湖北省襄州区四校（襄州）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
2019—2020 学年上学期高一期中考试数学试题
宜城一中枣阳一中襄州一中曾都一中
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据题意，结合常见集合的定义，依次分析选项，即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于 A：0 是自然数，即有 0∈N，故 A 正确；
对于 B： 是有理数，即有 ∈Q，但不满足 ，故 B 不正确；
对于 C： 无理数，属于实数，即有 ，故 C 不正确；
对于 D：0.333 是有理数，即有 ，故 D 不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查集合的概念与元素与集合的关系，关键是牢记常见集合的表示方法．
2.已知函数 的图象恒过定点 ，则 点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数过定点的性质即可确定 P 的坐标．
【详解】令 x+1＝0，解得 x＝﹣1，此时 f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2．
∴点 P 的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查指数函数过定点的性质，直接让幂指数等于 0 即可求出定点的横坐标，
【
是
0 N∈ 1
2 Z∈ Rπ ∉
0.333 Q∉
1
2
1
2
1
2 Z∈
π Rπ ∈
0.333 Q∈
1( ) 3xf x a += − P P
( )0, 2− ( )1, 2− − ( )2,1− ( )0, 3−
比较基础．
3.已知幂函数 的图像过 ，求 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设幂函数为 f（x）＝xα，则由 f（x）的图象过点（27，3），求得 α 的值，可得出函数的解
析式，从而求得 f（8）的值．
【详解】设幂函数为 f（x）＝xα，则由 f（x）的图象过点（27，3），可得 27 α＝3，
∴α ，
∴f（x） ，
故 f（8）＝ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
4.函数 定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【详解】要使函数有意义，则 ，即 ，
得 且 ，
的
( )y f x= ( )27,3 ( )8f =
2 1
2 3 1
3
1
3
=
1
3x=
1
38 2=
( ) ( )2
1
log 2 3f x x
= −
3 ,2
+∞
2 ,3
+∞
3 ,2 (2, )2
+∞
5 ,2
+∞
2
2 3 0
log (2 3) 0
x
x
− >
− ≠
2 3 1
3
2
x
x
− ≠
＞
3
2x＞ 2x ≠
即函数的定义域为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基
础．
5.下列对应是从集合 到 的函数的是（ ）
A. ， ，对应关系 “求平方根”
B. ， ，对应关系
C. ， ，对应关系
D. ， ，对应关系
【答案】B
【解析】
【分析】
若 A 中任一元素在 B 中都有唯一元素对应，则该对应是函数；进而得到答案．
【详解】 ， ，对应关系 “求平方根”， 则A 中元素 2 在 B 中没有元素对应，
不是函数；故 A 错误；
， ，对应关系 ，则 A 中任一元素在 B 中都有唯一元素对
应，是函数；故 B 正确；
， ，对应关系 ，则 A 中元素 3 在 B 中没有元素对应，不是函数；
故 C 错误；
， ，对应关系 ，则 A 中元素 2 在 B 中没有元素对应，不是
函数；故 D 错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是函数的概念，难度不大，属于基础题．
6.某地西红柿从 月 日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本 （单位：元
3 ,2 (2, )2
+∞
A B
A N= B N= f：
A R= { }0,1B = 1, 2: 0, 2
xf x y x
≥→ = <
A R= B Q= 1: 3f x y x
→ = −
A N= *B N= : | 2 |f x y x→ = −
A N= B N= f：
A R= { }0,1B = 1, 2: 0, 2
xf x y x
≥→ = <
A R= B Q= 1: 3f x y x
→ = −
A N= *B N= : | 2 |f x y x→ = −
2 1 Q
）与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
时间
种植成本
由表知，体现 与 数据关系的最佳函数模型是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由提供的数据知，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系函数不可能是单调函数，
故可求得．
【详解】由提供的数据知，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系函数不可能是常
数函数，也不是单调函数；而 A，C，D 对应的函数，在 a≠0 时，均为单调函数，这与表格提
供的数据不吻合，
所以，选取 B，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，根据所给数据，判断函数不可能是单调函数是关
键.
7.已知 是偶函数，它在 上是增函数.若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．
/100kg t
t 50 120 150
Q 2600 500 2600
Q t
Q at b= + 2Q at bt c= + + tQ ab=
logbQ a t= ⋅
( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )lg 1f x f> x
1 ,110
( )10, 10,10
æ öç ÷È +¥ç ÷è ø
1 ,1010
( ) ( )0,1 10,∪ +∞
【详解】∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，若 f（lgx）＞f（1）．
∴不等式等价为 f（|lgx|）＞f（1），
即|lgx|＞1，即 lgx＞1 或 lgx＜﹣1，
即 x＞10 或 0＜x ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等
价转化是解决本题的关键．
8.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数、幂函数与对数函数的单调性将 a，b，c 与中间值 0，1 进行比较，即可得
出．
【详解】由 y＝0.5x 为减函数知 0＜ ＜0.50.5，
由 y＝x0.5 为增函数知 0.50.5＜0.70.5，所以 0＜ ＜ ，
又 y＝log0.7x 为减函数，所以 log0.75
( ) ( )2( ) 4g x x x g x− = − + =
即当 时， ，
∴g（x） ，
F（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R） ．
画出图象，
由图象可得：①当 x≥6 时，∵x2﹣4x≥2x，∴F（x）＝x2﹣4x，因此正确．
②由图象可得：函数 F（x）不为奇函数，因此不正确．
③﹣2≤x≤6 时，2x＞x2﹣4x，可得函数 F（x）＝2x，因此函数 F（x）在[﹣2，6]上为增函
数，所以函数 F（x）在[﹣2，2]上为增函数是正确的．
④x≤﹣2 时，g（x）＝x2+4x≥2x，可得 F（x）＝x2+4x≥﹣4，综合可得函数 F（x）的最小值
为﹣4，无最大值，④不正确．
其中正确的是 ①③．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质、不等式的解法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，
属于中档题．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.化简并计算（式中字母均为正数）
0x < ( ) 2 4g x x x= +
2
2
4 0
4 0
x x x
x x x
+= − ≥
， ＜
，
2
2
4 2
2 2 6
4 6
x x x
x x
x x x
+ ≤ −
= −
− ≥
，
， ＜ ＜
，
（1）
（2）
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解．
（2）利用根式性质及分数指数幂、对数的性质和运算法则计算得答案．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了根式、分数指数幂、对数的基本运算性质及其化简，是基础题．
18.已知全集 ，集合 ， ，
.
（1） ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
1 21 1 1
3 34 4 24 3 3x x y x y
− −− − ÷ −
3
1
3 2 log 22
4 3
1 ( 4) 3 lg 4 2lg5 log 9 log 427
π
−
+ + − − + + + ⋅
1
34x y⋅ 7π− −
1 21 1 1
3 34 4 24x x y x y
− −− = ⋅ ⋅ ÷ ⋅
1 21 1 1
3 34 4 24x x y x y
− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 21 1 1
3 34 4 24x y
− ++ += ⋅
1
34x y= ⋅
( ) 3
1
log 23 23
4 33 | 4 | 3 3 lg 4 lg 25 2log 3 log 4π−−= + − − ⋅ + + + ⋅
( ) lg3 lg 43 4 18 lg 4 25 2 lg 4 lg3
π= + − − + × + ⋅
7π= − −
U = R { }| 2 1A x x= − < < { }| 2 4 8xB x= ≤ ≤
{ }| 1 3 2C x a x a= − < ≤ −
( )UC A B∩
A C C= a
( ) 3|1 2UC A B x x = ≤ ≤ 1a <
分析】
（1）由题意和补集的运算求出∁UA，由指数函数的性质求出 B，由交集的运算求出（∁UA）∩B；
（2）由 A∩C＝C 得 C⊆A，对 C 分类讨论，由子集的定义分别列出不等式，求出实数 a 的取值
范围．
【详解】（1）因为 ， ，
所以
（2） ， 当 ，则 ，即 ，满足
当 ，则 ，所以 ，所以
综上得：
【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，以及指数函数的性质的应用，考
查分类讨论思想．
19.（1）已知 ，求函数 的解析式.
（2）已知 ，求函数 的解析式.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用换元法设 t ，求函数 f（x）的解析式即可．
（2）令 x 取﹣x，建立方程组解 f（x）即可．
【详解】（1）令 ，则 ， ，
（2）由 ①，得 ②，① ②得
【
{ }1 2 3 1 3| 2 2 2 | 2 2
xB x x x = ≤ ≤ = ≤ ≤
{ }| 2 1UC A x x x= ≤ − ≥或
( ) 3|1 2UC A B x x = ≤ ≤
A C C= C A∴ ⊆ C = ∅ 1 3 2a a− ≥ − 1
2a ≤ C A⊆
C ≠ ∅
1 3 2
2 1
3 2 1
a a
a
a
− < −
− ≤ −
− <
1
2
1
1
a
a
a
>
≥ −
<
1 12 a< <
1a <
( )2 4f x x x+ = + ( )f x
( ) ( )2 xf x f x e− − = ( )f x
( ) ( )2 4, 2f x x x= − ≥ ( ) 2
3
x xe ef x
−+= −
2x= +
2 2t x= + ≥ 2( 2)x t= − ( ) 2 4f t t= − ( ) ( )2 4 2f x x x∴ = − ≥
( ) ( )2 xf x f x e− − = ( ) 2 ( ) xf x f x e−− − = 2+ ×
( ) 2
3
x xe ef x
−+= −
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及常用方法，要求熟练掌握代入法，换元法以及构
造方程组法在求解析式中的应用．
20. 世纪 年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用
测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我
们常说的里氏震级 ，其计算公式为： ，其中， 是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏
差）.（以下数据供参考： ， ， ）
（1）根据中国地震台网测定， 年 月 日 时 分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌
县发生地震，一个距离震中 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 ，此时标准地震的振
幅是 ，计算这次地震的震级（精确到 ）；
（2） 年 月 日 时 分 秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民
共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达 ，地震烈度达到 度.此次地震的地震波
已确认共环绕了地球 圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，
南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是 级
地震的最大振幅的多少倍？
【答案】（1）约为里氏 级的地震（2） 倍
【解析】
【分析】
（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式 M＝lgA﹣lgA0 求解；
（2）利用对数式和指数式的互化由 M＝lgA﹣lgA0 得 ，把 M＝8.0 和 M＝5.0 分别
代入公式作比后即可得到答案．
【详解】（1）
因此，这是一次约为里氏 级的地震.
（2）由 可得
20 30
M 0lg lgM A A= − A
0A
1g2 0.3010≈ 1 3 0.4771g ≈ 1g5 0.6990≈
2019 9 27 01 17
100 30
0.001 0.1
2008 5 12 14 28 04
8.0M 11
6
5.0
4.5 1000
0 10MA A= ⋅
lg30 lg0.001M = −
lg30000=
4 lg3= +
4.5≈
4.5
0lg lgM A A= −
则
当 时，地震的最大振幅为
当 时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是
答： 级地震的最大振幅大约是 级地震的最大振幅的 倍.
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是
对题意的理解，是中档题．
21.已知
（1）判断并证明 的奇偶性.
（2）证明 在 内单调递减.
（3） ，若对任意的 都有 ，求 的最小值.
【答案】（1） 是奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）先求 g（x）的定义域，关于原点对称，再判断 g（﹣x）与 g（x）的关系，进而根据函
数奇偶性的定义可得结论；
（2）任取 x1，x2∈R，且 x1＜x2，作差判断 g（x1）﹣g（x2）的符号，进而根据函数单调性的
定义可得结论；
（3）先将问题转化为 ，再将 f（x）解析式变形，由函数 g（x）的值
域确定 f（x）的值域，可得答案．
【详解】（1）由题知 的定义域为 ，关于原点对称，
又因为 ，
所以 是奇函数.
（2）任取 ，
0
lg AM A
=
0 10MA A= ⋅
8.0M = 8
1 0 10A A= ⋅
5.0M = 5
2 0 10A A= ⋅
31
2
10 1000A
A
= =
8.0 5.0 1000
( ) 1g x x x
= +
( ) 1g x x x
= +
( ) 1g x x x
= + ( )0,1
( ) 2 1
xf x x
= + 1 2, Rx x ∈ ( ) ( )1 2f x f x M− ≤ M
( )g x 1
( ) ( )max minM f x f x≥ −
( )g x { }| 0x x ≠
1( ) ( ) ( ) 0g x x g x g xx
− = − − + − =
( )g x
1 20 1x x< < <
因为 ， ，则 ，所以 在 单调递减.
（3）因为对任意的 都有 ，
由题知
当 ， ，
当 ， ，所以 ，所以 ，
当 ， ，所以 ，所以 的值域为 ，
所以 的最小值为
【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断与证明，函数性
质的综合应用，是函数图象和性质的综合考查，难度中档．
22.已知函数 对一切实数 ， 都有 成立，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）已知 ，设 ：当 时，不等式 恒成立； ：当
时， 是单调函数.如果满足 成立的 的集合记为 ，满足 成立的 的集
合记为 ，求 （ 为全集）.
【答案】（1） （2） （3） .
【解析】
【分析】
（1）令 x＝﹣1，y＝1，由条件，结合 f（1）＝0，即可得到 f（0）；
（2）令 y＝0，结合 f（0），即可求出 f（x）的解析式；
（3）化简不等式 f（x）+4＜2x+a，得到 x2﹣x+2＜a，求出左边的范围，由恒成立得到 a 的范
围；由二次函数的单调性，即可得到集合 B，从而求出 A∩∁RB．
( ) ( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
11 1 1 1 x x x xg x g x x x x xx x x x x x
− − − = + − + = − + − =
1 2 0x x− < 1 2 1 0x x − < ( ) ( )1 2 0g x g x− > ( )g x ( )0,1
1 2, Rx x ∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 max minf x f x f x f x− ≤ −
( ) ( )max minM f x f x≥ −
0x = ( )0 0f =
0x ≠ ( ) ( )
1 1
1f x g xx x
= =
+ ( ) ( )0, 2x g x∈ +∞ ≥ ( ) 10 2f x< ≤
( ),0x∈ −∞ ( ) 2g x ≤ − ( )1 02 f x− ≤ < ( )f x 1 1,2 2
−
M 1
( )f x x y ( ) ( ) ( )2 1f x y f y x x y+ − = + + ( )1 0f =
( )0f
( )f x
a R∈ P 0 1x< < ( ) 4 2f x x a+ < + Q [ ]2,2x∈ −
( ) ( )g x f x ax= − P a A Q a
B RA C B∩ R
( )0 2f = − ( ) 2 2f x x x= + − { }| 2 5RA C B a a= ≤ <
【详解】（1）令 ， ，则由已知得， ，
，
（2）令 ，则 ，又 ，
；
（3）不等式 ，即 ，即 ，当
时， .又 恒成立， .
，又 在 上是单调函数，
故有 ，或 ，
， .
【点睛】本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查不等
式的恒成立问题转化为求最值的问题，以及函数的单调性及运用，属于中档题．
1x = − 1y = ( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 1f f− = − × − + +
( )1 0f = ( )0 2f∴ = −
0y = ( ) ( ) ( )0 1f x f x x− = + ( )0 2f = −
( ) 2 2f x x x∴ = + −
( ) 4 2f x x a+ < + 2 2 4 2x x x a+ − + < + 2 2x x a− + < 0 1x< <
2 2 2x x− + < 2 2a x x> − + { }| 2A a a= ≥
( ) ( )2 22 1 2g x x x ax x a x= + − − = + − − ( )g x [ ]2 2− ,
1 22
a − ≤ − 1 22
a − ≥
{ }| 3 5B a a a∴ = ≤ − ≥或 { }| 2 5RA C B a a∴ = ≤ <
