2019届二轮复习提能二　系统思想提能增分学案（全国通用）

2019届二轮复习提能二　系统思想提能增分学案（全国通用）

提能二　系统思想 提能增分 一、函数与方程思想 授课提示：对应学生用书第86页 应用一　 解决图象交点或方程根的问题 ‎　(2018·南宁模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0 时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(，1)　　　 B．(1,4)‎ C．(1,8) D．(8，＋∞)‎ 解析：∵∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，∴f(x＋4)＝f(2＋(x＋2))＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.又∵当x∈[－2,0 时，f(x)＝x－1＝()－x－1，∴当x∈[0,2 时，f(x)＝f(－x)＝()x－1，于是x∈[－2,2 时，f(x)＝() x －1，根据f(x)的周期性作出f(x)的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a＞1且y＝f(x)与y＝loga(x＋2)(a＞1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，‎ ‎∵f(－2)＝f(2)＝f(6)＝1，∴对于函数y＝loga(x＋2)(a＞1)，当x＝6时，loga8＜1，解得a＞8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)，所以选D.‎ 答案：D ‎[对点训练 ‎ ‎　若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．‎ 解析：法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x，‎ 设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，‎ 显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．‎ 因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1 ，易求得f(x)的值域为(－1,1 ，故a的取值范围是(－1,1 ．‎ 法二：令t＝sin x，‎ 由x∈，可得t∈(0,1 ．‎ 将方程变为t2＋t－1－a＝0.‎ 依题意，该方程在(0,1 上有解，‎ 设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．‎ 因此，f(t)＝0在(0,1 上有解等价于 即所以－1＜a≤1，‎ 故a的取值范围是(－1,1 ．‎ 答案：(－1,1 ‎ 应用二　 解决最值或范围问题 ‎　已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足 c ＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y， c－xa－yb 的最小值为________．‎ 解析：由题意可知 a ＝ b ＝1，a·b＝0，‎ 又 c ＝3，c·a＝2，c·b＝1，‎ 所以 c－xa－yb 2＝ c 2＋x2 a 2＋y2 b 2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b ‎＝9＋x2＋y2－4x－2y ‎＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，‎ 当且仅当x＝2，y＝1时，( c－xa－yb 2)min＝4，‎ 所以 c－xa－yb 的最小值为2.‎ 答案：2‎ ‎[对点训练 ‎ ‎　圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设圆锥的高为h，轴截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝×2r×h＝L2sin θ≤L2，sin θ≤1，当截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90˚，得L＞r≥Lcos 45˚＝L，所以≤＜1.‎ 答案：D 应用三　 解决与不等式有关的问题 ‎　若0＜x1＜x2＜1，则(　　)‎ A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1‎ B．ex2－ex1＜ln x2－ln x1‎ C．x2ex1＞x1ex2‎ D．x2ex1＜x1ex2‎ 解析：设f(x)＝ex－ln x(0＜x＜1)，‎ 则f′(x)＝ex－＝.‎ 令f′(x)＝0，得xex－1＝0.‎ 根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．‎ 设g(x)＝(0＜x＜1)，则g′(x)＝.‎ 又0＜x＜1，∴g′(x)＜0.‎ ‎∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．‎ 又0＜x1＜x2＜1，∴g(x1)＞g(x2)，‎ ‎∴x2ex1＞x1ex2，故选C.‎ 答案：C ‎[对点训练 ‎ ‎　已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)＜0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式＞1的解集为________．‎ 解析：∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，‎ ‎∴g(0)＝g(4)＝1.‎ 设f(x)＝，‎ 则f′(x)＝＝.‎ 又g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0，‎ ‎∴f(x)在R上单调递减．‎ 又f(0)＝＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0.‎ 答案：(－∞，0)‎ 应用四　 解决与数列有关的问题 ‎　已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a3＝5，a2，a4，a12成等比数列．数列{bn}的每一项均为正实数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝b＋2bn－3(n∈N )．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，若≥对∀n∈N 恒成立，求正整数m的最大值．‎ 解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知可得d≠0，且 ，‎ 解得或(舍去)，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－4.‎ 当n＝1时，4b1＝b＋2b1－3，∵bn＞0，∴b1＝3，‎ 当n≥2时，‎ ‎4Sn＝b＋2bn－3　①，‎ ‎4Sn－1＝b＋2bn－1－3　②，‎ ‎①－②得，4bn＝b－b＋2bn－2bn－1，‎ 即(bn－bn－1－2)·(bn＋bn－1)＝0，‎ ‎∵bn＞0，∴bn－bn－1＝2，‎ ‎∴{bn}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 故bn＝2n＋1.‎ ‎(2)cn＝＝＝(－)，‎ Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝(1－)＝.‎ ‎∴Tn＋1＝，‎ ‎∴＝＝＝1－，‎ 令f(x)＝1－，则当x＞0时，f′(x)＝＞0，‎ ‎∴{}为递增数列，∴≥＝，‎ 又≥对∀n∈N 恒成立，∴＝≤，‎ 得m≤，‎ ‎∴正整数m的最大值为6.‎ ‎[对点训练 ‎ 已知数列{an}满足＋＋…＋＝(n∈N )．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝anan＋1，Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的n∈N ，Sn＞2λ－恒成立，求S n及实数λ的取值范围．‎ 解析：(1)因为＋＋…＋＝(n∈N )，‎ 所以当n＝1时，＝，解得a1＝2.‎ 当n≥2时，＋＋…＋＝(n∈N )，‎ 所以＝－＝，‎ 故an＝，经检验当n＝1时也成立，‎ 故an＝.‎ ‎(2)bn＝anan＋1＝×＝2(－)，‎ 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－) ‎ ‎＝2(1－)．‎ 因为对于任意的n∈N ，Sn＞2λ－恒成立，‎ 所以λ＜－，易知－单调递增，min＝，所以λ＜，即实数λ的取值范围为(－∞，)．‎ 应用五　 与立体几何、解析几何有关的问题 ‎　某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0＜a＜，0＜h＜2.于是＝，h＝2－a.‎ 令f(a)＝V长方体＝a2h＝‎2a2－a3，‎ ‎∴f′(a)＝‎4a－‎3a2，‎ 当f′(a)＝0时，a＝.‎ 易知f(a)max＝f＝.‎ ‎∴材料利用率＝＝.故选A.‎ 答案：A ‎[对点训练 ‎ ‎　(2018·临沂模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120˚.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 解析：如图，过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设 AF ＝a， BF ＝b，由抛物线的定义，得 AF ＝ AQ ， BF ＝ BP ，在梯形ABPQ中，2 MN ＝ AQ ＋ BP ＝a＋b.在△ABF 中，由余弦定理得 AB 2＝a2＋b2－2abcos 120˚＝a2＋b2＋ab，配方得 AB 2＝(a＋b)2－ab，因为ab≤()2，则(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－()2＝(a＋b)2，即 AB 2≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥＝3，则≥，即所求的最小值为.‎ 答案：C ‎(1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决．如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．‎ ‎(2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．‎ ‎(3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．‎ 二、分类讨论思想 授课提示：对应学生用书第89页 应用一　 由概念、法则、公式引起的分类讨论 ‎　(2018·青岛模拟)等比数列1,‎2a,‎4a2,‎8a3，…的前n项和Sn＝________.‎ 解析：公比为q＝‎2a，‎ 当‎2a＝1，即a＝时，‎2a＝1，Sn＝n；‎ 当q≠1，即a≠时，‎2a≠1，‎ 则Sn＝.‎ 答案： ‎[对点训练 ‎ 一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为(　　)‎ A．x＋y－7＝0‎ B．2x－5y＝0‎ C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0‎ D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0‎ 解析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.‎ 答案：C 应用二　 由运算性质引起的分类讨论 ‎　(2016·高考浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)‎ A．(a－1)(b－1)＜0　 B．(a－1)(a－b)＞0‎ C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0‎ 解析：∵a，b＞0且a≠1，b≠1，‎ ‎∴当a＞1，即a－1＞0时，‎ 不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，‎ ‎∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.‎ 当0＜a＜1，即a－1＜0时，‎ 不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，‎ ‎∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.‎ 综上可知，选D.‎ 答案：D ‎[对点训练 ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos ‎2C＝－.‎ ‎(1)求sin C的值；‎ ‎(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．‎ 解析：(1)由cos ‎2C＝1－2sin‎2C，得sin C＝.‎ ‎(2)由2 sin A＝sin C，得‎2a＝c，所以c＝4.‎ 由sin C＝，得cos C＝±.‎ 下面分两种情况：‎ ‎①当cos C＝时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得b2－b－12＝0，解得b＝2.‎ ‎②当cos C＝－时，同理可得b＝.‎ 综上c＝4，b＝2或b＝.‎ 应用三　 由参数变化引起的分类讨论 ‎　(2017·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝＋a在区间[1,4 上的最大值是5，则a的取值范围是________．‎ 解析：设g(x)＝x＋－a，x∈[1,4 ，‎ g′(x)＝1－＝，易知g(x)在[1,2 上为减函数，在[2,4 上为增函数，g(2)＝4－a，g(1)＝g(4)＝5－a.‎ ‎(1)当a≤4时， g(x) max＝5－a，‎ ‎∴f(x)max＝ g(x) max＋a＝5.∴a≤4符合题意．‎ ‎(2)当4＜a≤5时，‎ ‎ g(x) max＝max{a－4,5－a}＝ 当＜a≤5时，f(x)max＝a－4＋a＝5⇒a＝(舍去)．‎ 当4＜a≤时，f(x)max＝5－a＋a＝5，∴4＜a≤符合题意．‎ ‎(3)当a＞5时， g(x) max＝a－4，‎ ‎∴f(x)max＝a－4＋a＝5⇒a＝(舍去)．‎ 综上，实数a的取值范围为.‎ 答案： ‎[对点训练 ‎ 已知函数f(x)＝ ln x (x≠1)，若至少有一对关于x轴对称的点分别在直线y＝ (x－1)( ≠0)和函数f(x)的图象上，则实数 的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ 解析：由题可知，至少有一对关于x轴对称的点分别在直线y＝ (x－1)( ≠0)和函数f(x)的图象上，即函数y＝－ ln x (x≠1)＝的图象与直线y＝ (x－1)( ≠0)有交点．当 ＜0时，只需研究x＞1的情况，设g(x)＝－ln x－ (x－1)，则g′(x)＝－－ ，若 ≤－1，则g′(x)≥0，∴当x＞1时，g(x)＞g(1)＝0，∴当x＞1时，g(x)无零点，不符合题意；若－1＜ ＜0，由g′(x)＝－－ ＝0，得x＝－，∴g(x)在(1，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增，∴g(x)有最小值g(－)＝－ln(－)＋ ＋1＜g(1)＝0，又当x无限趋近于＋∞时，g(x)趋近于＋∞，∴g(x)有零点，符合题意．当 ＞0时，只需研究0＜x＜1的情况，令h(x)＝ln x－ (x－1)，则h′(x)＝－ ，若0＜ ≤1，则h′(x)≥0，∴当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，∴当0＜x＜1时，h(x)无零点，不符合题意；若 ＞1，由h′(x)＝－ ＝0，得x＝，∴h(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，∴h(x)有最大值h()＝ln －1＋ ＞h(1)＝0，又当x无限趋近于0时，h(x)无限趋近于－∞，∴h(x)有零点，符合题意．综上所述，实数 的取值范围是－1＜ ＜0或 ＞1，故选C.‎ 答案：C 应用四　 由图形位置或形状引起分类讨论 ‎　过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若 AB ＝4，则这样的直线l有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，可知有3条直线满足 AB ＝4.‎ 答案：C ‎[对点训练 ‎ 已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 ＝(　　)‎ A．－ B. C．0 D．0或－ 解析：不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝ x＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．‎ 结合图形可知斜率 的值为0或－.‎ 答案：D ‎1．分类讨论的原则 ‎(1)不重不漏；‎ ‎(2)标准要统一，层次要分明；‎ ‎(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．‎ ‎2．分类讨论的本质与思维流程 ‎(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”． ‎ ‎(2)分类讨论的思维流程：‎ 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．‎ ‎ ‎ 三、数形结合思想 授课提示：对应学生用书第90页 应用一　 数形结合解决方程的根或函数零点 ‎　设函数f(x)＝ 2x－1 ，函数g(x)＝f(f(x))－loga(x＋1)(a＞0，a≠1)在[0,1 上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.　 B．(1,2)‎ C. D．(2，＋∞)‎ 解析：因为f(x)＝ 2x－1 ＝ 所以f(f(x))＝ 2 2x－1 －1 ‎ ‎＝ 四个选项中都有a＞1，分别画出y＝f(f(x))与y＝loga(x＋1)的图象，如图．‎ 因为y＝loga(x＋1)的图象是由y＝logax的图象向左平移一个单位得到的，且过点(0,0)，‎ 当x＝1时，y＝f(f(1))＝1，‎ 由loga(1＋1)＝1得a＝2，此时，y＝f(f(x))与y＝loga(x＋1)的图象有4个交点，‎ 当x＝时，y＝f＝1，‎ 由loga＝1得a＝，此时，y＝f(f(x))与y＝loga(x＋1)的图象有2个交点，综上所述，a的取值范围为.‎ 答案：C ‎[对点训练 ‎ 若关于x的方程＝ x2有四个不同的实数解，则 的取值范围为________．‎ 解析：当x＝0时，显然是方程的一个实数解；‎ 当x≠0时，方程＝ x2可化为 ＝(x＋4) x (x≠－4)，‎ 设f(x)＝(x＋4) x (x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．‎ 则f(x)＝(x＋4) x ＝的大致图象如图所示，‎ 由图，易得0＜＜4，‎ 解得 ＞.‎ 所以 的取值范围为.‎ 答案： 应用二　 利用数形结合求解不等式参数范围 ‎　设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________．‎ 解析：设F(x)＝f(x)g(x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．‎ 当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，‎ 所以当x＜0时，F(x)为增函数．‎ 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以当x＞0时，F(x)也是增函数，‎ 且F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)，‎ 则F(x)的大致图象如图所示，由图可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．‎ 答案：(－∞，－3)∪(0,3)‎ ‎[对点训练 ‎ 若不等式 x－‎2a ≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析：作出y＝ x－‎2a 和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有‎2a≤2－‎2a，故a≤.‎ 答案： 应用三　 利用数形结合解决解析几何问题 ‎　如图所示，A，B，C是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且 BF ＝ CF ，则该双曲线的离心率是________．‎ 解析：令 AF ＝x，记F′为双曲线的左焦点，连接AF′，BF′，CF′，BC，如图所示，根据题意，得 OA ＝ OB ＝ OF ＝c， AF′ ＝x＋‎2a＝ CF ， CF′ ＝ CF ＋‎2a＝x＋‎4a，由 CF′ 2＝ AF′ 2＋ AC 2，得x＝a.‎ ‎∴ BF ＝ AF′ ＝x＋‎2a＝‎3a，由 AB 2＝ BF 2＋ AF 2，得(‎2c)2＝(‎3a)2＋a2，∴e＝＝.‎ 答案： ‎[对点训练 ‎ ‎　已知点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，抛物线y2＝8x上任意一点P到直线l：x＝－2的距离为d，则d＋ PQ 的最小值等于________．‎ 解析：抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，故直线l：x＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d＝ PF .圆C的方程可变形为(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2.如图所示，d＋ PQ ＝ PF ＋ PQ .‎ 显然， PF ＋ PQ ≥ FQ (当且仅当F，P，Q三点共线，且点P在点F，Q之间时取等号)．而 FQ 为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当Q处在Q′的位置，P处在P′的位置时， FQ 取得最小值，且最小值为 CF －r＝－2＝5－2＝3.‎ 答案：3‎ 运用数形结合思想分析解决问题的3个原则 ‎(1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．‎ ‎(2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．‎ ‎(3)简单性原则 找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．‎ 四、转化与化归思想 授课提示：对应学生用书第91页 应用一　 正与反的相互转化 ‎　若对于任意t∈[1,2 ，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，‎ 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，‎ 则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，‎ 或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．(正反转化)‎ 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x，‎ 当x∈(t,3)时恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，‎ 则m＋4≥－1，即m≥－5；‎ 由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤－3x，‎ 当x∈(t,3)时恒成立，‎ 则m＋4≤－9，即m≤－.‎ ‎∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为.‎ 答案： ‎[对点训练 ‎ ‎　若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1 内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．‎ 解析：如果在[－1,1 内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，‎ 取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．‎ 故实数p的取值范围为.‎ 答案： 应用二　 一般与特殊的转化 ‎　已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1 上的最小值为－3，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1 　 B．[12，＋∞)‎ C．[－1,12 D．[－，12 ‎ 解析：当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1,1 ，显然满足条件，故排除A、B；‎ ‎(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0,1往往是首选．)‎ 当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，‎ f′(x)＝x2－＝(x2－1)，‎ 当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，‎ 所以f(x)在[－1,1 上单调递减，‎ 所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C.‎ 综上，选D.‎ 答案：D ‎[对点训练 ‎ ‎　设四边形ABCD为平行四边形， ＝6， ＝4.若点M，N满足＝3，＝2 ‎，则·＝(　　)‎ A．20 B．15‎ C．9 D．6‎ 解析：若四边形ABCD为矩形，建系如图．‎ 由＝3，＝2，‎ 知M(6,3)，N(4,4)，‎ ‎∴＝(6,3)，＝(2，－1)，‎ ·＝6×2＋3×(－1)＝9.故选C.‎ 答案：C 应用三　 常量与变量的转化 ‎　已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．‎ 解析：由题意，知g(x)＝3x2－ax＋‎3a－5，‎ 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.‎ 对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，‎ ‎∴即 解得－＜x＜1.‎ 故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.‎ 答案： ‎[对点训练 ‎ ‎　设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2 上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．‎ 解析：设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，‎ 则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2 时，f(t)＞0恒成立，‎ 则即 解得log2x＜－1或log2x＞3，‎ 即0＜x＜或x＞8，‎ 故x的取值范围是∪(8，＋∞)．‎ 答案：∪(8，＋∞)‎ ‎1．转化与化归的原则 ‎(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．‎ ‎(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或者得某种解题的启示和依据．‎ ‎(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．‎ ‎(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．‎ ‎2．转化与化归的指导思想 ‎(1)把什么问题进行转化，即化归对象．‎ ‎(2)化归到何处去，即化归目标．‎ ‎(3)如何进行化归，即化归方法．‎ 转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．‎