吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三上学期一摸数学（理）试题

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东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试 数学（理科）试题 一、选择题 ‎1.若是虚数单位,在复平面内复数表示的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法的运算法则,化简复数,最后选出正确答案.‎ ‎【详解】因为,所以复平面内复数表示的点的坐标为,该点在第四象限.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.‎ ‎2.若全集,集合,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出.‎ ‎【详解】.‎ 因为,所以,因此.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.‎ ‎【详解】选项A：函数的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意；‎ 选项B：函数的定义域为全体实数集. ,所以该函数是偶函数, 当时, ,因为,所以该函数此时是减函数,不符合题意；‎ 选项C：函数的定义域为非零的全体实体集,‎ ‎,所以该函数是偶函数,‎ 当时, ,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；‎ 选项D：函数的定义域为全体实数集, ,所以该函数是偶函数, 当时, ,符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.‎ ‎4.设,,,则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出的大小关系.‎ ‎【详解】因为函数是全体实数集上的减函数,所以有；‎ 因为函数是全体实数集上的增函数,所以有；‎ 因为函数是正实数集上减函数,所以有,因此有.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.‎ ‎5.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.‎ ‎【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,‎ 因此有.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.‎ ‎6.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D ‎7.“”是“关于的不等式的解集为”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断不等式的解集为成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案.‎ ‎【详解】因为关于的不等式的解集为,所以有：且,‎ 所以有,显然由不一定能推出,但由一定能推出 ‎,故“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.‎ ‎8.已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时, ,而,所以 ‎；‎ 当时, ,而,所以,综上所述：‎ 实数的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.‎ ‎9.二次函数和(,)的值域分别为和,命题Ü,命题,则下列命题中真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题的真假,‎ 根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题的真假,‎ 最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.‎ ‎【详解】(1)当,时, 二次函数的值域为：,‎ 二次函数的值域为：,此时显然 Ü是假命题,而是负的, 是正的,故命题Ü是假命题, 命题是真命题；‎ ‎(2)当,时, 二次函数的值域为：,‎ 二次函数的值域为：,此时 ‎、 是同号,故命题是真命题；‎ ‎(3)当,时, 二次函数的值域为：,‎ 二次函数的值域为：,此时 ‎、 是同号,故命题是真命题；‎ ‎(4)当,时, 二次函数的值域为：,‎ 二次函数的值域为：,此时 正数、 是负数,故命题是真命题；‎ 综上所述：是假命题, 是真命题.‎ 选项A: 因为是假命题, 是真命题,是假命题；‎ 选项B: 因为是假命题, 是真命题,所以是假命题,因此是假命题；‎ 选项C: 因为是假命题, 是真命题,所以是真命题,是假命题,因此是假命题； ‎ 选项D: 因为是假命题, 是真命题,所以是真命题, 是真命题.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.‎ ‎10.若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数,判断出函数在时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和存在负的零点,这样可以选出正确答案.‎ ‎【详解】当时, ,所以函数在时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：,又因为存在负的零点,因此有,综上所述：的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数,且,若对任意两个不相等的正数,都有,则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求不等式的形式构造新函数,根据,可以判断出函数的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出的解集.‎ ‎【详解】由题意可知：,因此有 ‎,‎ 设,因此函数在时是单调递减函数, 因为,‎ 所以,而是定义在上的奇函数,所以有 ‎,因此函数是上的偶函数.‎ 由偶函数的性质可知：当时, 函数是单调递增的.‎ 所以当时, ；‎ 当时, ,综上所述：‎ 的解集是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.‎ ‎12.若关于的方程有三个不等的实数解,且 ‎,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数 的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.‎ ‎【详解】令,所以由可得,‎ 设,,当时, ,所以函数单调递减,‎ 当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, 因此函数的图象如下图所示：‎ 要想关于的方程有三个不等的实数解,且,‎ 结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选：B 点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数,那么的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的值,根据分段函数的解析式,就要求的值, 要求的值,根据分段函数的解析式,就要求的值,而的值直接代入即可求出.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.‎ ‎14.函数的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】函数的定义域为：,,所以函数的单调递增区间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.‎ ‎15.如图，将边长为的正方形沿轴正向滚动,先以为中心顺时针旋转,当落在轴时,又以为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点滚动时的曲线为,则__________；当时,__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分别求出时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当时,函数的解析式即可.‎ ‎【详解】边长为的正方形的对角线长为,‎ 当时, 点的坐标为：,即；‎ 当时, 点的坐标为：,即；‎ 当时, 点的坐标为：,即；‎ 当时, 点的坐标为：,即；‎ 当时, 点的坐标为：,即；‎ 当时, 点的坐标为：,即.‎ 当时, 顶点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,其方程为：‎ ‎,所以.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力.‎ ‎16.已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数有两个不同的极值点,通过求导,可以求出的取值范围,求出 的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】,因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有：,解得.‎ ‎,‎ 设,‎ ‎,故在上单调递增,故,所以.因此 的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17.在中,角所对的边分别为,且．‎ ‎(1)求角的值；‎ ‎(2)若的面积为,,求的值．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角的值；‎ ‎(2)根据面积公式、余弦定理可以得到之间的关系式,最后求出的值．‎ ‎【详解】(1)由,‎ 得.‎ 由正弦定理,得,即,‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ ‎(2)由(1)知,‎ 又,‎ ‎,①‎ 又,‎ ‎,②‎ 由①②得，,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.‎ ‎18.已知函数,．‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当时,判断的零点个数．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数进行求导,利用分类讨论法求出函数的单调性；‎ ‎(2)设,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.‎ ‎【详解】(1),‎ 故当时,,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 当时,令,得,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 令,得,‎ 所以函数在上单调递减,‎ 综上,当时,函数在上单调递增,‎ 当时,函数在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)设,‎ 则,令,‎ 解得,‎ 当时,；‎ 当时,；‎ 故最大值为，‎ 所以有且只有一个零点.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.‎ ‎19.将边长为的正方形沿对角线折叠,使得平面平面,平面,是的中点,且．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求二面角的大小．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 求出点三点的坐标,通过是的中点,可得,利用面面垂直的性质定理可得平面,进而可以求出点的坐标,最后利用向量法可以证明出；‎ ‎(2)分别求出平面、平面的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角 的大小．‎ ‎【详解】(1)证明：以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 如图所示,则,,‎ 取的中点并连接.‎ 由题意得,‎ 又平面平面,‎ 平面,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)解：设平面的法向量为,‎ 则,,‎ 令.‎ 平面的法向量为,‎ 所以，,‎ 由得.‎ 设二面角为,‎ 则,‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.‎ ‎20.已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,离心率为,点在椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)为椭圆上三个动点,在第二象限,关于原点对称,且,判断是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点的坐标,若不存在,说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)存在,最小值为,‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据三者之间的关系,可以求出的值,最后写出椭圆的标准方程；‎ ‎(2)利用平面向量数量积的定义,化简的表达式,可以发现只需判断面积是否有最小值,设出直线的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出的表达式,同理求出的表达式,最后确定面积的表达式,利用基本不等式可以求出面积的最小值,最后求出点的坐标.‎ ‎【详解】(1)点在椭圆上,则,‎ 又，,‎ 解得,,‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）,‎ 只需判断面积是否有最小值.‎ 设直线的方程为,‎ 设,,‎ 联立,得,‎ 所以,‎ 因为，同理可知,‎ ‎,‎ 此时,‎ 因为即时,最小值为,‎ 易知直线的方程为,‎ 联立,解得,即.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数,,设．‎ ‎(1)如果曲线与曲线在处的切线平行,求实数的值；‎ ‎(2)若对,都有成立,求实数的取值范围；‎ ‎(3)已知存在极大值与极小值,请比较的极大值与极小值的大小,并说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3) 当时,极大值大于极小值；‎ 当时,极大值小于极小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求出两个函数的导数,把代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数的值；‎ ‎(2)对函数求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数的取值范围；‎ ‎(3)令的导函数等于零,求题意确定实数的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可.‎ ‎【详解】(1)因为,,‎ 所以,,‎ 由,得 ‎(2),‎ 易知,‎ ‎①当,即时,有,‎ 所以在上是增函数,‎ 所以,满足题意.‎ ‎②当，即时,‎ ‎,得,‎ 因为,,‎ 所以在上是减函数,‎ ‎,不符合题意.‎ 综上,.‎ ‎(3),‎ 即有两个不相等实数根,‎ 因为,‎ 所以且,‎ ‎①当时,即时,‎ 在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,‎ 故极大值为,极小值为，且.‎ ‎②当时,即时,‎ 在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数,在上是增函数,‎ 故极大值为,极小值为.‎ ‎,‎ 因为,,,‎ 所以.‎ 综上，当时,极大值大于极小值；‎ 当时,极大值小于极小值.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的非负半轴建立极坐标系,点的极坐标，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若为曲线上的动点,求中点到直线的距离最小值．‎ ‎【答案】(1),；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用加减消元法消参可以求出直线的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)求出的直角坐标,利用曲线的参数方程设出点的坐标,利用中点坐标公式,求出的坐标,利用点到直线距离公式求出到直线的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出中点到直线的距离最小值．‎ ‎【详解】(1)直线的普通方程,‎ 由,‎ ‎,‎ 即,‎ 曲线的直角坐标方程为；‎ ‎(2)易知的直角坐标，设,‎ 则的中点,‎ 设到直线的距离为,‎ 则,‎ 当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点法分类讨论求出不等式的解集；‎ ‎(2)根据题意本问题题可以转化为成立,求出的最大值,最后求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)不等式化为或或,‎ 解得或或 故不等式的解集为；‎ ‎(2)由题意知，只需成立,‎ 因为,‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以,‎ 所以,解得.‎ ‎【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.‎ ‎ ‎