安徽省安庆市怀宁中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试卷

安徽省安庆市怀宁中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试卷

数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题)‎ 一、单选题（12*5=60分)‎ ‎1.若方程表示圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】方程表示圆，则，即，‎ 解得或，因此，实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用圆一般方程求参数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②高二年级有2000名学生，为调查学生的学习情况抽取一个容量为20的样本；③从某社区100 户高收人家庭，270户中等收人家庭，80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（ ）‎ A. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特点，逐一分析，选出正确的答案.‎ ‎【详解】在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可；在②中，因为个体数量多，故采用系统抽样较好；在③中，因为高收入家庭，中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层抽样较好.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了抽样的方法，正确掌握简单随机抽样、分层抽样、系统抽查的特点，是解题的关键.‎ ‎3.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是（）‎ A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据对立事件的定义，可得事件“两次都中靶”的对立事件，从而得出结论.‎ ‎【详解】根据对立事件的定义可得，‎ 事件“两次都中靶”的对立事件是：至多有一次中靶，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关对立事件的选取择问题，涉及到的知识点有对立事件的定义，属于简单题目.‎ ‎4.如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（ ）‎ ‎ ‎ A. 2 B. 6 C. 10 D. 34‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】因为“”， 根据程序框图， 第一次执行循环体后，；第二次执行循环体后，；第三次执行循环体后，；此时程序停止，输出． 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.‎ ‎5.平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是（　　）‎ A. x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 B. 或 C. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线平行的关系设切线方程为，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．‎ ‎【详解】∵直线和直线x+2y+1=0平行，‎ ‎∴设切线方程为x+2y+b=0，‎ 圆心坐标为（0，0），半径R=2，‎ 当直线和圆相切时，圆心到直线的距离，‎ 解得b=2或b=﹣2，‎ 故切线方程为或.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎6.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．‎ ‎7.在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在区间上随机取两个数点构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“”构成的区域为圆及其内部，所以概率 ‎8.下列命题中真命题的个数有（ ）‎ ‎①；②；③若命题是真命题，则是真命题；④是奇函数.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，整理得，即可判断其为真命题；对于②，令，即可判断其正确；对于③，利用复合命题真假关系即可判断至少有一个为真命题，所以真假不能判断；对于④，直接利用函数奇偶性定义判断其为真命题 ‎【详解】对于①，恒成立，所以①正确 对于②，当时，，所以成立，所以②正确 对于③，若命题是真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误 对于④，令，则，‎ 所以是奇函数，所以④正确 故选C ‎【点睛】本题主要考查了命题真假判断，考查了全称、特称命题的真假判断及复合命题的真假关系，还考查了函数奇偶性判断，属于基础题．‎ ‎9.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如下图），已知从左到右各长方形高的比为，则该班学生数学成绩在之间的学生人数是（ ）‎ A. 32 B. 27 C. 24 D. 33‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为2x,3x,5x,6x,3x,x,，同它们的和为,所以该班学生数学成绩在［80，100)之间的学生人数是,故选D ‎10.已知椭圆离心率为，则的值为（　　）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对椭圆的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数的值.‎ ‎【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得；‎ 当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得.‎ 因此，或.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记个白球分别为、、，个红球分别为、，列举出所有的基本事件，并确定出事件“所取的个球中恰有个白球，个红球”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】记个白球分别为、、，个红球分别为、，‎ 所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，‎ 其中，事件“所取的个球中恰有个白球，个红球”所包含的基本事件有：、、、、、，共个，‎ 因此，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.方程表示的曲线为（ ）‎ A. 一个圆 B. 半个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分与两种情况讨论，分别整理曲线方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题知，故或.‎ 当时，方程可化为；‎ 当时，方程可化为.‎ 故该方程表示两个半圆.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查圆的方程，根据题意，分类讨论，整理曲线方程即可，属于常考题型.‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题（4*5=20分）‎ ‎13.与的最大公约数是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用辗转相除法可求出与的最大公约数.‎ ‎【详解】，，，因此，与的最大公约数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查两个正整数的最大公约数的求解，一般利用辗转相除法和更相减损术来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.命题：，，写出命题的否定：_______________‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特称命题改为全称命题，把“”改为“”，“存在”改为“所有”，再否定结论.‎ ‎【详解】命题是特称命题，它的否定是全称命题，‎ 所以命题的否定为：‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.‎ ‎15.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，‎ 其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为时，只有一种取法，‎ 所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎16.设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算右焦点，左焦点将转化为，计算 的范围得到答案.‎ ‎【详解】，为的右焦点， ，左焦点 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆取值范围问题，将转化为是解题的关键，意在考查学生对于椭圆性质的灵活运用和计算能力.‎ 三、解答题 ‎17.已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当命题分别为真时，分别求出的范围，由条件得到为一真一假，再根据集合运算求实数的取值范围.‎ ‎【详解】当真时，；当为真时，，‎ 因为为假，为真，所以或 所以或 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数性质的灵活运用.‎ ‎18.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)求圆C在点B处的切线方程．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）做辅助线，利用勾股定理，计算BC的长度，然后得出C的坐标，结合圆的方程，即可得出答案．（2）利用直线垂直，斜率之积为-1，计算切线的斜率，结合点斜式，得到方程．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ 过C点做CDBA，联接BC，因为，所以，因为 ‎ 所以，所以圆的半径 ‎ 故点C的坐标为，所以圆的方程为 ‎ ‎ ‎ （2）点B的坐标为，直线BC的斜率为 ‎ 故切线斜率，结合直线的点斜式 ‎ 解得直线方程为 ‎【点睛】本道题目考查了圆的方程的求解和切线方程计算，在计算圆的方程的时候，关键找出圆的半径和圆心，建立方程，计算切线方程，可以结合点斜式，计算方程，即可．‎ ‎19.假设某种设备使用的年限（年）与所支出的维修费用（万元）有以下统计资料：‎ 使用年限 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 若由资料知对呈线性相关关系.试求：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）线性回归方程；‎ ‎（3）估计使用10年时，维修费用是多少？‎ 附：利用“最小二乘法”计算的值时，可根据以下公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）维修费用为12万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用计算公式即可得出；（2）利用的计算公式得出结果，再求即可；（3）利用第（2）问得出的回归方程，计算x=10时的结果即可.‎ ‎【详解】（1），． （2）=2×2+3×4+4×5+5×6+6×7=108，=5×4×4.8=96，=90，=80， ∴=1.2，=4.8-1.2×4=0， 所以，线性回归方程为=1.2x． （3）当x=10时，y=12. 所以该设备使用10年，维修费用的估计值为12万元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的应用及相关计算，意在考查学生的数据处理能力，分析能力及计算能力，难度不大.‎ ‎20.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游. ‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率.‎ 试题解析： ‎ ‎（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎ ，共个.‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：‎ ‎,共个，则所求事件的概率为：.‎ ‎（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，共个，‎ 包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，‎ 所以所求事件的概率为：.‎ ‎【考点】古典概型 ‎【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.‎ ‎21.椭圆：，直线过点，交椭圆于、两点，且为的中点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，求弦长，解得的值.‎ ‎【详解】（1）设， ‎ ‎ ，两式相减可得 ，‎ ‎ ，‎ 代入可得，‎ 直线的方程是 ，‎ 即.‎ ‎（2），‎ 联立 得 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 化简为 ，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了中点弦的解决方法——点差法，以及弦长公式，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，中点坐标，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎22.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现从这两校参加考试的学生数学成绩在100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如下的茎叶图．‎ ‎（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；‎ ‎（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关；‎ ‎（3）若从这40名学生中选取数学成绩在的学生，用分层抽样的方式从甲乙两校中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人分析其失分原因，求这3人中恰有2人是乙校学生的概率．‎ 参考公式与临界值表：，其中．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图分别求出甲乙两校数学成绩的中位数后进行比较即可得到结论．（2）根据题中数据可得列联表，由表中数据得到，由此可得结论．（3）根据分层抽样的方法可得从甲校抽取2人、乙校抽3人，然后根据古典概型概率求解即可．‎ ‎【详解】（1）由茎叶图可知，甲校学生数学成绩的中位数为，乙校学生数学成绩的中位数为，‎ 所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高．‎ ‎（2）由题意，得到列联表如下：‎ 甲校 乙校 合计 数学成绩优秀 ‎10‎ ‎7‎ ‎17‎ 数学成绩不优秀 ‎10‎ ‎13‎ ‎23‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 由表中数据可得，，‎ 所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关． ‎ ‎（3）这40名学生中数学成绩在的甲校有4人，乙校有6人，用分层抽样的方式抽取5人，则甲校抽取2人，分别记作；乙校抽3人，分别记作．‎ 从这5人中随机抽取3人，所有可能的结果有：‎ ‎，共10种，‎ 其中乙校学生恰有2人的结果有：，共6种，‎ 所以所求概率．‎ ‎【点睛】本题考查概率统计的综合问题，解题时要认真阅读题意，从中得到解题时需要的信息，然后再根据相关知识求解，考查运用知识解决问题的能力和应用意识，属于中档题．‎ ‎ ‎