【数学】2019届一轮复习人教A版 随机变量及其分布 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 随机变量及其分布 学案

突破点7　随机变量及其分布 ‎ (对应 生用书第26页)‎ ‎[核心知识提炼]‎ 提炼1离散型随机变量的分布列 ‎　 离散型随机变量X的分布列如下：‎ X x1‎ x2‎ x3‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ p3‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎ 则(1)pi≥0.‎ ‎ (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)．‎ ‎ (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数 期望(简称期望)．‎ ‎ D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量X的方差．‎ ‎ (4)均值与方差的性质 ‎ ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ ‎ ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．‎ ‎ (5) 两点分布与二项分布的均值、方差 ‎ ①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；‎ ‎ ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).‎ 提炼2几种常见概率的计算 ‎　 (1)相互独立事件同时发生的概率 ‎ P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎ (2)独立重复试验的概率 ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.‎ ‎[高考真题回访]‎ 回访1　离散型随机变量及其分布列 ‎1．(2013·浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎ (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；‎ ‎ (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 【导 号：68334087】‎ ‎ [解]　(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.‎ ‎ 故P(ξ＝2)＝＝， 1分 ‎ P(ξ＝3)＝＝， 2分 ‎ P(ξ＝4)＝＝， 3分 ‎ P(ξ＝5)＝＝， 4分 ‎ P(ξ＝6)＝＝. 5分 ‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎6分 ‎ (2)由题意知η的分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所以E(η)＝＋＋＝， 10分 ‎ D(η)＝2·＋2·＋2·＝，‎ ‎ 化简得 13分 ‎ 解得a＝‎3c，b＝‎2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 15分 回 访2　离散型随机变量的均值与方差 ‎2．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0D(ξ2)‎ ‎ C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)‎ ‎ A　[由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，‎ ‎ ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．‎ ‎ 又∵0p2，E(ξ1)E(ξ2)‎ ‎ C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)‎ ‎ D．p10，所以p1>p2.]‎ ‎4．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.‎ ‎ 　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，‎ ‎ 则解得 ‎ 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.]‎ ‎ (对应 生用书第27页)‎ 热点题型1　相互独立事件的概率 题型分析：高考主要考查相互独立事件概率的求解及实际应用，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.‎ ‎【例1】　(1)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同 每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同 通过测试的概率为(　　)‎ ‎ A．0.648　　 B．0.432　　‎ ‎ C．0.36　　 D．0.312‎ ‎ (2)如图71，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4‎ 的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.‎ 图71‎ ‎ ①求p；‎ ‎ ②求电流能在M与N之间通过的概率．‎ ‎ (1)A　[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]‎ ‎ (2)记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，‎ ‎ B表示事件：电流能在M与N之间通过．‎ ‎ ①＝123，1，2，3相互独立， 2分 ‎ P()＝P(123)‎ ‎ ＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3. 3分 ‎ 又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 4分 ‎ 故(1－p)3＝0.001，p＝‎0.9. 6‎分 ‎ ②B＝A4∪‎4A1A3∪4‎1A2A3， 10分 ‎ P(B)＝P(A4∪‎4A1A3∪4‎1A2A3)‎ ‎ ＝P(A4)＋P(‎4A1A3)＋P(4‎1A2A3)‎ ‎ ＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)·P(A3)‎ ‎ ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9‎ ‎ ＝0.989 1. 15分 ‎[方法指津]‎ ‎　 求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法 ‎ (1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．‎ ‎ (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．‎ ‎[变式训练1]　(2017·杭州 军中 高三模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则E(X)＝________. ‎ ‎【导 号：68334089】‎ ‎ 　　[由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为，，在乙箱中抽中红球、白球的概率分别为，.抽奖一次不获奖的概率为×＝，所以其(对立事件)获奖的概率为1－＝.因为每次获得一等奖的概率为×＝，3次抽奖相互独立，故E(X)＝np＝3×＝.]‎ 热点题型2　离散型随机变量的分布列、期望和方差 题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.‎ ‎【例2】　(1)(2017·萧山中 高三仿真考试)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)‎ X ‎0‎ ‎2‎ a P p1‎ ‎ A.1　　　　B．‎2　‎　　　C．4　　　　D．5‎ ‎ C　[由题可得＋p1＋＝1，解得p1＝.所以E(X)＝0×＋2×＋a·＝2，解得a ‎＝3.所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝4D(X)＝4，故选C.]‎ ‎ (2)(2017·绍兴市方向性仿真考试)设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，若E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2＝(　　)‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D．3‎ ‎ D　[由已知得解得或因为x1＜x2，所以 ‎ 所以x1＋x2＝1＋2＝3，故选D.]‎ ‎[方法指津]‎ ‎ 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：‎ (1)明确随机变量可能取哪些值.‎ (2)结合事件特点选取恰当的计算方法，计算这些可能取值的概率值.‎ (3)根据分布列和期望、方差公式求解.‎ 提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.‎ ‎ [变式训练2]　(1)(2017·温州九校协作体高三期末联考)将四位同 等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同 的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则Eξ＝________. 【导 号：68334090】‎ ‎ 　　[甲班级没有分到同 的概率为＝，所以甲班级至少有一位同 的概率为1－＝.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，于是Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.]‎ ‎ (2)(2017·金华十校高考模拟考试)设随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a ‎ 则a＝________；E(X)＝________.‎ ‎ 　　[由分布列的概念易得＋＋a＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]‎