福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年高一下学期测试（二）数学试题

福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年高一下学期测试（二）数学试题

厦门市湖滨中学高一数学测试（二）‎ ‎1.不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎的解集是（   ）‎ A.[2,3]‎ B.‎‎(−∞,−1]∪[6,+∞)‎ C.‎‎(−∞,0)∪[2,3]‎ D.(0,2)‎‎∪(3,+∞)‎ ‎2.数列‎{an}‎的前 n 项和为Sn，若a‎1‎‎=1,an+1‎=3Sn(n⩾1)‎，则a‎6‎‎=‎（   ）‎ A.‎‎3×‎‎4‎‎4‎ B.‎‎3×‎4‎‎4‎+1‎ C.‎‎4‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎‎+1‎ ‎3.把△ABC 按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A‎′‎O‎′‎‎=‎‎3‎‎2‎，那 么△ABC 是一个（   ）‎ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 ‎4.在 △ ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则 △ABC的形状一定是（   ）‎ A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 ‎5.已知直线‎(k−3)x+(4−k)y+1=0‎与‎2(k−3)x−2y+3=0‎平行，那么 k 的值为（   ）‎ A.1 或 3‎ B.1 或 5‎ C.3 或 5‎ D.1 或 2‎ ‎6.若α,β∈(π‎2‎,π)‎，且sin⁡α=‎2‎‎5‎‎5‎,sin⁡(α−β)=−‎‎10‎‎10‎，则sin⁡β=‎（   ）‎ A.‎‎7‎‎2‎‎10‎ B.‎‎2‎‎2‎ C.‎‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎10‎ ‎7.已知Sn是非零等差数列‎{an}‎的前 n 项和，若a‎7‎‎=9‎a‎3‎，则S‎9‎S‎5‎‎=‎（   ）‎ A.‎‎18‎‎5‎ B.9‎ C.5‎ D.‎‎9‎‎25‎ ‎8.甲船在 B 岛的正南 A 处，AB =10km，甲船以 4km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自 B 出发以 6km/h 的速度向北偏东60°的方向航行，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间为（   ）‎ A.‎‎150‎‎7‎min B.‎‎15‎‎7‎h C.21.5min D.2.15min I.填空题 ‎(1)过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是__________。‎ ‎(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．‎ ‎11.已知‎{an}‎是首项为 1，公差为 2 的等差数列，Sn表示‎{an}‎的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)设‎{bn}‎是首项为 2 的等比数列，公比q满足q‎2‎‎−(a‎4‎+1)q+S‎4‎=0‎，求‎{bn}‎的通项公式及其前n项和Tn。‎ ‎12.已知函数f(x)=‎3‎sin⁡xcos⁡x+sin‎2‎⁡x+‎1‎‎2‎(x∈R)‎。‎ ‎(1)当x∈[−π‎12‎,‎5π‎12‎]‎时，求f (x) 的最大值。‎ ‎(2)设 △ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且c=‎3‎,f(C)=2‎，sin⁡B=2sin⁡A求 a 。‎ 高一数学参考答案 ‎1.【能力值】无 ‎【知识点】(1)分式不等式的解法 ‎【详解】(1)当 x ＞ 0 时，不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎可化为x‎2‎‎−5x+6≤0‎，解得‎2≤x≤3‎；‎ 当 x＜ 0 时，不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎可化为x‎2‎‎−5x+6≥0‎，此时，解得 x＜ 0 。‎ 所以原不等式的解集为‎(−∞,0)∪[2,3]‎。‎ 故选：C.‎ ‎【答案】(1)C ‎2.【能力值】无 ‎【知识点】(1)等比数列的基本概念与性质、根据n项和式和n项积式求通项 ‎【详解】(1)当n⩾1‎时，an+1‎‎=3‎Sn，则an+2‎‎=3‎Sn+1‎，‎ ‎∴an+2‎−an+1‎=3Sn+1‎−3Sn=3‎an+1‎‎，‎ 即an+2‎‎=4‎an+1‎。‎ ‎∴ 该 数 列 从 第 二 项 开 始 是 以 4 为 公 比 的 等 比 数 列 ．‎ 又a‎2‎‎=3S‎1‎=3a‎1‎=3‎，‎ ‎∴an‎={‎‎1(n=1)‎‎3×‎4‎n−2‎(n⩾2)‎。‎ ‎∴当 n＝6 时，a‎6‎‎=3×‎4‎‎6−2‎=3×‎‎4‎‎4‎。‎ ‎【答案】(1)A ‎3.【能力值】无 ‎【知识点】(1)判断三角形的形状 ‎【详解】(1)根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：‎ 由图易得 AB＝BC＝AC＝2，故△ABC 为等边三角形，故选 A.‎ ‎【答案】(1)A ‎4.【能力值】无 ‎【知识点】(1)判断三角形的形状 ‎【详解】(1)方法一：由已知结合正弦定理、余弦定理，得‎2⋅a‎2‎‎+c‎2‎−‎b‎2‎‎2ac⋅a‎2R=‎c‎2R，整理，得a‎2‎‎=‎b‎2‎，．所以 ܽa=b。‎ 方法二：因为sin⁡C=sin⁡[π−(A+B)]=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B，所以由已知，得sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B=0‎，即sin⁡(A−B)=0‎。又因为A−B∈(−π,π)‎，所以A−B=0‎，即A=B。所以△ABC为等腰三角形．‎ ‎【答案】(1)B ‎5.【能力值】无 ‎【知识点】(1)直线与直线的位置关系 ‎【详解】(1)【分析】 讨论 k 的取值，根据两直线平行的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当 4 - k = 0, k = 4时 ‎(k−3)x+(4−k)y+1=0⇒x=−1,2(k−3)x−2y+3=0⇒y=x+‎‎3‎‎2‎ 由于x=-1与y=x+‎‎3‎‎2‎不平行，则 k = 4不满足题意；‎ 当k≠4‎时 ‎(k−3)x+(4−k)y+1=0⇒y=k−3‎k−4‎x+‎‎1‎k−4‎ ‎2(k−3)x−2y+3=0⇒y=(k−3)x+‎‎3‎‎2‎ 由于两直线平行，则有‎{‎k−3‎k−4‎‎=k−3‎‎1‎k−4‎‎≠‎‎3‎‎2‎，解得： k = 3或 k = 5。‎ 故选：C ‎【答案】(1)C ‎6.【能力值】无 ‎【知识点】(1)两角和与差的正弦 ‎【详解】(1)‎β=α−(α−β),∵π‎2‎<α<π,π‎2‎<β<π,∴−π<−β<−π‎2‎,∴−π‎2‎<α−β<‎π‎2‎ ‎∵sin⁡(α−β)=−‎10‎‎10‎<0,∴−π‎2‎<α−β<0‎‎，‎ 则cos⁡(α−β)=‎1−sin‎2‎⁡(α−β)‎=‎1−‎‎(−‎10‎‎10‎)‎‎2‎=‎90‎‎100‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎，‎ ‎∵sin⁡α=‎2‎‎5‎‎5‎,∴cos⁡α=−‎1−sin‎2‎⁡α=−‎1−‎‎(‎2‎‎5‎‎5‎)‎‎2‎=−‎5‎‎25‎=−‎‎5‎‎5‎‎，‎ 则sin⁡β=sin⁡[α−(α−β)]=sin⁡αcos⁡(α−β)−cos⁡αsin⁡(α−β)‎ ‎=‎2‎‎5‎‎5‎×‎3‎‎10‎‎10‎−(−‎5‎‎5‎)×(−‎10‎‎10‎)‎ ‎=‎30‎2‎−5‎‎2‎‎50‎=‎25‎‎2‎‎50‎=‎‎2‎‎2‎‎，‎ 故选 B ‎【答案】(1)B ‎7.【能力值】无 ‎【知识点】(1)等差数列的前n项和 ‎【详解】(1)试题分析：设等差数列‎{an}‎的公差为d，又a‎7‎‎=9‎a‎3‎，所以 a‎3‎‎+4d=9a‎3‎⇒2a‎3‎=d⇒a‎5‎=a‎3‎+2d=5a‎3‎⇒a‎5‎a‎3‎=5‎‎，‎ 又S‎9‎S‎5‎‎=‎(a‎1‎+a‎9‎)×9‎‎2‎‎(a‎1‎+a‎5‎)×5‎‎2‎=‎9‎a‎5‎‎5‎a‎3‎=9‎，故选 B．‎ ‎【答案】(1)B ‎8.【能力值】无 ‎【知识点】(1)解三角形的实际应用问题 ‎【详解】(1)【分析】 两船轨迹距离最近时两船连线构成一个以 B 岛为顶点，角度为 120 度的三角形，然后利用余弦定理列出关于距离的式子，求出最值．‎ ‎【详解】‎ 两船轨迹距离最近时两船连线构成一个以 B 岛为顶点，角度为 120 度的三角形，设距离最近时航行时间为t 小时，此时距离为 s 千米，此时甲船到 B 岛距离为(10-4t)千米，乙船距离B岛6t千米，‎ 所以在 △DBC 中，由余弦定理可得：s‎2‎‎=(6t‎)‎‎2‎+(10−4t‎)‎‎2‎−2×6t×(10−4t)cos⁡‎‎120‎‎∘‎，化简可得：s‎2‎‎=28t‎2‎−20t+100‎，由于抛物线开口向上，在对称轴处，S‎2‎有最小值，此时，t=‎20‎‎56‎=‎‎5‎‎14‎小时，即‎5‎‎14‎‎×60=‎150‎‎7‎min。‎ ‎【答案】(1)A ‎9.【能力值】无 ‎【知识点】(1)直线与直线的位置关系 ‎(2)略 ‎【详解】(1)【分析】 因为所求直线与直线x−2y−2=0‎平行，所以设平行直线系方程为x−2y+c=0‎，代入此直线所过的点的坐标，得参数值 ‎【详解】‎ 设直线方程为x−2y+c=0‎，又经过(1,0)，‎ ‎∴1−0+c=0‎ 故 c=﹣1，‎ ‎∴所求方程为x−2y−1=0‎；‎ 故答案为：x−2y−1=0‎。‎ ‎(2)由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S=‎1‎‎2‎‎×4π×‎3‎‎2‎+π×3×5=33π。‎ ‎【答案】(1)‎x−2y−1=0‎ ‎(2)33π ‎10.【能力值】无 ‎【知识点】(1)等差数列的前n项和 ‎(2)等比数列的前n项和 ‎【详解】(1)试题分析：已知等差数列的首项和公差，可直接利有公式an‎=a‎1‎+(n−1)d,Sn=na‎1‎+n(n−1)‎‎2‎d求解.‎ 解：因为‎{an}‎是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 an‎=a‎1‎+(n−1)d=2n−1‎ 故Sn‎=1+3+⋯+(2n−1)=n(a‎1‎+an)‎‎2‎=n(1+2n−1)‎‎2‎=‎n‎2‎。‎ ‎(2)试题分析：利用（1）的结果求出a‎4‎‎,‎S‎4‎，解方程q‎2‎‎−(a‎4‎+1)q+S‎4‎=0‎得出等比数列‎{bn}‎的公比q的值，从而可直接由公式bn‎=b‎1‎⋅qn−1‎,Tn={‎nb‎1‎‎(q=1)‎b‎1‎‎(1−qn)‎‎1−q‎(q≠1)‎求‎{bn}‎的通项公式及其前n项和Tn。‎ 解：由（1）得，a‎4‎‎=7,S‎4‎=16‎，因为q‎2‎‎−(a‎4‎+1)q+S‎4‎=0‎，即q‎2‎‎−8q+16=0‎，所以‎(q−4‎)‎‎2‎=0‎，从而 q = 4 .‎ 又因b‎1‎‎=2‎，是‎{bn}‎公比 q = 4 的等比数列，所以bn‎=b‎1‎qn−1‎=2⋅‎4‎n−1‎=‎‎2‎‎2n−1‎，‎ 从而‎{bn}‎的前n项和Tn‎=b‎1‎‎(1−qn)‎‎1−q=‎2‎‎3‎(‎4‎n−1)‎。‎ ‎【答案】(1)‎an‎=2n−1,Sn=‎n‎2‎ ‎(2)‎bn‎=‎2‎‎2n−1‎,Tn=‎2‎‎3‎(‎4‎n−1)‎ ‎11.【能力值】无 ‎【知识点】(1)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 ‎(2)正弦定理、余弦定理 ‎【详解】(1)试题分析：借助题设条件运用三角变换的公式求解；‎ 试题解析： ‎f(x)=‎3‎sin⁡xcos⁡x+sin‎2‎⁡x+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin⁡2x+‎1−cos⁡2x‎2‎+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin⁡2x−‎1‎‎2‎cos⁡2x+1=sin⁡(2x−π‎6‎)+1‎ ‎∵x∈[−π‎12‎,‎5π‎12‎],∴2x−π‎6‎∈[−π‎3‎,‎2π‎3‎]‎ ‎∴当‎2x−π‎6‎=‎π‎2‎时，即x=‎π‎3‎时，‎ sin⁡(2x−π‎6‎)=1,∴f(x‎)‎max=2‎‎。‎ ‎(2)试题分析：借助题设条件运用正弦定理和余弦定理求解。‎ 试题解析：‎f(C)=sin⁡(2C−π‎6‎)+1=2‎ ‎∴sin⁡(2C−π‎6‎)=1‎ ‎∵0

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