2018届二轮复习第一篇　活用审题路线图课件（全国通用）

2018届二轮复习第一篇　活用审题路线图课件（全国通用）

第一篇 　 活用审题路线图， 教你审题不再难 审题 即弄清题意，明确题目的条件与结论，审题是解题的基础，深入细致的审题是正确迅速解题的前提． 审题 不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分．本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条 “ 审题路线图 ” ，攻克高考解答题． 栏目索引 一审条件挖隐含 二审结论会转换 三审图形抓特点 四审结构定方案 五审图表找规律 六审细节更完善 一审 条件挖隐含 题目的条件是解题的主要素材，充分利用条件和结论间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，也有隐含的，审视条件更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发挥隐含条件的解题功能． (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期； 解析答案 审题路线图 审题路线图 解析答案 解析答案 审题路线图 审题路线图 解析答案 再将 h ( x ) 图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变 ， 解析答案 (1) 求实数 m 的值； 解析答案 解　 由题设得 f ( x ) ＝ sin 2 x － cos 2 x － 1 ＋ m 返回 解析答案 又因为 a ＋ c ＝ 2 ，由余弦定理得： b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ a 2 ＋ c 2 － ac 当且仅当 a ＝ c ＝ 1 时等号成立， 解析答案 又因为 b < a ＋ c ＝ 2 ，所以 1 ≤ b <2 ， 所以 △ ABC 的周长 l ＝ a ＋ b ＋ c ∈ [3,4) ， 故 △ ABC 的周长 l 的取值范围是 [3,4) ． 返回 解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 二审结论会转换 (1) 当 a ＝ 2 时，求函数的单调区间与函数在 [1,3] 上的最值； 审题路线图 解析答案 审题路线图 解析答案 当 x ∈ [1,3] 时，可知函数 f ( x ) 在 [1,2) 上单调递减，在 (2,3] 上单调递增， 所以最小值为 f (2) ＝ 2ln 2 － 5. 所以 f (1)> f (3) ． (2) 设 h ( x ) ＝ x 2 － 2 bx ＋ 4 ， a ＝－ 2 ，若对于任意的 x 1 ∈ [1,2] ，存在 x 2 ∈ [2,3] ，使得 f ( x 1 ) ≥ h ( x 2 ) 成立，试确定 b 的取值范围． 审题路线图 解析答案 审题路线图 解　 若 对于任意的 x 1 ∈ [1,2] ，存在 x 2 ∈ [2,3] ，使 f ( x 1 ) ≥ h ( x 2 ) ， 则 f ( x 1 ) min ≥ h ( x 2 ) min 有解． 所以 f ( x ) 在 [1,2] 上单调递减 ， f ( x 1 ) min ＝ f (2) ＝－ 2ln 2 － 5. 解析答案 则 g ( x ) 在 [2,3] 上单调递减， (1) 若 a ＝ 1 ，求函数 f ( x ) 的极值和单调区间； 解析答案 所以 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 所以 f ′ ( x ) ， f ( x ) 随 x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ↘ 极小值 ↗ 解析答案 故 x ＝ 1 时， f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝ 1 ， f ( x ) 的单调递增区间为 (1 ，＋ ∞ ) ， 单调递减区间为 (0,1) ． 返回 解析答案 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增，且 f (1) ＝ 1 ， 解析答案 令 n ＝ 2,3,4 ， … ， n ， 将以上各式不等号两边分别相加，得 返回 在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键． 三审图形抓特点 例 3 　 (1)(2015· 北京 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( 　　 ) √ 审题路线图 解析答案 审题路线图 解析　 该三棱锥的直观图如图所示 ： 过 D 作 DE ⊥ BC ，交 BC 于 E ， 连接 AE ， 则 BC ＝ 2 ， EC ＝ 1 ， AD ＝ 1 ， ED ＝ 2 ， S 表 ＝ S △ BCD ＋ S △ ACD ＋ S △ ABD ＋ S △ ABC (2)(2015· 课标全国 Ⅰ ) 函数 f ( x ) ＝ cos( ωx ＋ φ ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的单调递减区间为 ( 　　 ) √ 解析答案 审题路线图 审题路线图 解析答案 跟踪演练 3 　 如图，在四棱锥 P — ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ， ∠ ABC ＝ ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ ∠ CAD ＝ 60° ， E 为 PD 的中点， F 在 AD 上，且 ∠ FCD ＝ 30°. (1) 求证： CE ∥ 平面 PAB ； 解析答案 证明　 因为 ∠ ABC ＝ ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ ∠ CAD ＝ 60° ， 所以 ∠ FDC ＝ 30° ， 又 ∠ FCD ＝ 30° ，所以 ∠ ACF ＝ 60° ，所以 AF ＝ CF ＝ DF ， 所以 F 为 AD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，所以 EF ∥ PA . 而 AP ⊂ 平面 PAB ，所以 EF ∥ 平面 PAB . 又 ∠ BAC ＝ ∠ ACF ＝ 60° ，所以 CF ∥ AB ， 可得 CF ∥ 平面 PAB . 又 EF ∩ CF ＝ F ，所以平面 CEF ∥ 平面 PAB ， 而 CE ⊂ 平面 CEF ，所以 CE ∥ 平面 PAB . (2) 若 PA ＝ 2 AB ＝ 2 ，求四面体 PACE 的体积 . 解　 因为 EF ∥ AP ，所以 EF ∥ 平面 APC ， 又 ∠ ABC ＝ ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ 60° ， PA ＝ 2 AB ＝ 2 ， 所以 V PACE ＝ V E — PAC ＝ V F — PAC 返回 解析答案 数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 . 在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化和我们熟悉的数学结构联想比对，就可以寻找到突破问题的方案 . 四审结构定方案 例 4 　 已知数列 { a n } 是公差不为零的等差数列， a 1 ＝ 2 ，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项； 审题路线图 解　 设数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠ 0) ， ∵ a 1 ＝ 2 ，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列， ∴ (3 d ＋ 2) 2 ＝ ( d ＋ 2)(7 d ＋ 2) ， 解得 d ＝ 2 ，故 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 n . 解析答案 审题路线图 (2) 设 { b n － ( － 1) n a n } 是等比数列，且 b 2 ＝ 7 ， b 5 ＝ 71. 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 审题路线图 解析答案 审题路线图 解　 令 c n ＝ b n － ( － 1) n a n ，设 { c n } 的公比为 q . ∵ b 2 ＝ 7 ， b 5 ＝ 71 ， a n ＝ 2 n ， ∴ c 2 ＝ b 2 － a 2 ＝ 3 ， c 5 ＝ 81 ， 从而 b n ＝ 3 n － 1 ＋ ( － 1) n 2 n . T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝ (3 0 ＋ 3 1 ＋ … ＋ 3 n － 1 ) ＋ [ － 2 ＋ 4 － 6 ＋ … ＋ ( － 1) n 2 n ] ， 2 答案 解析 解析　 方法一　因为 b cos C ＋ c cos B ＝ 2 b ， 方法二　因为 b cos C ＋ c cos B ＝ 2 b ， 所以 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ 2sin B ， 故 sin( B ＋ C ) ＝ 2sin B ， 一点，若 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 6 a ，且 △ PF 1 F 2 最小的内角为 30° ，则双曲线 C 的渐近线方程是 ( 　　 ) √ 返回 解析 解析　 由题意，不妨设 | PF 1 |>| PF 2 | ， 则根据双曲线的定义得， | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 a ， 又 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 6 a ， 解得 | PF 1 | ＝ 4 a ， | PF 2 | ＝ 2 a . 在 △ PF 1 F 2 中， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，而 c > a ， 所以有 | PF 2 |<| F 1 F 2 | ，所以 ∠ PF 1 F 2 ＝ 30° ， 返回 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向 . 在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法 . 五审图表找规律 例 5 　 下表中的数阵为 “ 森德拉姆素数筛 ” ，其特点是每行每列都成等差数列，记第 i 行第 j 列的数为 a i , j ( i ， j ∈ N * ) ，则 (1) a 9,9 ＝ ________ ； ( 2) 表中的数 82 共出现 ________ 次 . 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 82 5 答案 审题路线图 解析 审题路线图 解析 解析　 (1) a 9,9 表示第 9 行第 9 列，第 1 行的公差为 1 ，第 2 行的公差为 2 ， …… ， 第 9 行的公差为 9 ，第 9 行的首项 b 1 ＝ 10 ， 则 b 9 ＝ 10 ＋ 8 × 9 ＝ 82. (2) 第 1 行数组成的数列 a 1 ， j ( j ＝ 1,2 ， … ) 是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列 ， 所以 a 1 ， j ＝ 2 ＋ ( j － 1)·1 ＝ j ＋ 1 ； 第 i 行数组成的数列 a i ， j ( j ＝ 1,2 ， … ) 是以 i ＋ 1 为首项，公差为 i 的等差数列 ， 所以 a i ， j ＝ ( i ＋ 1) ＋ ( j － 1) i ＝ ij ＋ 1 ， 由 题意得 a i ， j ＝ ij ＋ 1 ＝ 82 ，即 ij ＝ 81 ，且 i ， j ∈ N * ， 所以 81 ＝ 81 × 1 ＝ 27 × 3 ＝ 9 × 9 ＝ 1 × 81 ＝ 3 × 27 ， 故 表格中 82 共出现 5 次 . 跟踪演练 5 　 (1) 已知函数 f ( x ) ， g ( x ) 分别由下表给出： x 1 2 3 f ( x ) 1 3 1 x 1 2 3 g ( x ) 3 2 1 则 f ( g (1)) 的值为 ________ ；满足 f ( g ( x ))> g ( f ( x )) 的 x 的值为 ________. 1 2 答案 解析 解析　 第一空，因为 g (1) ＝ 3 ，所以 f ( g (1)) ＝ f (3) ＝ 1. 第二空，当 x ＝ 1 时， f ( g ( x )) ＝ f ( g (1)) ＝ f (3) ＝ 1. g ( f ( x )) ＝ g ( f (1)) ＝ g (1) ＝ 3. 此时 1<3 ， 也即 f ( g ( x ))< g ( f ( x )) ，不符合题意 . 当 x ＝ 2 时， f ( g ( x )) ＝ f ( g (2)) ＝ f (2) ＝ 3. g ( f ( x )) ＝ g ( f (2)) ＝ g (3) ＝ 1. 此时 3>1 ，也即 f ( g ( x ))> g ( f ( x )) ，符合题意 . 同理可解得 x ＝ 3 时，不符合题意 . (2) 某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试 ，从中抽出 60 名学生，将其成绩分成六段 [ 40,50) ， [50,60) ， … ， [90,100 ] 后，画出如图所示的频率分布直方图 . 观察图形中的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率 (60 分及以上为及格 ) 为 ________ ，平均分为 ________. 75% 71 返回 答案 解析 解析　 及格的频率是 (0.015 ＋ 0.03 ＋ 0.025 ＋ 0.005) × 10 ＝ 0.75 ， 即 及格率约为 75%. 样本的均值为 45 × 0.1 ＋ 55 × 0.15 ＋ 65 × 0.15 ＋ 75 × 0.3 ＋ 85 × 0.25 ＋ 95 × 0.05 ＝ 71 ， 以 这个分数估计总体的分数即得总体的平均分约为 71. 返回 审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题 . 例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等 . 因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件 . 审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向 . 所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性 . 六审细节更完善 (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解析答案 审题路线图 审题路线图 解析答案 ∴ ( a n ＋ 1 ＋ a n )( a n ＋ 1 － a n － 1) ＝ 0 ， ∵ a n ＋ 1 >0 ， a n >0 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ a n ≠ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － a n ＝ 1 ( n ≥ 2). ∴ a 2 － a 1 ＝ 1 ， 解析答案 ∴ { a n } 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 ， ∴ a n ＝ n . 又 ∵ b n · b n ＋ 1 ＝ ＝ 3 n ， ③ b n － 1 b n ＝ 3 n － 1 ( n ≥ 2 ). ④ 又由 b 1 ＝ 1 ，可求 b 2 ＝ 3 ， 故 b 1 ， b 3 ， … ， b 2 n － 1 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列， b 2 ， b 4 ， … ， b 2 n 是首项为 3 ，公比为 3 的等比数列 . ∴ b 2 n － 1 ＝ 3 n － 1 ， b 2 n ＝ 3·3 n － 1 ＝ 3 n . (2) 记 T n ＝ a n b 2 ＋ a n － 1 b 4 ＋ … ＋ a 1 b 2 n ，求 T n . 审题路线图 解析答案 审题路线图 解　 (2) 由 (1) 得： T n ＝ 3 a n ＋ 3 2 a n － 1 ＋ 3 3 a n － 2 ＋ … ＋ 3 n a 1 ， ⑤ 3 T n ＝ 3 2 a n ＋ 3 3 a n － 1 ＋ 3 4 a n － 2 ＋ … ＋ 3 n ＋ 1 a 1 ， ⑥ ⑥ － ⑤ 得 ： 2 T n ＝－ 3 a n ＋ 3 2 ( a n － a n － 1 ) ＋ 3 3 ( a n － 1 － a n － 2 ) ＋ … ＋ 3 n ( a 2 － a 1 ) ＋ 3 n ＋ 1 a 1 ， 由 a n ＝ n ， ∴ 2 T n ＝－ 3 n ＋ 3 2 ＋ 3 3 ＋ … ＋ 3 n ＋ 3 n ＋ 1 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解析答案 又 S 1 ＝ a 1 ＝ 1 ，所以 a 2 ＝ 4 ， 两式相减得 整理得 ( n ＋ 1) a n ＝ na n ＋ 1 － n ( n ＋ 1) ， 解析答案 返回 解析答案 返回