2018届二轮复习三角形中的三角函数学案（江苏专用）

2018届二轮复习三角形中的三角函数学案（江苏专用）

热点问题2 三角形中的三角函数 一、填空题 ‎1．在锐角三角形中，，则的取值范围是_________．‎ 答案 ‎ 解析 由正弦定理得．而，‎ 所以，从而．‎ ‎2．若的内角满足，则的最大值为_________．‎ 答案 ‎ 解析 由条件得,‎ 所以,从而的最大值为．‎ ‎3．在中，角所对的边分别为，且满足．当取最大值时，的大小为_________．‎ 答案 ‎ 解析 由及正弦定理得，所以．‎ 又．‎ 因为，所以当时，取最大值2．‎ ‎4．在中，角所对的边分别为，且 ‎,则面积的最大值为_________．‎ 答案 ‎ 解析 由，得．‎ 由正弦定理得，．‎ 因为，所以，当且仅当时取等号．‎ 所以．‎ ‎5．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是_________．‎ 答案 ‎ 解析 不妨设，则由条件得．，展开后整理得 ‎，其中，从而．‎ ‎6．已知的三内角成等差数列，且角所对的边分别为．则下列命题中正确的有_________．（把所有正确的命题序号都填上）‎ ‎①；②若成等比数列，则为等比三角形；③若，则为锐角三角形；‎ ‎④若，则；⑤，则为钝角三角形．‎ 答案 ①②④‎ 解析 对④而言：由得,‎ 根据余弦定理得，整理得 ‎，所以，从而．‎ ‎7．在中，,且的面积为，则边上的高的最大值 ．‎ 答案 ‎ 解析 由正弦定理：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最大值为 ‎8．如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即），现有可供建造第三面围墙的材料‎6米（两面墙的长均大于‎6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，当为 时，所建造的三角形露天活动室的面积最大．‎ 答案 ‎ 解析 在中，由正弦定理：，‎ 化简得， ，所以 ‎，‎ 即．‎ 所以当，即时，=．‎ 二、解答题 ‎9．在中,角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设的平分线交于，,求的值.‎ 解：（1），‎ ‎（2）在中，由正弦定理:‎ ‎,‎ ‎10.在锐角中，已知内角所对的边分别为，向量且共线．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）如果，求的面积的最大值．‎ 解 （1）因为，且共线，所以，得，．‎ ‎（2）因为,所以，，当且仅当时取等号．‎ 从而，的面积的最大值为．‎ ‎11.已知函数R）在区间上的值域为．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，当时，，当的面积为，求边长的值．‎ 解 （1）整理得．因为,所以．‎ 当时，的值域为．因此，，增区间为Z．‎ 当时，的值域为．因此，，增区间为Z．‎ ‎（2）由条件得．‎ 由及正弦定理得．‎ 由得，从而．‎ ‎12．（11届苏州一模）如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为（百米），底的长为（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和．‎ ‎（1）若小路一端为的中点，求此时小路的长度；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解：(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.‎ ‎∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．‎ 若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.‎ ‎∴ AF＝＜4.(4分)‎ 在△ABC中，cosA＝.‎ 在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，‎ ‎∴ EF＝.‎ 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．‎ ‎(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，‎ 则x＋y＝5，‎ ＝＝－1‎ ‎＝－1‎ ‎＝－1≥－1‎ ‎＝(当x＝y＝时取等号)；‎ 若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，‎ 设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，‎ ＝＝－1‎ ‎＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)．‎ 答：最小值是.‎