河北省博野中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题

河北省博野中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题

博野中学2020年6月月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.‎ 详解】解：，，，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.‎ 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D.‎ 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.‎ ‎3.函数的定义域为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.定义在上的偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则、，大小关系是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.‎ ‎【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.‎ 由于，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.且函数在[－1，0]上单调递减，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.‎ ‎5.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为和,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,‎ 则；‎ 则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.‎ ‎6.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.‎ 考点：抽象函数不等式.‎ ‎【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．‎ ‎7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. ‎72 ‎C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96‎ 点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．‎ ‎8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎9.命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎【考点】全称命题与特称命题的否定．‎ ‎【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．‎ ‎10.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】构造函数，其中，则，‎ 所以，函数在定义域上为增函数，‎ 在不等式两边同时乘以得，即，‎ 所以，解得，‎ 因此，不等式的解集为，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：‎ ‎（1）根据导数不等式的结构构造新函数；‎ ‎（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；‎ ‎（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.‎ ‎11.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．‎ 设，则原方程化为，‎ ‎∵方程有8个相异实根，‎ ‎∴关于的方程在上有两个不等实根．‎ 令，．‎ 则，解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．选D．‎ 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 ‎(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．‎ ‎12.一个五位自然数，当且仅当时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：分四种情况进行讨论：（1）当时，和有种排法，和有 种排法，此时共个；（2）当时，有个；（3）当时，有个；（4）当时，有个．由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有个．‎ 考点：排列组合．‎ ‎【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20）‎ ‎13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.‎ ‎【考点】导数的几何意义 ‎【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．‎ 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．‎ ‎14.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.‎ ‎15.若展开式中的常数项是60，则实数的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到的通项公式为，若得到常数项，当取1时，令，当取x时，令，解得，再根据常数项为60求解.‎ ‎【详解】因为的通项公式为，‎ 若得到常数项，当取1时，令，当取x时，令，‎ 解得或（舍），‎ 所以，‎ 因为展开式的常数项为60，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式以及常数项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．‎ ‎16.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为，故至少有一人去北京旅游的概率为.‎ 考点：相互独立事件的概率.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70）‎ ‎17.已知，命题，命题 ．‎ ‎（1）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若 是的必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或 ；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将，代入命题，求出的取值范围，由“或”为真命题，“且”为假命题，可知与一真一假，分类讨论当真假和当假真时，解不等式进行求解即可；‎ ‎（2），，，分别求出和，根据是的必要条件，可得是的必要条件，从而求出的范围．‎ ‎【详解】解：（1）当时，命题 ；命题．‎ ‎“或”为真命题，“且”为假命题，‎ ‎ 一真一假，‎ ‎①当真假时，，且或 ，无解；‎ ‎②当假真时，或，且 ，‎ ‎ 或，‎ 综上得，的范围是或 .‎ ‎（2）命题，命题，‎ 是的必要条件，是q的必要条件， ‎ 又，  ，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，以及充分条件和必要条件的定义和不等式的解法及其性质，考查分类讨论的思想和运算能力．‎ ‎18.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+（x﹣1）=（1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k=﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）=﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．‎ 解析：‎ ‎（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，‎ ‎∴， ‎ 即，解得或（舍）. ‎ ‎（2）‎ 当时，， ‎ ‎∵当时，恒成立，‎ ‎∴. ‎ ‎（3）由（1）知，，即，即即在上有解， ‎ 在上单调递减 的值域为， ‎ ‎∴ ‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．‎ ‎19.设函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（2）若是函数极值点，求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），由题可知，在上有解，‎ 所以，由此可求的取值范围；‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，可得.‎ 所以，令，解得：或.‎ 讨论单调性，可求函数在上的最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ 由题可知，在上有解，‎ 所以，‎ 则，即的取值范围为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 所以，令，解得：或.‎ 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.‎ 所以函数在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，极值的关系，以及再给定区间上的最值问题，属基础题.．‎ ‎20.北京市政府为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.‎ ‎（1）求该海产品不能销售的概率.‎ ‎（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求 的分布列，并求出数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为40.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知的可能取值为，，，40，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．‎ ‎【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件，‎ 则（A），‎ 所以，该产品不能销售的概率为； ‎ ‎（2）由已知，的可能取值为，，，40，160‎ 计算，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎； ‎ 所以的分布列为 ‎40‎ ‎160‎ ‎；‎ 所以均值为40．‎ ‎【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎21.已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）存在且.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）要证明函数不等式（），注意到，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；‎ ‎（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式为，注意到特殊情形，时，不等式为，因此的值只有为1或2，因此只要证时，不等式恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为，因此只要研究函数的单调性，求得最小值即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，则 ，‎ 令，则 ，‎ 令，得，故在时取得最小值，‎ 在上为增函数，‎ ‎ ，‎ ‎（Ⅱ） ，‎ 由，得对一切恒成立，‎ 当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2.‎ 下面证明当时，不等式恒成立，‎ 设 ，则 ，‎ 由（Ⅰ） ， ，‎ 当时， ；当时， ，‎ 即在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎ ,‎ 当时，不等式恒成立 所以的最大值是2.‎ ‎【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．　　　　‎ ‎22.为了研究某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况，收集数据如下：‎ 天数x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 繁殖个数y ‎6‎ ‎12‎ ‎25‎ ‎49‎ ‎95‎ ‎190‎ ‎（1）根据散点图，判断与哪一个适合作为y关于x的回归方程类型；（给出判断即可，不用说明理由）‎ ‎（2）根据（1）中的判断及表中数据，求y关于x的回归方程参考数据：，，，，，‎ 参考公式： ‎ ‎【答案】（1）适合作为y关于x的回归方程类型；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过散点图确定两个变量间的回归关系，确定回归方程的类型；‎ ‎(2)利用换元将指数型函数转化为线性方程，然后用最小二乘法求出线性回归方程，最终求出y关于x的回归方程.‎ ‎【详解】(1)作出散点图如图1所示：‎ 由散点图可以看出，适合作为y关于x的回归方程类型.‎ ‎(2)令，，则.‎ 变换后的样本数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ z 相应的散点图如图2所示：‎ 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合.‎ 又，.‎ 故，‎ ‎，故线性回归方程为.‎ 故，因此细菌的繁殖个数y关于时间x的非线性回归方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计案例中的回归分析，散点图，回归方程，计算量较大.属于中档题.‎