【数学】2019届一轮复习人教A版 集合与常用逻辑用语 学案
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或N＋
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且
∃x0∈B，
x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集
∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅)
∅
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形
表示
意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔BA.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝；
∁U(∁UA)＝；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(4)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(5)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×
2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
解析：选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．
3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2
3}，则A∩B＝( )
A．{x|－20}，则集合A与B的关系是( )
A．B⊆A B．B⊇A
C．B∈A D．A∈B
解析：选A 因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝.
在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，
可知，B⊆A.
[题型技法]
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1题)
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第2题)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第3题)
(二)迁移考——利用集合间关系求参数
4．(2018·云南师大附中模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，4)
C．[0,4] D．(0,4)
解析：选B 集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<0时，不等式无解，故A＝∅.此时显然满足A⊆B.②当a＝0时，不等式为x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．显然{0}⊆{x|x<2}，即满足A⊆B.③当a>0时，解不等式x2≤a，得－≤x≤.所以A＝[－， ]．由A⊆B可得，<2，解得00，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2,5]．
2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U(M∪N)＝( )
A．(－∞，－1] B．(－1,2)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A 解|x|<1，得－10}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D 依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
[解题师说]
1．掌握“4种技巧”
(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P＝的补集，要先进行化简，若直接否定集合P中元素的性质特征，就会误以为∁RP＝，导致漏解．
(2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．
(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U(M∩N)＝(∁UM)∪(∁UN)，∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)等简化运算，减少运算量．
(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)
2．谨防“2种失误”
(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)
(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)
[冲关演练]
1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
2．(2018·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：选A 因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.
3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝( )
A. B．(－∞，0)∪
C. D．(－∞，0]∪
解析：选D 因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.
以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上.
[典题领悟]
1．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{－1,1,2,3}，定义A B＝，则A B中元素的个数是( )
A．5 B．7
C．10 D．15
解析：选B 因为x∈A，所以x可取－1,0,1；
因为y∈B，所以y可取－1,1,2,3.
则 ＝的结果如下表所示：
y
x
－1
1
2
3
－1
1
－1
－
－
0
0
0
0
0
1
－1
1
故A B中元素有－1，－，－，0，，，1，共7个，故选B.
2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝；
②M＝{(x，y)|y＝log2x}；
③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；
④M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
解析：选C 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin x＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.
3．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
解析：选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
y
x
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A*B中的元素共有10个．
[解题师说]
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
[冲关演练]
1．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 由题意知，B＝{0,1,2}，＝0，，，，1，，则∪B＝，共有7个元素，故选B.
2．(2018·武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
解析：选D 因为A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得20时，∵A＝{x|－10}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：选A P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝
[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.
6．设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得
即所以1＜a≤2.
答案：(1,2]
7．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈ }，则A∩B＝________.
解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈ }＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
8.设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝______________.
解析：由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
答案：{x|－3＜x≤－1}
9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|11，即log2x>log22，
∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2m＋2}，
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
6.若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1)证明M与P不可能相等；
(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m＋1，
解得m＝－1且m＝3，不成立．
故M与P不可能相等．
(2)若PM，当P≠∅时，有
或解得－1≤m≤2；
当P＝∅时，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥－1；
若MP，则或无解．
综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是PM，此时必有m≥－1，
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
