北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

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新学道临川学校高三数学(上)第三次月考试卷(理一)‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.‎ ‎【详解】∵ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..‎ ‎2.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.‎ ‎【详解】函数，‎ ‎ 在区间 上单调递减，‎ 函数 在区间上单调递增，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.‎ ‎3.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.‎ 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，‎ 所以，‎ 又，则 故选D.‎ 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：‎ ‎（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；‎ ‎（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.‎ ‎4.设均为单位向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.‎ 详解： ，因为均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎5.定积分的值为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理，可知求解，即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.‎ ‎6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )‎ A. 3600种 B. 1440种 C. 4820种 D. 4800种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可.‎ ‎【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，种 第二步，将甲乙2人插入6个空中，种 则不同的排法种数是种 故选：A ‎【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题.‎ ‎7.的展开式中的系数为（　 　）‎ A. B. C. 、 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．‎ ‎【详解】解： ，‎ 故它的展开式中含的项有的和 故系数为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎8.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：条件概率与独立事件．‎ 分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．‎ 解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），‎ P（AB）==‎ P（B）=1-P（）=1-=1-=‎ ‎∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==‎ 故选A．‎ ‎9.已知幂函数在上是减函数，则实数（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 1或2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由幂函数求出的值，再根据函数的单调性确定答案.‎ ‎【详解】由于函数是幂函数，‎ 所以或.‎ 当时，在上不是减函数，所以舍去.‎ 当时，在上是减函数.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的周期为，‎ 将函数的图象向右平移个周期即个单位，‎ 所得图象对应的函数为，‎ 故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（ ）.‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集得出，求出解集即可．‎ ‎【详解】一元二次不等式的解集为或，‎ 则的解集为，‎ 则可化为；‎ 解得，‎ 所以所求不等式的解集为．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查指数不等式的解法，是基础题．‎ ‎12.已知函数有唯一零点，则a=‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，；当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，为.‎ 设，当时，函数取得最小值，为，‎ 若，函数与函数没有交点；‎ 若，当时，函数和有一个交点，‎ 即，解得.故选C.‎ ‎【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：‎ ‎（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用转化得到加以计算，得到.‎ ‎【详解】向量 则.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.‎ ‎14.设是等差数列，且，，则的通项公式为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，，根据列方程求解公差，即可.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ ‎，解得.‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式，属于较易题.‎ ‎15.倾斜角为且过点的直线方程为______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.‎ ‎【详解】依题意得，化简得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线方程点斜式，考查倾斜角和斜率的对应关系，属于基础题.‎ ‎16.已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，然后求出，进而求出答案．‎ ‎【详解】由题可得，‎ 令，则，解得，‎ 所以，‎ 则 ‎【点睛】本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题．‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎17. 已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 ‎，‎ 所以的最小正周期．‎ 依题意，，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ 函数的单调递增区间为（）．‎ 由，得．‎ 所以单调递增区间为（）．‎ ‎【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.‎ ‎【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.已知数列的前项和为，，.‎ ‎(1)求数列的前项和为；‎ ‎(2)令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将变形整理为，则数列符合等差数列定义，首项，公差，求解数列的通项公式，即可.‎ ‎(2)先根据(1)中的，求出，从而确定，再根据错位相减法求解，即可.‎ ‎【详解】(1)‎ 即 数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 则，即 ‎(2)由(1)可知.‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，成立.‎ 所以，则 ‎①‎ ‎②‎ ‎①②得 即 ‎【点睛】本题考查定义法求数列的通项公式，以及错位相减法求前项和，属于中档题.‎ ‎19.如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BEF；‎ ‎（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；‎ ‎（3）证明：直线FG与平面BCD相交．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.‎ 详解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，‎ ‎∵CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴四边形A1ACC1为矩形．‎ 又E，F分别为AC，A1C1的中点，‎ ‎∴AC⊥EF．‎ ‎∵AB=BC．‎ ‎∴AC⊥BE，‎ ‎∴AC⊥平面BEF．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．‎ 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．‎ ‎∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．‎ 如图建立空间直角坐称系E-xyz．‎ 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．‎ ‎∴，‎ 设平面BCD的法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 令a=2，则b=-1，c=-4，‎ ‎∴平面BCD的法向量，‎ 又∵平面CDC1的法向量为，‎ ‎∴．‎ 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），‎ ‎∴，∴，∴与不垂直，‎ ‎∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，‎ 课 程 ‎ 初等代数 ‎ 初等几何 ‎ 初等数论 ‎ 微积分初步 ‎ 合格的概率 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；‎ ‎（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．‎ ‎【答案】(1);(2) 见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率.‎ ‎(2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.‎ ‎【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立，‎ ‎.‎ ‎(2)，，,‎ 因此，的分布列如下：‎ 因为～‎ 所以 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.‎ ‎21.已知椭圆的右焦点为，且经过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；‎ 因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设 联立得，‎ ‎，，.‎ 直线，令得，即；‎ 同理可得.‎ 因为,所以；‎ ‎，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22.已知函数 . ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，，，‎ 方程对应的，‎ 当，即时，当时，，‎ ‎∴在上单调递减； ‎ 当时，方程的两根为，‎ 且 ， ‎ 此时，在上，函数单调递增，‎ 在上，函数单调递减；‎ 当时，，， ‎ 此时当，单调递增，‎ 当时，，单调递减； ‎ 综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；‎ 当时，在上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减； ‎ ‎（2）原式等价于，‎ 即存在，使成立．‎ 设，，‎ 则， ‎ 设，‎ 则，∴在上单调递增．‎ 又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，‎ ‎∴ ‎ 由题意可知，又，，∴最小值为.‎ 点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．‎