【数学】2020届一轮复习人教A版解决平面向量中数量积问题学案

【数学】2020届一轮复习人教A版解决平面向量中数量积问题学案

‎2020届一轮复习人教A版 解决平面向量中数量积问题 学案 ‎1.　设a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－，0)∪(0，＋∞)‎ ‎【解析】因为a与a＋λb的夹角为锐角，所以a·(a＋λb)>0且排除a与a＋λb共线同向．a·(a＋λb)>0⇒3λ＋5>0⇒λ>－，a∥(a＋λb)⇒2＋λ－2－2λ＝0⇒λ＝0.所以实数λ的取值范围是(－，0)∪(0，＋∞)． ‎ ‎（二）几何图形中的数量积问题 例2. 在△ABC中，AB＝3，AC＝5，O为△ABC的外心，则·的值为________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】取BC边的中点D，连接AD，DO，AO.‎ 因为与不共线，所以，可以作为平面所有向量的一组基底．因为点O是△ABC的外心，点D是边BC的中点，所以OD⊥BC，从而·＝(＋)·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(25－9)＝8.‎ 变式1　如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记mi＝·(i＝1,2，…，10)，求m1＋m2＋…＋m10的值．‎ ‎【答案】180‎ 变式2　如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3，点B，C分别在直线m，n上，|＋|＝5，求·的最大值．‎ ‎【答案】 ‎【解析】(法1)(＋)2＝(－)2＋4·⇒·＝(25－2)≤(25－22)＝.‎ ‎(法2)如图所示，建立直角坐标系，则A(0,3)，设B(x1,2)，C(x2,0)，则＝(x1，－1)，＝(x2，－3)，因为|＋|＝5，所以(x1＋x2)2＋(－4)2＝25，即(x1＋x2)2＝9，而·＝x1x2＋3≤()2＋3＝＋3＝(当且仅当x1＝x2时取等号)．‎ ‎（三）极化恒等式的应用 例3. 在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，求·的值．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设BD的中点为E，BC的中点为O，根据极化恒等式得：‎ ‎4·＝(＋)2＋(－)2＝42－2‎ ‎＝4[||2＋||2]－2‎ ‎＝4[()2＋1]－12＝30，从而·＝. ‎ 变式1　设点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的一点，求·的取值范围．‎ ‎【答案】≤·≤1.‎ ‎【解析】设AC的中点为M，根据极化恒等式得：4·＝42－2＝4||2－2，因为1≤||2≤，所以≤·≤1.‎ 变式2　已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，求·的取值范围．‎ ‎【答案】[－2,6]‎ ‎1．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b夹角为120°，则(a＋2b)·(a＋b)的值为________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b夹角为120°，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×(－)＝－4，从而(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝12. ‎ ‎2．向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b夹角的余弦值为________．‎ ‎【答案】 ‎3．在△ABC中，AB＝9，BD＝6，CD⊥AB，那么·＝________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】因为＝－，·＝(－)·＝·－·＝(9－6)×9＝27.‎ ‎4．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝， c＝2，当·取得最大值时，的值为________．‎ ‎【答案】2＋ ‎【解析】如图所示，在直径为的圆中，弦AB固定，点C在圆上运动，满足题中的△ABC，结合数量积的定义可得，‎ 当CD⊥AB时，·取到最大值，此时∠CAB＝∠BCD＝15°，在△ABC中，＝，即＝＝＝2＋.‎ ‎1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据数量积的定义得a·b＝|a||b|cos θ＝2××＝3.‎ ‎2．已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为a·b＝0，所以a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k－(1－2k)－2＝0，解得k＝.‎ ‎3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)⊥c，则λ＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】因为a＋λb＝(1＋λ，2)，所以(a＋λb)·c＝0⇒3＋3λ＋8＝0⇒λ＝－. ‎ 因为·＝，所以·＝(，0)(x,2)＝，解得x＝1，从而·＝(，1)(1－，2)＝.‎ ‎8. 如图，在四边形ABCD中，AC＝，BD＝1，则(＋)·(＋)＝________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为与不共线，所以，可以作为平面所有向量的一组基底．所以(＋)·(＋)‎ ‎＝[(＋)＋(－)]·(＋)‎ ‎＝(－)·(＋)＝2－2＝3－1＝2.‎ ‎9. 在矩形ABCD中，＝a，＝b，N是CD的中点，M是线段AB上的点，|a|＝2，|b|＝1，‎ ‎(1)若M是AB的中点，求证：与共线；‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；‎ ‎(3)若动点P在矩形ABCD上运动，试求·的最大值及取得最大值时P点的位置．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）AM＝，（3）最大值是4‎ ‎(3)①当P在线段AB上时，设＝ka(0≤k≤1)，则·＝ka·a＝4k，所以·的最大值为4；‎ ‎②当P在线段BC上(不含端点)时，设＝kb(0

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