- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习数列（一）学案（全国通用）
年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题 数列的定义 教学目的 教学内容 一、 知识网络 二、命题分析 数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点．历年 来，数列在高考中的题型有如下特征： 1．每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点． 2．每年必出一道解答题，题目往往与函数、导数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力．相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查． 3．从新考纲的要求来看，2018年高考仍将延续这些特征，并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力． 三、复习建议 针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点： 1．重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质． 2．重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确． 3．重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会． 四、知识讲解 第一节 数列的概念与简单表示法 （一）高考目标 考纲解读 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数． 考向预测 1．已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项． 2．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想． 3．由数列的递推关系式求数列的通项公式的是本节重点，也是本节难点． （二）课前自主预习 知识梳理 1．数列的定义 按照 排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )． 2．数列与函数的关系 在函数意义下，数列是定义域为N＋(或它的 )的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取 时所对应的一列 f(1)，f(2)，…，f(n)……通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为 ，简记为{an}，其中an是数列的第 项． 3．数列的分类 分类 原则 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 无穷数列 项数 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 an＋1＝an 其他 摆动数列 从第2 标准 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 4.数列的表示法 (1)数列的一般形式可以写成： (2)数列的表示法分别为 、 5．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 6．数列的递推公式 若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n>1)，则这个关系式就称为数列的递推公式． （三）基础自测 1．(2018·安徽文)设数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( ) A．15 B．16 C．49 D．64 [答案] A [解析] a8＝S8－S7＝64－49＝15，a8＝15. 2．数列，－，，－，…的一个通项公式是( ) A．an＝(－1)n＋1 B．an＝(－1)n C．an＝(－1)n＋1 D．an＝(－1)n [答案] C 3．若数列{an}(n∈N*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an＋1)在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是( ) A．当且仅当n＝1时，Sn最小 B．当且仅当n＝8时，Sn最大 C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大 D．Sn有最小值，无最大值 [答案] C [解析] 由题意得：an－an＋1－2＝0，则an＋1－an＝－2，所以数列{an}是以a1＝14，d＝－2的等差数列， 则Sn＝14n＋×(－2)＝－n2＋15n，所以当且仅当n＝7或8时，Sn最大． 4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( ) A．1 B. C. D. [答案] B [解析] S5＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝. 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … … … … 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________． [解析] 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中 第＋3个，即为. [答案] 6．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a2018＝________. [答案] [解析] 由－＝5知，数列是以＝3为首项，以5为公差的等差数列， 故＝＋2018d＝3＋10055＝10058. 7．写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)； (2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)． [解析] (1)由条件得a1＝0，a2＝0＋1＝1＝12， a3＝1＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，归纳通项公式为an＝(n－1)2. (2)由条件得a1＝3，a2＝3a1＝32，a3＝3a2＝33，a4＝3a3＝34，归纳通项公式为an＝3n. （四）典型例题 1.命题方向：有数列的前几项探索数列的通项公式 [例1] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)1,3,6,10,15，…； (3)，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3333，…. [分析] 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项之间的联系． [解析] (1)注意到前四项中两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，，，，…， 因而有an＝. (2)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项同乘以2，即，，，，，…，因而有an＝. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此把第1项变为－， 至此原数列已化为－，，－，，…，∴an＝(－1)n·. (4)将数列各项改写为：，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， ∴an＝(10n－1)． [点评] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决这一问题的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系．如果关系不明显，可将项适当变形，让规律突显出来以便于找出通项公式． 跟踪练习1： 根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)1，，，，，… (2)－，，－，，－，，… (3)，，，，，…； (4)，－1，，－，，－，…. (5)1,3,7,15,31，… [解析] (1)将数列写成： ，，，，，… 观察分子、分母与项数n之间的联系，易知： 其通项公式为an＝. (2)这是一个与(－1)n有关的数列，可将数列写成 －，，－，，－，，… 可知分母组成以3为公差的等差数列，分子为以3为首项，1为公差的等差数列，因此其通项公式为： an＝(－1)n. (3)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝. (4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62 ＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，－，所以an＝(－1)n＋1·. (5)考虑数列的差分数列{an＋1－an}． a2－a1＝2 a3－a2＝4， a4－a3＝8， …… an－＝2n－1.(n≥2) 将这n－1个式子累加，得 an－＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2 (n≥2) ∴ an＝＋2n－2＝1＋2n－2＝2n－1. (n≥2) 当n＝1时，此式仍成立，故所求通项公式为an＝2n－1. [点评] 根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是惟一的．其中常用方法是观察法．观察an与n之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法. 2.命题方向：由与的关系求通项 [例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)求an的通项公式及S10. [解析] (1)由a1＝S1＝(a1－1)得a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，解得a2＝.同理a3＝－ (2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－. ∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．即an＝(－)n，∴S10＝＝. (2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－. ∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．即an＝(－)n，∴S10＝＝. [点评] 数列的通项an与前n项和Sn的关系是： an＝. 此公式经常使用，应引起重视．当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 跟踪练习2： 已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b. [解析] 利用数列的通项an与前n项和Sn的关系 an＝. 解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5. 又∵a1＝－1，适合，an＝4n－5， ∴an＝4n－5. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b. n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1， 因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1. 当b≠－1时，a1＝3＋b不合适an＝2·3n－1， ∴an＝. 综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝ 3.命题方向：根据递推公式求通项公式 [例3] 根据下列条件，写出数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1. [分析] (1)将递推关系写成n－1个等式累加． (2)将递推关系写成n－1个等式累乘，或逐项迭代也可． [解析] (1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式： an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 将其相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)， ∴an＝a1＋＝2＋＝. (2)方法一：∵an＝···…···a1＝n－1·n－2·…·2·1·a1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝， ∴an＝. 方法二：由2n－1an＝an－1得an＝n－1an－1 ∴an＝n－1an－1＝n－1·n－2an－2=…＝n－1·n－2·…·1a1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝. [点评] 1.已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)． 所有等式左右两边分别相加，代入a1得an. 2．已知a1且＝f(n)(n≥2)，可以用“累乘法”， 即＝f(n)，＝f(n－1)，…，＝f(3)，＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an. 提醒：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个． 跟踪练习3： 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)． [解析] (1)∵an＝an－1＋3n－1， ∴an－an－1＝3n－1， an－1－an－2＝3n－2， an－2－an－3＝3n－3， … a2－a1＝31. 以上n－1个等式两边分别相加得 an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. a2＝a1. 以上n－1个式子等式两边分别相乘得an＝a1···…·＝＝. 4.命题方向：函数与方程思想在数列中的应用 [例4] 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·()n，求n为何值时，an取最大值． [分析] 已知数列{an}的通项公式，要求n为何值时an取最大值，则需满足.因为涉及an－1，所以应先讨论a1是否为最大值，然后再由不等式组去求使an最大时n的取值． [解析] 易知a1不是数列{an}中的最大的项， ∴an若取最大值应满足(n≥2)， 由已知中an＝(n＋1)·()n，则有 an－an＋1＝(n＋1)·()n－(n＋2)·()n＋1＝()n·[n＋1－(n＋2)]＝()n·. 由an－an＋1≥0，即()n·≥0， 解不等式，得n≥8； an－an－1＝(n＋1)·()n－(n－1＋1)·()n－1＝()n－1·[(n＋1)·－n]＝()n－1·， 当an－an－1≥0，即()n－1·≥0， 解不等式，得n≤9； ∴同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8,9， 又a8＝9×()8，a9＝10×()9， 即a8＝a9＝. ∴当n＝8或n＝9时，a8＝a9两项都是数列{an}中的最大项． [点评] 数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系．如：数列中的最大、最小项问题；数列的单调性问题等都可以借助于函数知识研究，当然也有差别．高考对本考点的考查主要以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，主要同函数、不等式等内容结合，结合性较强，有一定的难度．备考中应从函数的角度把握数列中最大、最小项的求法以及数列单调性的判断方法． 跟踪练习4： 已知函数f(x)＝，数列{an}满足f()＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}是递减数列． [解析] (1)解：f(x)＝， ∴f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝an－， ∴an－＝－2n，∴an2＋2n·an－1＝0. 又an>0，∴an＝－n. (2)证明：∵an>0，且an＝－n， ∴＝＝<1. ∴an＋1查看更多