【数学】2021届一轮复习人教版(理)25 三角函数的图象与性质

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【数学】2021届一轮复习人教版(理)25 三角函数的图象与性质

‎       三角函数的图象与性质 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.下列函数中,周期为2π的奇函数为(  )‎ A.y=sin cos   B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x A [y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B、C、D都不正确,故选A.]‎ ‎2.函数y=|cos x|的一个单调增区间是(  )‎ A.[-,] B.[0,π]‎ C.[π,] D.[,2π]‎ D [将y=cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象(如图).故选D.‎ ‎]‎ ‎3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)对称,那么|φ|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. A [由题意得3cos(2×+φ)=3cos(+φ+2π)=3cos(+φ)=0,‎ 所以+φ=kπ+,k∈Z.‎ 所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,‎ 得|φ|的最小值为.]‎ ‎4.函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别为(  )‎ A.3,-1 B.3,-2‎ C.2,-1 D.2,-2‎ D [y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x ‎=-sin2x-2sin x+1,‎ 令t=sin x,‎ 则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,‎ 所以ymax=2,ymin=-2.]‎ ‎5.若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在[-,0]上为减函数,则θ的一个值为(  )‎ A.- B.- C. D. D [由题意得f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+).因为函数f(x)为奇函数,所以θ+=kπ,k∈Z,故θ=-+kπ,k∈Z.当θ=-时,f(x)=2sin 2x,在[-,0]上为增函数,不合题意.当θ=时,f(x)=-2sin 2x,在[-,0]上为减函数,符合题意.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.函数y=cos(-2x)的单调递减区间为________.‎ ‎[kπ+,kπ+](k∈Z) [因为y=cos(-2x)=cos(2x-),‎ 所以令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).]‎ ‎7.已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________.‎  [由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴ω=k+,又ω∈(1,2),∴ω=,‎ 从而得函数f(x)的最小正周期为=.]‎ ‎8.设函数f(x)=sin(2x+).若x1x2<0,且f(x1)-f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为________.‎ ‎(,+∞) [如图,画出f(x)=sin(2x+)的大致图象,‎ 记M(0,),N(,),则|MN|=.设点A,A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A,A′位于y轴两侧),这两个点的横坐标分别记为x1,x2,结合图形可知,|x2-x1|=|AA′|∈(|MN|,+∞),即|x2-x2|∈(,+∞).]‎ 三、解答题 ‎9.已知f(x)=sin(2x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈[,]时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ ‎[解] (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.‎ ‎(2)当x∈[,]时,≤2x+≤,‎ 所以-1≤sin(2x+)≤,‎ 所以-≤f(x)≤1,‎ 所以当x∈[,]时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.‎ ‎10.已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.‎ ‎[解] (1)f(x)=a·b+ ‎=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+ ‎=sin x·cos x-cos2x+ ‎=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).‎ 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+π(k∈Z),‎ 即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+π(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,‎ 则x1+x2=,‎ ‎∴cos(x1-x2)=cos[x1-(-x1)]‎ ‎=cos(2x1-)=cos[(2x1-)-]‎ ‎=sin(2x1-)=f(x1)=.‎ ‎1.(2019·太原模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)的图象的一个对称中心为(,0),其中ω为常数,且ω∈(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是(  )‎ A.1 B. C.2 D.π B [因为函数f(x)=2sin(ωx+)的图象的一个对称中心为(,0),所以ω+=kπ,k∈Z,所以ω=3k-1,k∈Z,由ω∈(1,3),得ω=2.由题意得|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,即==.]‎ ‎2.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)恒成立,且f()=1,则实数b的值为(  )‎ A.-1 B.3‎ C.-1或3 D.-3‎ C [由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3.]‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.‎ ‎[解] 由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),‎ 所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),‎ 展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知上式对∀x∈R都成立,‎ 所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.‎ ‎(2)因为f=,‎ 所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又因为0<φ<,所以φ=,‎ 即f(x)=sin,‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 故f(x)的递增区间为(k∈Z).‎ ‎1.设函数f(x)=sin(2x+)(x∈[0,]),若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则2x1+3x2+x3的值为(  )‎ A.π B. C. D. D [由题意x∈[0,],则2x+∈[,],‎ 画出函数的大致图象,如图所示.‎ 由图可得,当≤a<1时,方程f(x)=a恰有三个根.由2‎ x+=得x=,‎ 由2x+=得x=,‎ 由图可知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=对称,点(x2,a)与点(x3,a)关于直线x=对称,‎ 所以x1+x2=,x2+x3=,‎ 所以2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=.]‎ ‎2.已知函数f(x)=a(2cos2+sin x)+b.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;‎ ‎(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.‎ ‎[解] f(x)=a(1+cos x+sin x)+b ‎=asin(x+)+a+b.‎ ‎(1)当a=-1时,f(x)=-sin(x+)+b-1,‎ 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),‎ ‎∴f(x)的单调增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,‎ ‎∴-≤sin(x+)≤1.依题意知a≠0,‎ ‎①当a>0时,∴a=3-3,b=5;‎ ‎②当a<0时,∴a=3-3,b=8.‎ 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.‎
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