2018届二轮复习技法篇学案（全国通用）
技法篇：4 大思想提前看，依“法”训练提时效
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数 思想方法、
数 能力的考查．如果说数 知识是数 内容，可用文字和符号 记录与描述，
那么数 思想方法则是数 意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，着眼
于对数 问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数 思想主要有函数与
方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮
复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先 习此部分．带着方法去复习，这
样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间
又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不
到”依法训练”的作用，也因时间紧造成 而不透、 而不深，在真正的高
考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择 完后再复习此部分．
思想 1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质
去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数 思想．
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程
组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数 思想．
【例 1】(1)(2017·天水二模)定义域为 R 的可导函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)，满
足 f(x)＞f′(x)，且 f(0)＝1，则不等式fx
ex
＜1 的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B [构造函数 g(x)＝fx
ex
，则 g′(x)＝ex·f′x－ex·fx
ex2
＝f′x－fx
ex .由题意
得 g′(x)＜0 恒成立，所以函数 g(x)＝fx
ex
在 R 上单调递减．又 g(0)＝f0
e0
＝
1，所以fx
ex
＜1，即 g(x)＜1，解得 x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故
选 B.]
(2)(名师押题)已知直线 y＝a 交抛物线 y＝x2 于 A，B 两点．若该抛物线上存
在点 C，使得∠ACB 为直角，则 a 的取值范围为________.
【导 号：04024000】
[1，＋∞) [以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋(y－a)2＝a，
由 y＝x2，
x2＋y－a2＝a，
得 y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，
即(y－a)[y－(a－1)]＝0，
由题意得 a＞0，
a－1≥0，
解得 a≥1.]
[方法指津]
函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数 y＝f(x)，当 y＞0 时，就化为不等式 f(x)＞
0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不
等式．
2．数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列
问题十分重要．
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方
程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立
函数表达式的方法加以解决．
[变式训练 1] 将函数 y＝sin 4x－π
3 的图象向左平移 m(m＞0)个单位长度后，所
得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为________.
【导 号：04024001】
5π
24 [把 y＝sin 4x－π
3 的图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后，得到 y
＝sin 4x＋m－π
3 ＝sin 4x＋4m－π
3 的图象，
而此图象关于 y 轴对称，则 4m－π
3
＝kπ＋π
2(k∈Z)，
解得 m＝1
4kπ＋5π
24(k∈Z)．又 m＞0，所以 m 的最小值为5π
24.]
思想 2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化 解决数 问题的思想．其应用
包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数 问题直观化、生动化，能够变抽象思维
为形象思维，揭示数 问题的本质，如应用函数的图象 直观地说明函数的
性质．
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 精
确地阐明曲线的几何性质．
【例 2】 (经典高考题)已知函数 f(x)＝ |x|，x≤m，
x2－2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存
在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是
________．
(3，＋∞) [作出 f(x)的图象如图所示．当 x>m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2
＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2
0.
又 m>0，解得 m>3.]
[方法指津]
数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．
3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练 2] (1)已知函数 f(x)＝
2
x
，x≥2，
x－13，x＜2，
若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两
个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
【导 号：04024002】
A．(－1,1) B．(0,2)
C．(0,1) D．(0,1]
(2)若不等式 4x2－logax<0 对任意 x∈ 0，1
4 恒成立，则实数 a 的取值范围为
( )
A.
1
256
，1 B.
1
256
，1
C. 0， 1
256 D. 0， 1
256
(1)C (2)B [(1)当 x≥2 时，f(x)＝2
x
，
此时 f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
且 0＜f(x)≤1.
当 x＜2 时，f(x)＝(x－1)3，此时 f(x)过点(1,0)，(0，－1)，
且在(－∞，2)上单调递增．
当 x→2 时，f(x)→1.
如图所示作出函数 y＝f(x)的图象，由图可得 f(x)在(－∞，2)上单调递增且
f(x)＜1，f(x)在[2，＋∞)上单调递减且 0＜f(x)≤1，
故当且仅当 0＜k＜1 时，关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不相等的实根，即实
数 k 的取值范围是(0,1)．
(2)由已知 4x21 时，不成立，当 0＜a
＜1 时，如图，只需 loga
1
4
≥4×
1
4 2⇒a1
4
≥1
4
⇒a≥ 1
256
，
又 0＜a＜1，故 a∈
1
256
，1 .故选 B.]
思想 3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象
按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终
综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各
个击破，再集零为整”的数 思想．
【例 3】(1)(经典高考题)设函数 f(x)＝ 3x－1，x<1，
2x，x≥1.
则满足 f(f(a))＝2f(a)的 a 的
取值范围是( )
A.
2
3
，1 B．[0,1]
C.
2
3
，＋∞
D．[1，＋∞)
(2)设 F1，F2 为椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知 P，F1，
F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则|PF1|
|PF2|
的值为________．
(1)C (2)2 或7
2 [(1)由 f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴
a≥2
3
，∴2
3
≤a<1.
当 a≥1 时，有 2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥2
3
，故选 C.
(2)若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5，
解得|PF1|＝14
3
，|PF2|＝4
3
，
∴|PF1|
|PF2|
＝7
2.
若∠F2PF1＝90°，
则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴|PF1|
|PF2|
＝2.
综上所述，|PF1|
|PF2|
＝2 或7
2.]
[方法指津]
分类讨论思想在解题中的应用
1．由数 概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数
函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类
给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的
单调性等．
3．由数 运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根
为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘
以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角
的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练 3] (1)已知二次函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－3,2]上的最大值为 4，
则 a 等于( )
A．－3 B．－3
8
C．3 D.3
8
或－3
(2)在等比数列{an}中，已知 a3＝3
2
，S3＝9
2
，则 a1＝________.
(1)D (2)3
2
或 6 [(1)当 a＞0 时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上
单调递增，故当 x＝2 时，f(x)取得最大值，即 8a＋1＝4，解得 a＝3
8.当 a＜0
时，易知 f(x)在 x＝－1 处取得最大，即－a＋1＝4，∴a＝－3.
综上可知，a＝3
8
或－3.故选 D.
(2)当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝3
2
，
S3＝3a1＝9
2
，显然成立；
当 q≠1 时，由题意，
得
a1q2＝a3＝3
2
，
a11－q3
1－q
＝S3＝9
2.
所以
a1q2＝3
2
， ①
a11＋q＋q2＝9
2
，②
由①②，得1＋q＋q2
q2
＝3，即 2q2－q－1＝0，所以 q＝－1
2
或 q＝1(舍去)．
当 q＝－1
2
时，a1＝a3
q2
＝6.
综上可知，a1＝3
2
或 a1＝6.]
思想 4 转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数 问题时采用某种手段将问题通
过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题转化
为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转
化为已解决的问题．
【例 4】(1)(2016·洛阳模拟)抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上
的动点，又点 A(－1,0)，则|PF|
|PA|
的最小值是( )
【导 号：04024003】
A.1
2 B. 2
2
C. 3
2 D.2 3
2
(2)若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)·3x＋4＝0 有解，则实数 a 的取值范围是
________．
[解题指导] (1)利用抛物线的定义把|PF|
|PA|
的最值问题等价转化成直线 PA 的斜
率问题．
(2)令 t＝3x，方程转化为关于 t 的一元二次方程，再分离变量求解．
(1)B (2)(－∞，－8] [(1)如图，作 PH⊥l 于 H，由抛物线的定义可知，|PH|
＝|PF|，从而|PF|
|PA|
的最小值等价于|PH|
|PA|
的最小值，等价于∠PAH 最小，等价
于∠PAF 最大，即直线 PA 的斜率最大．此时直线 PA 与抛物线 y2＝4x 相切，
由直线与抛物线的关系可知∠PAF＝45°，所以|PF|
|PA|
＝|PH|
|PA|
＝sin 45°＝ 2
2 .
(2)设 t＝3x，则原命题等价于关于 t 的方程 t2＋(4＋a)t＋4＝0 有正解，分离
变量 a，得 a＋4＝－ t＋4
t ，
∵t＞0，∴－ t＋4
t ≤－4，
∴a≤－8，即实数 a 的取值范围是(－∞，－8]．]
[方法指津]
转化与化归思想在解题中的应用
1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问
题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公
式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉
的函数、方程、不等式的一种重要的方法．
3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常
将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，
转化为其导函数 f′(x)构成的方程．
[变式训练 4] (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 AA1 的中点，则异面直线 BE
与 B1D1 所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为 1，则四面体
BEB1D1 的体积为________．
(2)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋
m
2
＋2 x2－2x 在区间(t,3)上总不为单
调函数，则实数 m 的取值范围是________．
(1) 10
5
1
6 (2)
－37
3
，－5
[(1)连接 BD，DE(图略)，因为 BD∥B1D1，所
以∠EBD 就是异面直线 BE 与 B1D1 所成的角，设 A1A＝1，则 DE＝BE＝ 5
2
，
BD＝ 2，cos∠EBD＝
5
4
＋2－5
4
2× 5
2
× 2
＝ 10
5
，由 ＝
(2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①
g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立．
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2
x
－3x 在 x∈(t,3)上恒成立，所以 m
＋4≥2
t
－3t 恒成立，
则 m＋4≥－1，即 m≥－5；
由②得 m＋4≤2
x
－3x 在 x∈(t,3)上恒成立，则 m＋4≤2
3
－9，即 m≤－37
3 .
因为函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，所以 m 的取值范围为－37
3
＜m
＜－5.]
课后对应完成数 思想专练(一)～(四)，
(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分 生 完“第一部
分重点强化专题”后再做此部分训练)
