ． 设 间 空 空 ǡ ǡ ǡǡ ǡ ǡ ǡǡ ， 所以 ǡ ǡ ǡ解得 ǡ 所以 间 空 空 ． 因为 间 不在平面 空 内， 所以 间 平面 空 ． (2)在线段 上是否存在一点 ，使线段 空 间 ．如果存在，求出点 的位置；如果不存 在，请说明理由． 【解】 假设在线段 上存在满足题意的点 ． 设 ǡǡ ，则 空 空 ǡ ǡ ǡǡ ǡ ǡ ǡ 间 ǡǡ ǡǡ ǡǡ 空 间 ， 空 间 ，即 ，解得 ． 当 时， 空 间 ． 在线段 上不存在点 ，使线段 空 间 ． 9. 如图，以正四棱锥 空间 底面中心 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，其中 空 ， ． 为 空 中点，正四棱锥底面边长为 ，高为 ． (1)求 cos ǡ间 【解】 由题意知 ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 间 ǡ ǡ ， ǡ ǡ ， 因此 ǡ ǡ ， 间 ǡ ǡ ， 所以 间 ǡ 间 由向量的数量积公式可知 cos ǡ间 间 间 Ͷ (2)记面 空 为 ，面 间空 为 ，若 间 是二面角 空 的平面角，求 cos间 ． 【解】 若 间 是二面角 空 的平面角，则 空 ，即有 空 ． 又由 空 ǡǡ ， ǡǡ ，有 空 ǡ ǡ 且 ǡ ǡ ， 所以 空 ǡ 即 ， 此时有 cos ǡ间 Ͷ Ͷ 所以 cos间 10. 在棱长为 的正方体 空间 空间 中，求异面直线 与 空 所成的角． 【解】 因为 ， 空 空 ， 所以 空 空 空 空 ． 因为 空 ， ， 空 ， 所以 空 ， ， 空 ， 所以 空 ． cos ǡ空 空 空 ， 所以 ǡ空 ， 所以异面直线 与 空 所成的角为 Ͷ ． 课后练习 1. 已知点 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ，若存在点 间 ，使得 间 空 ， 间空 ，则 间 点的坐 标是 ． 2. 在正方体 空间 空间 中，下列各式： ① 空 空空 ； ② 间 间空 ； ③ 空 ； ④ 空 ． 其中结果为 空 的是 ． 3. 已知 ǡ ǡ ， ǡ ǡ ǡ ， ，则 ǡ ． 4. 已知四面体 空 ， 空 空 Ͷ ， ， 空 ， ，则 空 ． 5. 在平行六面体 空间 空间 中，若 空 间 ，则 ． 6. 设 空间 为平行六面体，在向量 ， 空 ， 空间 ， 间 ， ， ， 中，共线向量 为 ，共面向量为 ． 7. 空间内的四个向量顺次首尾相连的和等于 ． 8. 在正方体 空间 空间 中，侧面 空空间间 的中心是 ，若 间 ， 则 ， ． 9. 已知空间四边形 空 ，点 ， 分别为 ， 空 的中点，且 ， ， 空 ，用 ǡ ǡ 表示 ，则 ． 10. 在长方体 空间 空间 中，若 为矩形 空间 对角线的交点，则 间 中的 ， 的值应为 ， ． 11. 已知 ǡǡ 为单位正交基底，且 ， ，则向量 与向量 的坐标分别是 、 ． 12. 已知 间 垂直正方形 空间 所在平面， ， 是 的中点， cos 间 ǡ ．以 间 、 间空 、 间 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间坐标系，则点 的坐标为 ；又 在平面 间 内有一点 ，当点 是 时， 平面 空 ． 13. 已知点 ǡǡ ， ǡǡ ，若点 ǡǡ 为直线 上任意一点，则直线 的向量参 数方程为 ，当 时，点 的坐标为 ． 14. 已知向量 ǡǡ ， ǡǡ ，则 与 的夹角为 ． 15. 已知向量 ǡ ǡ ǡ ǡǡ ，若 ，则 ；若 ，则 ． 16. 空间直角坐标系 中，面 的一个法向量是 ． 17. 已知二面角 的两个面的法向量分别为 ǡǡ 和 ǡ ǡ ，则此二面 角的余弦值为 ． 18. 设 ǡ 是不重合的两个平面，它们的法向量分别为 ， ，直线 的方向向量为 ，若 ， ，则 与 的位置关系为 ． 19. 若动点 是棱长为 的正方体 空间 空间 的对角线 间 上一点，记 间 间 ，则当 空 为钝角时， 的取值范围为 ． 20. 已知 ，平面 与平面 的法向量分别为 ， ，且 ǡ ǡ ， ǡͶǡ ，则 ． 21. 已知 、 、 、 分别是空间四边形 空间 的边 、 空 、 空间 、 间 的中点． (1)用向量法证明： ， ， ， 四点共面； (2)用向量法证明： 间 平面 ； (3)设 是 和 的交点，求证：对空间任意一点 ，有 空 间 ． 22. 设点 空 ǡ ǡ 在点 ǡǡ ， ǡ ǡ ， ǡ ǡ 确定的平面上，求 的值及 ． 23. 已知向量 ǡ ǡ 与向量 共线，且满足 ，求向量 ． 24. 如图所示，在空间直角坐标系中， 空 ，原点 是 空 的中点，点 的坐标是 ǡ ǡ ， 点 间 在平面 上，且 间空 ， 间空 ，求向量 间 的坐标． 25. 已知点 ǡǡ ， ǡǡͶ ， 空 ǡ ǡ ． (1)求以 ， 空 为边的平行四边形的面积； (2)求 空 在 上投影的数量； (3)若 ，且 分别与 ， 空 垂直，求 的坐标． 26. 如图所示，在四棱锥 空间 中，底面 空间 是边长为 的正方形，侧棱 的长为 ， 且 和 、 间 的夹角都等于 Ͷ ， 是 空 的中点． (1)用 ， 间 ， 表示出 空 ，并求出 空 的长； (2)求 与 空 的夹角． 27. 如图所示，棱柱 空间 空间 的底面是平行四边形， 分 空 所成的比为 ， 分 间 所成的比为 ，设 ， 间 ， ，试将 表示成 ， ， 的关系式． 28. 如图，在正方体 间 空间 中，点 是 与 间 的交点， 是 间 与 空 的交点， 试分别用向量 ， ， 空 表示向量 间 和 ． 29. 在空间四边形 空间 中，已知 空间 ， 空 间 ，求证： 间 空 ． 30. 如图，已知矩形 空间 和矩形 间 所在平面相交于 间 ，点 ， 分别在对角线 间 ， 上，且 间 ， ．求证： 平面 空间 ． 31. 已知四边形 空间 的顶点分别为 ǡ ǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 间 ǡ ǡ ，证 明：四边形 空间 是一个梯形． 32. 已知 ǡ ǡ ， ǡǡ ，且 ，求 的值． 33. 如下图，已知正方体 空间 空间 的棱长为 ，点 在面对角线 上，点 在面 对角线 空 上． (1)当点 是面对角线 的中点，点 的面对角线 空 上运动时，求 的最小值； (2)当点 是面对角线 空 的中点，点 在面对角线 上运动时，求 的最小值； (3)当点 在面对角线 上运动，点 在面对角线 空 上运动时，求 的最小值． 34. 已知空间三点 ǡǡ ， ǡǡͶ ， 空 ǡ ǡ ． (1)求以向量 ， 空 为一组邻边的平行四边形的面积 ； (2)若向量 分别与向量 ， 空 垂直，且 ，求向量 的坐标． 35. 已知向量 ǡ ǡ ， ǡǡ ，向量 满足 且 ． (1)求所有满足条件的向量 ； (2)若 ，求向量 ． 36. 斜三棱柱 中 平面 平面 ， Ͷ ， 且 ， ．求： (1)异面直线 与 所成角的余弦值大小； (2)二面角 余弦值的大小． 37. 已知平面 内两个向量 ǡǡ ， ǡǡ ，求平面 的一个法向量． 38. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ．求平面 空 的一个法向量． 39. 如图 ，梯形 空间 中， 空间 ，点 为边 上一点， 空 ， 空间 空 ，把 空 沿边 空 翻折成图 ，使 ． (1)求证： 间 空 ； (2)求平面 间 与平面 空间 所成锐二面角的余弦值． 40. 如图，在四棱锥 空间 中，底面 空间 是正方形，侧棱 间 底面 空间 ， 间 间空 ， 为 空 的中点，作 交 于点 ： (1)求证： 平面 间 ； (2)求证： 平面 间 ； (3)求二面角 空 间 的大小． 空间向量-出门考 姓名 成绩 1. 已知非零向量 ， 及平面 ，若向量 是平面 的法向量，则“ ”是“向量 所在 直线平行于平面 或在平面 内”的 条件． 2. 平行六面体 空间 空间 中， ， ， 间 ，且 ， 间 ， 的夹角 都是 Ͷ ，则 空 间 ． 3. 设空间向量 ǡǡ ， ǡǡ 均为单位向量，且与向量 空 ǡǡ 的夹角都等 于 π ，则 cos ． 4. 已知 ǡǡ ， ǡ ǡ ， 空 ǡǡ ，若 间 在线段 空 上，且 间 的面积是 空 的 面积的 ，则 间 ． 5. 已知向量 ǡǡ ，与 平行的单位向量 是 ． 6. 已知 ， ， ，则 ǡ ． 7. 如图所示，已知空间四边形 空间 ，连接 空 ， 间 ，点 是 空间 的重心．若 间 空 ，则 ， ． 8. 在正方体 空间 空间 中，化简向量表达式 空间 空 间 的结果为 ． 9. 设 ， ， 与 垂直， ， ，则 ǡ ． 10. 如图，在平行六面体 空间 空间 中，底面是边长为 的正方形，若 间 Ͷ ，且 ，则 空 的长为 ． 11. 已知直线 的方 向向量为 ǡ ǡ ，平面 的法向量 ǡ ǡ ，则 与 的 夹角为 ． 12. 已知空间三点 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡ ǡ ，则 与 空 的夹角 的大小是 ． 13. 已知向量 ǡ ǡͶ 和 ǡǡ 平行，那么 ； ． 14. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡǡ Ͷ ， 空 ǡ ǡ ，若 空 ，则 ； 若 ， ， ， 空 四点共面，则 ． 15. 已知 ǡͶǡ Ͷ ǡ ǡǡ ，若 ，则 ． 16. 已知平行六面体 空间 空间 ，以顶点 为端点的三条棱长都是 ，且两两夹角为 Ͷ ，则对角线 空 的长是 ． 17. 如图，在正三棱锥 空 中，点 是 空 的中心，点 间 是棱 空 的中点，则平面 空 的一个法向量可以是 ；平面 间 的一个法向量可以是 ． 18. 在正方体 空间 空间 中以 间 为坐标原点，以 间 ， 间空 ， 间间 所在直线分别为坐标 轴 ， ， ，且 ， ， 分别为 ， ， 空 的中点，则平面 的一个法向量 为 ．（写出符合要求的一个即可） 19. 已知向量 ǡǡ 为平面 的法向量，点 ǡǡ 为平面内一定点， ǡǡ 为平面 内任一点，则 ǡǡ 满足的关系是 ． 20. 已知向量 ǡǡ ， 空 ǡǡ ， 间 ǡǡ ，则 与平面 空间 所成角的正弦值 为 ． 21. 在四面体 空 中， ， 分别是 ， 空 的重心，试用 ， ， 空 为基底表 示 ． 22. 已知 ǡǡ ， Ͷǡǡ ，求 ， ， ， 及 cos ǡ ． 23. 如图所示， 空 ，原点 是 空 的中点，点 的坐标 ǡ ǡ ，点 间 在平面 上且 间空 ， 间空 ． (1)求向量 空间 的坐标； (2)求向量 间 与 空 的夹角的大小． 24. 如图，在长方体 空间 空间 中， 为 间间 的中点， 在 空 上，且 空 ． 求证： ， ， 共面． 25. 平行六面体 空间 空间 ， 在面对角线 上， 在面对角线 空 上，且 空 ，记 ， 空 确定的平面为 ， ，求 ， 空 ， 空 ． 26. 已知 与 垂直，且 与 垂直，求 ǡ ． 27. 如图，在空间四边形 空 中，已知 是线段 空 的中点， 在 上，且 ，试 用向量 ， ， 空 表示向量 ． 28. 证明空间向量数量积的运算律 ． 29. 如图，在长方体 间 空 间 中， ， ， 空 ， ܫ ܬ ，点 ， 分别是 间 ， 间 的中点．设 ܫ ， ， ܬ ，试用向量 ， ， 表示 和 ． 30. 已知 ， 是两个不共线的向量， ， ， ．求证： ， ， 共面． 31. 已知三点 ǡǡ ， ǡǡ ， 空 ǡǡ ， ， 空 ，求 ， 的夹角． 32. 已知正方体的棱长为 ，如图所示建立空间直角坐标系，求： (1)正方体各顶点的坐标； (2)求 空空 的中点 的坐标； (3)求 空 的中点 的坐标． 33. 已知 ǡǡ ， ǡǡ ， ǡ ǡ ． (1)求 ， ； (2)计算： ， ， ǡ ； (3)写出与向量 平行的单位向量； (4)写出与向量 ， 同时垂直的，且长度为 Ͷ 的向量； (5)当实数 的值为多少时， ． 34. 在空间直角坐标系中，已知 空 的顶点坐标分别是 ǡǡ ， ǡ ǡ ， 空 ǡ ǡ ．求证： 空 是直角三角形． 35. 若向量 ǡǡ ， ǡ ǡ ， ǡ ǡ ．求 ， ， cos ǡ ． 36. 如图，直三棱柱 空 空 ， 空 ， 空 ，点 ， 分别为 和 空 的中点． (1)证明： 平面 空空 ； (2)若二面角 空 为直二面角，求 的值． 37. 如图，正方体 空间 空间 中，棱长为 ， 为 空空 的中点． (1)求 空 ； (2)求 ， cos ǡ ． 38. 如图，在棱长为 的正方体 空间 空间 中， ，截面 间 ，截面 间 ． (1)证明：平面 和平面 互相垂直； (2)证明：截面 和截面 面积之和是定值，并求出这个值； (3)若 ，求 间 与平面 所成角的正弦值． 39. 在正方体 空间 空间 中， ， 分别为底面 空间 和侧面 空空 的中心． (1)求证： 空 平面 间 ； (2)求证： 平面 间 ； (3)求证：平面 平面 间 ． 40. 如图所示，四棱锥 空间 中，底面 空间 为矩形， 间 底面 空间 ， 间 间 ， ， 分别为 空间 ， 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)设 空 ，求 空 与平面 所成角的大小．