2019届二轮复习集合与简单逻辑学案（全国通用）
集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.
1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．学-
①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；
②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A
2．四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
5．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).
高频考点一 集合的概念及运算
例1、（2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
【变式探究】【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【变式探究】(1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．
由题意知B＝{x|－2
0”是“x－4>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.
注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．
若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.
答案：B
高频考点三 命题判定及否定
例3、(1)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：基本法：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
答案：C
(2)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：基本法：当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：∀x∈R,2x<3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∵綈p为真命题，∴(綈p)∧q是真命题．选B.
速解法：当x＝0时，不满足2x＜3x，∴p为假，排除A、C.利用图象可知，q为真，排除D，必选B.
答案：B
【变式探究】已知命题p：∃x∈R,2x＞3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x，则下列是真命题的是( )
A．(綈p)∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．p∨(綈q)
1. （2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
2. （2018年天津卷）设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
3. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，（2，1）
C. 当且仅当a<0时，（2，1） D. 当且仅当时，（2，1）
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
4. （2018年江苏卷）已知集合，，那么 ．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
5. （2018年北京卷）已知集合A={ |<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=
A. {0，1} B. {–1，0，1}
C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2}
【答案】A
【解析】，因此AB=，选A.
6. （2018年全国I卷理数）已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
7. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知集合，则中元素的个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】，
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，选A.
8.（2018年全国Ⅲ卷理数）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故答案选C.
9. （2018年北京卷）设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，
M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】(1) M(α，β）=1
(2) 最大值为4
(3)答案见解析
【解析】
（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以
M(α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，
M(α，β）= [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．
（Ⅱ）设α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4．
由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，
所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．
所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组：
（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).学=
经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，
所以集合B中元素个数的最大值为4.
（Ⅲ）设Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk =1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)，
Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}，
则A=S1∪S1∪…∪Sn+1．
对于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.
所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）.
令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．
10.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
11. （2018年天津卷）设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，
由 .
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
12. （2018年北京卷）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.
13. （2018年北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是 ．
【答案】y=sinx（答案不唯一）
【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数。又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x
）在［0，2］上不是增函数.
1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由可得，则，即，所以
，，故选A.
2.【2017课标II，理】设集合，。若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以， ，故选C．
3．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，圆 与直线 相交于两点 ， ，则中有两个元素.故选B.
4.【2017北京，理1】若集合A={x|–23}，则AB=
（A）{x|–2
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