内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

乌丹二中 2019-2020 学年上学期高一年级数学学科期中试 题 一、 选择题 1.如果 ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据集合中的不等式 可知 是集合 的元素即 ，则 ，故选 D． 考点：元素与集合的关系. 2.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；② 是函数；③ 函数 的图象是一条直线；④ 与 是同一个函数．其中正确 的有(　　) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的定义及其性质即可判断出． 【详解】函数是其定义域到值域的映射，正确； ②要使 与 有意义，则 ，无解，∴ 不是函 数因此错误； ③函数 y=2x（x∈N）的图象是直线 y=2x 上的整点（横坐标和纵坐标都是整数），因此不正 确； ④ =x（x≠0），g（x）=x（x∈R）不是同一函数，因此④不正确． { | 1}A x x= > − 0 A⊆ {0} A∈ A∅∈ {0} A⊆ A 0 A∈ {0} A⊆ ( ) 3 2f x x x= − + − 2 ( N)y x x∈＝ 2 ( ) xf x x = ( )g x x＝ 2 x− 3x − 2 0 3 0 x x − ≥  − ≥ ( ) 2 2f x x x= − + − 2xy x = 综上可知：只有①正确． 故选：A． 【点睛】判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常 出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否 都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 3.设集合 ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析： ， ， . 考点：1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算. 4.下列函数中，既是奇函数，又在 上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 奇函数满足 即可，单调性由函数模型得到即可. 【详解】A. , f(-x)=-x- =-f(x),故函数是奇函数，在（0，1）上是增函数，在 （1， ）上是减函数；故不正确； B. , f(-x)= ,故函数不是奇函数，且在（2， ）上为减，故不正确； C． ，f(-x)= ，函数不是奇函数，在（2， ）上是增函数；故不正确； D. , =- ，是奇函数，在 上为增函数， 故正确. | 04 xA x x  = ≤ −  { }2| 10 16B x y x x= = − + − A B∩ [2,4] [0,2] [ )2,4 [0,8] { | 0 4}A x x= ≤ < { | 2 8}B x x= ≤ ≤ { | 2 4}A B x x∩ = ≤ < (0, )+∞ 1y x x = + 2 4y x x= − | 2 |y x= − 2 1xy x −= ( ) ( )f x f x= − − ( ) 1f x x x = + 1 x +∞ ( ) 2 4f x x x= − 2 4x x+ +∞ ( ) 2f x x= − 2x + +∞ ( ) 2 1 1xf x xx x −= = − ( ) 1f x x x − = − + ( )f x ( )0,+∞ 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用和函数单调性的应用，研究函数单调性，先要注 意函数的定义域问题，之后常见方法有：图像法，即根据函数图像得到单调区间；复杂函数 需要借助导函数，对函数求导来研究函数的单调性. 5.已知 ,则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 令 ，又 ，即 ，故 选 A. 6.已知 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 ，再代入 ，求出 . 【详解】解： ， 则 ， 故选：B. 【点睛】本题考查求分段函数的函数值，是基础题. 7.定义在 R 上的奇函数 满足：对任意的 ，有 ，则 A. B. C. D. 【答案】D ( )1 1 2 3 62f x x f m − = + =   ， m 1 4 − 1 4 3 2 3 2 − ( )1 1, 2 2, 4 72t x x t f t t= − ∴ = + = + ( ) 6f m = 14 7 6, 4m m+ = ∴ = − 2 1, 1( ) 2 3, 1 x xf x x x  + <= − + ≥ ( (2))f f = 7− 1− (2)f ( )f x ( (2))f f (2) 2 2 3 1f = − × + = − ( (2)) ( 1) 1 1 2f f f= − = + = ( )f x 1 2 1 2, [0, )( )x x x x∈ +∞ ≠ 1 2 2 1( )( ( ) ( )) 0x x f x f x− − > ( ) ( )3 ( 2) 1f f f< − < ( ) ( )1 ( 2) 3f f f< − < ( ) ( )2 (1) 3f f f− < < ( ) ( )3 (1) 2f f f< < − 【解析】 由题意得函数 在在 R 上单调递减，所以 ，选 D. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函 数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转 化在定义域内进行 8.已知函数 f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则(　　) A. f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B. f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C. f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D. f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4) 【答案】B 【解析】 因为 f(x)＝2x＋1，所以 f(x－1)＝2x－1.因为函数 f(x)的定义域为[1,3]，所以 1≤x－1≤3，即 2≤x≤4，故 f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．选 B 9.设偶函数 的定义域为 ，当 时， 是减函数，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 f（x）是定义在 R 上的偶函数，将 f（﹣2），f（π），f（﹣3）中的自变量转化为同一个单 调区间[0，+∞）上，再比较大小即可． 【详解】解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴f（﹣2）＝f（2），f（﹣3）＝f（3）； 又∵当 x∈[0，+∞）时，f（x）是减函数， 且 2＜3＜π； 则 f（2）＞f（3）＞f（π）； ( )f x ( ) ( ) ( )3 1 2f f f< < − ( )f x R [ )0,x∈ +∞ ( )f x ( ) ( ) ( )2 , , 3f f fπ− − ( ) ( ) ( )3 2f f fπ > − > − ( ) ( ) ( )2 3f f fπ > − > − ( ) ( ) ( )3 2f f fπ < − < − ( ) ( ) ( )2 3f f fπ < − < − 故 f（﹣2）＞f（﹣3）＞f（π）； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题． 10.若函数满足 ，且在上 是增函数，又 ，则 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由 知 为奇函数，且 在上 是增函数， ，可 作出函数简图如下： 由图像可知： 当 时， ， ，故 ； 当 时， ， ，故 ； 当 时， ， ，故 ； 当 时， ， ，故 ； 当 时， ， ，故 ； 综上： 的解集是 . 故选 D 点睛：熟练掌握函数奇偶性并能根据题目给定的条件作出函数的图像是解决本题的关键.作 出函数图像后，须充分利用图像求不等式的解集. 11.已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围 ( ) ( ) 0f x f x+ − = (0, )+∞ ( 3) 0f − = ( 1) ( ) 0x f x− < ( 3,0) (1, )− +∞ ( 3,0) (0,3)−  ( , 3) (3, )−∞ − ∪ +∞ ( 3,0) (1,3)−  ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( )f x ( )f x ( )0,+∞ ( )3 0f − = x 3< − 1 0x − < ( ) 0f x < ( ) ( )1 0x f x− > 3 x 0− < < 1 0x − < ( ) 0f x > ( ) ( )1 0x f x− < 0 x 1< < 1 0x − < ( ) 0f x < ( ) ( )1 0x f x− > 1 x 3< < 1 0x − > ( ) 0f x < ( ) ( )1 0x f x− < x 3> 1 0x − > ( ) 0f x > ( ) ( )1 0x f x− > ( ) ( )1 0x f x− < ( ) ( )3,0 1,3− ∪ ( )f x [ )0,+∞ ( ) 12 1 (3f x f− < ） x 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 偶 函 数 的 对 称 性 可 得 在 区 间 上 单 调 性 ， 然 后 利 用 单 调 性 脱 去 的 ，得到关于 的不等式，解出即可. 【详解】解：因为偶函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间 上单调递减， 故 越靠近 轴，函数值越小， 因为 ， 所以 ， 解得： ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，是基础题. 12.已知函数 ，如果 ，则 (　　) A. ±3，－5 B. －3，－5 C. －3 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】 讨论当 和 ，解方程，可得 的值. 【详解】解：当 时， ，得 或 （舍）； 当 时， ，得 （舍）， 综上所述： ， 1 2,3 3      1 2 3 3     ， 1 2 3 3     ， 1 2 3 3    ， ( )f x ( ,0)−∞ ( ) 12 1 (3f x f− < ） " "f x ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ,0)−∞ x y ( ) 12 1 (3f x f− < ） 12 1 3x − < 1 2 3 3x< < 2 1, 0( ) 2 , 0 x xf x x x  + ≤= − > ( ) 10f x = x = 0x ≤ 0x > x 0x ≤ 2( ) 1 10f x x= + = 3x = − 3x = 0x > ( ) 2 10f x x= − = 5x = − 3x = − 故选：C. 【点睛】本题考查已知分段函数的函数值，求自变量，注意要分类讨论，是基础题. 二、填空题 13.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 . 【答案】 【解析】 试题分析：因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 . 考点：函数奇偶性的应用. 14.若函数 是偶函数，则 的递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由偶函数的定义得出 ，可得出函数 的解析式，然后再利用二次函数的性质 可得出函数 的单调增区间. 【详解】因为函数 是偶函数，则 ， 即 ， 则 对任意的 恒成立， ，解得 ， . 所以，函数 的图象是开口向下的抛物线，则函数 的递增区间为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求解析式中的参数，同时也考查了二次函数单调区间的 求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15.函数 的单调减区间是___________． ( )f x R [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= + ( 1)f − = 3− ( )f x R [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= + 2( 1) (1) (1 2 1) 3f f− = − = − + × = − ( ) ( ) ( )22 1 3f x k x k x= − + − + ( )f x ( ],0−∞ 1k = ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= ( ) ( )f x f x− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 3 2 1 3k x k x k x k x− ⋅ − + − ⋅ − + = − + − + ( )2 1 0k x− = x∈R 1 0k∴ − = 1k = ( ) 2 3f x x∴ = − + ( )y f x= ( )y f x= ( ],0−∞ ( ],0−∞ 2( ) 2 3f x x x= − 【答案】 ， 【解析】 【详解】 是偶函数； 当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数； 由偶函数可得 在 上是增函数，在 上是减函数； 因此 的单调减区间是 ， ， 故答案为： ， . 16.定义在 上的函数 为减函数，满足不等式 的 的集合为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 由 函 数 是 定 义 在 上 的 减 函 数 ， 可 将 不 等 式 转 化 为 ，解出 即可. 【详解】解：因为函数 是定义在 上的减函数， 又 ， 所以 ， 解得： ， 故答案为： 【点睛】本题考查利用函数单调性解抽象函数不等式，是基础题. 三、解答题 17. 已知 A＝{x|－1 − a ( )f x R (3 2 ) ( 3)f a f a− < − 3 2 3a a− > − 2a < ( ,2)−∞ 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【详解】试题分析：（1）当 时，得到集合 ，然后画数轴，得到 ; （2）第一步，求出 ，第二步，根据 ，讨论 和 两种情况，得到 的取值范围． 试题解析：（1）m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－13}． 当 B＝ ，即 m≥1＋3m 时得 ，满足 ， 当 B≠ 时，要使 成立，则 解之得 m>3． 综上可知，实数 m 的取值范围是 m>3 或 ． 考点：集合的关系与运算 18.已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求 f(x) 解析式； (2)若 f(x)在区间[2m，m＋1]上不单调，求实数 m 的取值范围． 【答案】(1) f(x)＝2x2－4x＋3. (2) 0  或 1 2m ≤ − 1 2 ( ) ( )0 2f f= [ ]2 , 1m m + m ( )f x ( ) ( )0 2f f= 1x = ( )f x ( ) ( )21 1f x a x= − + ( )0a > ( )0 3f = 1 3a + = ∴ ∴ 化简可得 (2) 根据 在区间 内不单调,可知对称轴在区间 内 二次函数对称轴为 所以 解不等式可得 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数单调性与对称轴的关系,属于基础题. 19.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， . (1)求 的解析式； (2)解不等式 . 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可，注意 ； （2）画出 的图像，根据图像观察出函数的单调性，利用单调性和奇偶性，将不等式 转化为 ，解不等式即可． 【详解】解 (1)设 ，则 ， ∵ 时， ，且 是 上的奇函数， ∴ 时， ， 又 ， 2a = ( ) ( )22 1 1f x x −= + ( ) 22 4 3f x x x− +＝ ( )f x [ ]2 , 1m m + [ ]2 , 1m m + 1x = 2 1 1m m< < + 0 1 2m< < ( )f x R 0x > 2( ) 2 3 1f x x x= − − − ( )f x (1 ) (1 3 ) 0f x f x− + − < 2 2 2 3 1, 0 ( ) 0, 0 2 3 1, 0 x x x f x x x x x  − + < = = − − − > 1, 2  −∞   (0) 0f = ( )f x (1 ) (1 3 ) 0f x f x− + − < 1 3 1x x− > − 0x < 0x− > 0x > 2( ) 2 3 1f x x x= − − − ( )f x R 0x < 2 2( ) ( ) 2( ) 3( ) 1 2 3 1f x f x x x x x = − − = − − − − − − = − +  (0) 0f = ∴ (2)作出 图象的示意图，如图所示，实线部分 由图可知， 在 上单调递减， ， ， ， ， ， 故原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查函数解析式 求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键． 20.已知 ，若 ，则求 的值 【答案】 【解析】 试题分析：分段函数往往与方程不等式一起综合进行考查，解题的关键点是根据自变量的取 值情况决定其对应运算法则，一般需要分类讨论求解，分段函数分类求解是解决这类问题的 基本策略. 的 2 2 2 3 1, 0 ( ) 0, 0 2 3 1, 0 x x x f x x x x x  − + < = = − − − > ( )f x ( )f x R (1 ) (1 3 ) 0f x f x− + − < (1 ) (1 3 )f x f x∴ − < − − ∴ (1 ) (3 1)f x f x− < − ∴1 3 1x x− > − ∴ 1 2x < 1, 2  −∞   2 2,( 1) ( ) { ,( 1 2) 2 ,( 2) x x f x x x x x + ≤ − = − < < ≥ ( ) 3f a = a 试题解析： 4 .7 .10 .12 考点：分类讨论 21.已知函数 . (1)判断 在区间 上的单调性并证明； (2)求 的最大值和最小值. 【答案】（1）函数 在 上为增函数，证明见解析； （2） 的最大值为 ，最小值为 。 【解析】 【分析】 （1）利用函数的单调性的定义, 设 ，判断 的正负，证明出函数 在 上的单调性为增函数; （2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数 在区间 上的最大值 为 与最小值为 ，求出其函数值得最值. 【详解】（1）函数 在 上为增函数，证明如下： 设 是 上 任意两个实数，且 ，则 ． ∵　 ， 的 2 2,( 1) ( ) { ,( 1 2) 2 ,( 2) x x f x x x x x + ≤ − = − < < ≥  ( ) 2 3, 1( )f a a a∴ = + = =当 时 舍 2( ) 3, 3 3( )f a a a a∴ = = = = −当 时 ， 舍 3( ) 2 3, ( )2f a a a∴ = = =当 时 舍 3a∴综上所述得 的取值为 [ ]2 1( ) , 3,51 xf x xx −= ∈+ ( )f x [ ]3,5 ( )f x ( )f x [ ]3,5 ( )f x 3 2 5 4 1 2,x x ( ) ( )1 2f x f x− ( )f x [ ]3,5 ( )f x [ ]3,5 ( )5f ( )3f ( )f x [ ]3,5 1 2,x x [ ]3,5 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 11 x x x x x xf x f x x x − − −− = − ++ + = + 1 23 5x x≤ < ≤ ∴　 ， ∴　 ，即 ， ∴　函数 在 上为增函数． (2)由（1）知函数 在 单调递增，所以 函数 的最小值为 ， 函数 的最大值为 。 故得解. 【点睛】本题考查函数的单调性的定义,单调性的证明以及运用函数单调性求函数的最值， 属于基础题.. 22.在某服装商场，当某一季节即将来临时，季节性服装的价格呈现上升趋势．设一种服装 原定价为每件 70 元，并且每周(7 天)每件涨价 6 元，5 周后开始保持每件 100 元的价格平稳 销售；10 周后，当季节即将过去时，平均每周每件降价 6 元，直到 16 周末，该服装不再销 售． (1)试建立每件的销售价格 (单位：元)与周次 之间的函数解析式； (2)若此服装每件每周进价 (单位：元)与周次 之间的关系为 ， ，试问该服装第几周的每件销售利润最大？(每件销售利润＝每件销售价 格－每件进价) 【答案】(1) (2)第 5 周的每件销售利润最大 【解析】 分析】 （1）直接由一次函数和常数函数关系列出价格 （元）与周次 之间的函数关系式； （2）分段由 得到销售此服装的利润 与周次 的关系式，然后利用二次函数和一次函 数的单调性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者． 【详解】解：（1）当 时， ； 【 1 2 1 20, 1 0, 1 0x x x x− < + > + > ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x [ ]3,5 ( )f x [ ]3,5 ( )f x ( ) ( )min 2 3 1 53 3 1 4f x f × −= = =+ ( )f x ( ) ( )max 2 5 1 35 5 1 2f x f × −= = =+ p x q x 21 ( 8) 902q x= − − + [0,16],x x N∈ ∈ p = 70 6 ,1 5, 100,5 10, 160 6 ,10 16, x x x N x x N x x x N + ≤ ≤ ∈  < ≤ ∈  − < ≤ ∈ p x p q− y t 1 5,x x N≤ ≤ ∈ 70 6p x= + 当 时， ； 当 时， ， 综上所述： ； （2）由已知可得： ， 当 时，有 时， ； 当 时，有 或 时， ； 当 时，有 时， ， 综上：当 时， ， 答：第 5 周 每件销售利润最大 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了分段函数的最值的求法，是中档题． 的 6 10,x x N≤ ≤ ∈ 100p = 11 16,x x N≤ ≤ ∈ 100 6( 10) 160 6p x x= − − = − p = 70 6 ,1 5, 100,6 10, 160 6 ,11 16, x x x N x x N x x x N + ≤ ≤ ∈  ≤ ≤ ∈  − ≤ ≤ ∈ 2 2 2 1 2 12,(1 5, )2 1 ( 8) 10,(6 10, )2 1 14 102,(11 16, )2 x x x x N y p q x x x N x x x x N  − + ≤ ≤ ∈ = − = − + ≤ ≤ ∈   − + ≤ ≤ ∈ 1 5,x x N≤ ≤ ∈ 5x = max 29 2y = 6 10,x x N≤ ≤ ∈ 10x = 6x = max 12y = 11 16,x x N≤ ≤ ∈ 11x = max 17 2y = 5x = max 29 2y =