2020届二轮复习导数的运算及导数的几何意义学案（全国通用）

2020届二轮复习导数的运算及导数的几何意义学案（全国通用）

‎2020届二轮复习 导数的运算及导数的几何意义 学案（全国通用）‎ 知识点1．导数的概念 ‎1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.‎ ‎2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数．‎ ‎【典例1】一质点运动的方程为.‎ ‎（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；‎ ‎（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵‎ ‎∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,‎ ‎.‎ ‎（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度 求导法：质点在t时刻的瞬时速度 ‎，当t=1时，v=-6×1=-6.‎ ‎【规律方法】‎ ‎1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：‎ ‎①求函数的增量；‎ ‎②求平均变化率；‎ ‎③得导数，简记作：一差、二比、三极限.‎ ‎2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数 ‎【变式1】若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以 ‎，选B；‎ 法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以 ‎（其中：），故选B.‎ 知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ‎1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎2．导数的运算法则 ‎（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎（3） (g(x)≠0)．‎ ‎ (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎【典例2】【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】e ‎【总结提升】‎ ‎1.求函数导数的一般原则如下：‎ ‎(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；‎ ‎(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；‎ ‎(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.‎ ‎2.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.‎ ‎①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；‎ ‎②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；‎ ‎③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；‎ ‎④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.‎ ‎【变式2】【2018届陕西省咸阳市三模】已知三次函数的图象如图所示，则__________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎，由的图象知，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案为1.‎ 知识点3．函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎【典例3】（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 当时其值为，‎ 故所求的切线方程为，即。‎ ‎【规律方法】‎ 导数运算及切线的理解应注意的问题：‎ 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 曲线切线方程的求法：‎ ‎(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：‎ ‎①求出函数f(x)的导数f′(x)；‎ ‎②求切线的斜率f′(x0)；‎ ‎③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．‎ ‎(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．‎ ‎【变式3】（2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ 考点1 求曲线的切线方程 ‎【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．‎ ‎【易错提醒】‎ 导数运算及切线的理解应注意的问题：‎ 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎【变式4】（2019·天津高考模拟（文））曲线在点处的切线斜率为_____________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：,‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率为12，‎ 故答案为：12‎ 考点2 求切点坐标 ‎【典例5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 设点，则.又，‎ 当时，，‎ 点A在曲线上的切线为，‎ 即，‎ 代入点，得，‎ 即，‎ 考查函数，当时，，当时，，‎ 且，当时，单调递增，‎ 注意到，故存在唯一的实数根，此时，‎ 故点的坐标为.‎ ‎【方法总结】‎ 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎【变式5】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．‎ ‎【答案】（1，1）‎ ‎【解析】∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex.‎ ‎∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(x0，y0)(x0＞0)，‎ ‎∵函数的导函数为，‎ ‎∴曲线在点P处的切线的斜率，‎ 由题意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，‎ 解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.‎ 又∵点P在曲线上，‎ ‎∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).‎ 考点3 求参数的值(范围)‎ ‎【典例6】（2018年全国卷Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 则 所以 故答案为-3.‎ ‎【规律方法】‎ 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．‎ ‎【变式6】（2018届云南省昆明第一中学第八次月考）已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意设曲线与在公共点处的切线相同.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ 考点4 导数的运算 ‎【典例7】（2018届北京市人大附中十月月考）已知函数则的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题得 所以，‎ 所以，故填1.‎ ‎【总结提升】‎ ‎(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．‎ ‎【变式7】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于(　　)‎ A.－sin x－cos x B.sin x－cos x C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，‎ ‎∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，‎ ‎∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，‎ ‎∴fn(x)是以4为周期的函数，‎ ‎∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D.‎