【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲 作业

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几何证明选讲 A组 考点基础演练 一、选择题 ‎1.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点F，AB＝10，AF＝2.若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于( )‎ A. B．2‎ C．3 D．2‎ 解析：∵CF∶DF＝1∶4，‎ ‎∴DF＝4CF，‎ ‎∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8，‎ ‎∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2.‎ 答案：B ‎2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )‎ A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2‎ D．CE·EB＝CD2‎ 解析：在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，‎ 又根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，‎ 所以CE·CB＝AD·DB.‎ 答案：A ‎3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析：如图，设AC与圆相切于E点，连接DE，‎ 则DE⊥AC，DE＝DB，‎ 则AD＝2ED，‎ ‎∴在Rt△ADE中，sin A＝.‎ 故选C.‎ 答案：C ‎4.如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的切线交BC的延长线于点P，D为AB的中点，DP交AC于点M，若BP＝8，AM＝4，AC＝6，则PA＝( )‎ A．4 B．3‎ C. D．5‎ 解析：由题意MC＝AC－AM＝6－4＝2.又D为AB的中点，∴AD＝BD.过点C作CN∥AB交PD于N，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴PC＝4.∵PA2＝PC·PB＝32，‎ ‎∴PA＝4.‎ 答案：A ‎5.(2014年天津一中月考)如图过⊙O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB ‎＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝( )‎ A．6 B．5‎ C. D．4‎ 解析：因为PA是圆的切线，所以∠BAP＝∠ACB，‎ 又∠BAC＝∠APB，所以△BAP与△BCA相似，所以＝，所以AB2＝PB·BC＝7×5＝35，所以AB＝.‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．(2014年高考陕西卷)(几何证明选做题)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.‎ 解析：∵四边形BCFE内接于圆，‎ ‎∴∠AEF＝∠ACB，‎ 又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACB，‎ ‎∴＝，‎ 又∵BC＝6，AC＝2AE.∴EF＝3.‎ 答案：3‎ ‎7.(2014年高考湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．‎ 解析：设AO与BC交于点M，∵AO⊥BC，BC＝2，∴BM＝，又AB＝，∴AM＝1.设圆的半径为r，则r2＝()2＋(r－1)2，解得r＝.‎ 答案：‎ ‎8．(2014年高考湖北卷)(选修4－1：几何证明选讲)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙‎ O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.‎ 解析：由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.‎ 答案：4‎ 三、解答题 ‎9．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)(选修4－1：几何证明选讲)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.‎ 证明：(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ 证明：(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，‎ ‎∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因为BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB，‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎10.如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明：DB＝DC；‎ ‎(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ 解析：(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.‎ 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，‎ 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，‎ ‎∴BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为.‎ B组 高考题型专练 ‎1.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ 解析：因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.‎ 答案：‎ ‎2.如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.‎ 解析：∵PB切⊙O于点B，‎ ‎∴∠PBA＝∠ACB.‎ 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，‎ ‎∴△ABD∽△ACB.∴＝，‎ ‎∴AB2＝AD·AC＝mn，‎ ‎∴AB＝.‎ 答案：‎ ‎3.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．‎ 解析：∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，‎ ‎∴△ACB∽△DAB.‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.‎ ‎∴AB＝＝2(舍去负值)．‎ 答案：2‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．‎ 解析：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，‎ ‎∴AC＝10，BC＝10.‎ ‎∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.‎ ‎∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.‎ 由切割线定理得DC2＝DE·DB，‎ 即(5)2＝15DE，‎ ‎∴DE＝5.‎ 答案：5‎ ‎5.(2014年高考辽宁卷)(选修4－1：几何证明选讲)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎(1)求证：AB为圆的直径；‎ ‎(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.‎ 解析：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.‎ 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，‎ 故∠DBA＝∠EGA，‎ 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.‎ 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．‎ ‎(2)连接BC，DC.‎ 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，‎ 从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.‎ 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.‎ 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．‎ 于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.‎ ‎6．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 解析：(1)证明：由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，‎ 即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎