河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（文）试题

河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（文）试题

南阳一中2019年秋期高二年级第一次考试 文数试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.若数列{an}满足且a1＝1，an＞0则an＝（ ）‎ A. 4n﹣1 B. 4n﹣3 C. （4n﹣1）2 D. （4n﹣3）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差数列定义以及通项公式求，即得an.‎ ‎【详解】‎ 所以 故选：D 点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.在等比数列{an}中，a1＋an=34，a2·an−1=64，且前n项和Sn=62，则项数n等于 A. 4 B. 5‎ C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设等比数列{an}的公比为q，由题意得a2an−1=a1an=64，‎ 又a1＋an=34，解得a1=2，an=32或a1=32，an=2.‎ 当a1=2，an=32时，Sn====62，解得q=2.又an=a1qn−1，所以2×2n−1=2n=32，解得n=5.‎ 同理，当a1=32，an=2时，由Sn====62，解得q=.又an=a1qn−1=32×n−1=2，所以n−1==4，即n−1=4，n=5.‎ 综上，项数n等于5，故选B．‎ ‎3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn＋2−Sn=36，则n=‎ A. 5 B. 6‎ C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解法一：由题知，Sn＋2=(n＋2)2，由Sn＋2−Sn=36得，(n＋2)2−n2=4n＋4=36，所以n=8.‎ 解法二：Sn＋2−Sn=an＋1＋an＋2=2a1＋(2n＋1)d=2＋2(2n＋1)=36，解得n=8.所以选D．‎ ‎4.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=‎ A. 40 B. 60‎ C. 32 D. 50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．‎ ‎5.若数列是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（ ）‎ A. 4031 B. 4032 C. 4033 D. 4034‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，，因为数列{an}为递减数列，，因此使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4032，选B.‎ 考点：等差数列求和公式 ‎【方法点睛】等差数列的性质：‎ ‎①项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ ‎②和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S2n－1＝（2n－1）an.‎ ‎6.等差数列{an}，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1+a2+…+a15，则m的值为（ ）‎ A. 106 B. 103 C. 98 D. 89‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列通项公式以及求和公式化简条件，解得结果.‎ ‎【详解】因为am＝a1+a2+…+a15，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查等差数列求和公式以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.若数列{}的前n项和为Tn，则满足Tn的最小正整数n是（ ）‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据裂项相消法求Tn，再解不等式得最小正整数n.‎ ‎【详解】‎ 因为Tn，所以 故选：C ‎【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.某厂去年产值是a亿元，计划今后十年内年产值平均增长率是10%．则从今年起到第10年末的该厂总产值是（ ）‎ A. 11（1.110﹣1）a亿元 B. 10（1.110﹣1）a亿元 C. 11（119﹣1）a亿元 D. 10（1.19﹣1）a亿元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意转化为求等比数列前10项的和，再根据等比数列求和公式得结果.‎ ‎【详解】根据题意得从今年起到第10年末的该厂年产值依次构成等比数列，首项为，公比为，因此从今年起到第10年末的该厂总产值是 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn+Sm＝Sn﹣m（n＞m），且a1＝2，那么数列{Sn}的前10项和T10＝（ ）‎ A. 8 B. 9 C. ﹣70 D. 55‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据递推关系得数列{Sn}成等差数列，再根据等差数列求和公式得结果.‎ ‎【详解】令，得 所以数列{Sn}成等差数列，首项为，公差为，‎ 因此数列{Sn}的前10项和T10＝，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.等比数列{an}是递增数列，其前n项的积为Tn（n∈N*），若T13＝4T9，则a8a15＝（ ）‎ A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据定义化简条件，再根据等比数列性质求结果.‎ ‎【详解】因为T13＝4T9，所以 因为等比数列{an}是递增数列，所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11.若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差数列求和公式将和的比转化为项的比，再根据等差数列性质确定通项公式，最后代入得结果.‎ ‎【详解】‎ 所以 因为{an}，{bn}为等差数列，所以为不为零的常数，‎ 即 故选：D ‎【点睛】本题考查等差数列求和公式性质以及等差数列通项公式特征，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知数列满足：，.若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时；当时，，因此，选D.‎ 考点：等比数列定义，数列单调性 ‎【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.‎ ‎②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.‎ ‎③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.在等比数列{an}中，若a2＝1，a5＝8，则a8＝_____．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可 ‎【详解】设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝1，8，两式相除得q3＝8，∴8×8＝64．‎ 故答案为：64‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.等差数列{an}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20＝_____．‎ ‎【答案】﹣30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列性质列方程，解得a1，再根据等差数列通项公式求结果.‎ ‎【详解】∵等差数列{an}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列，‎ 则由 a1•（a1﹣6），解得a1＝8．‎ ‎∴a20＝a1+19d＝8﹣38＝﹣30，‎ 故答案：﹣30‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.‎ ‎【答案】－.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．‎ 考点：数列的递推关系式及等差数列的通项公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．‎ ‎16.在等比数列{an}中,an>0,且a1·a2…a7·a8=16,则a4+a5的最小值为　　　　.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 在等比数列中,由a1·a2…a7·a8=16,‎ 得(a4a5)4=16,‎ 所以a4a5=2,又an>0,‎ 所以a4+a5≥2=2,‎ 当且仅当a4=a5时,取等号,所以a4+a5的最小值为2.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a4＝2，S6＝18．‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）设Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|，求Tn．‎ ‎【答案】（1）an＝10﹣2n；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据条件列关于公差与首项的方程组，解得结果代入等差数列通项公式即可，‎ ‎（2）根据绝对值定义分类求解，当n≤5时，Tn＝Sn，根据等差数列前n项和公式求解，当n≥6时，转化为2S5-Sn，再根据等差数列前n项和公式化简求值.‎ ‎【详解】（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，由于a4＝2，S6＝18．‎ 所以，解得，‎ 所以an＝8﹣2（n﹣1）＝10﹣2n，‎ ‎（2）由于an＝10﹣2n，‎ 所以当n＝5时，a5＝0，‎ 当n≤5时，|an|＝an，‎ 所以Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|＝a1+a2+..+an═9n﹣n2，‎ 当n≥6时，Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|‎ ‎＝a1+a2+…+a5﹣a6﹣a7﹣a8﹣…﹣an ‎＝2（a1+a2+…+a5）﹣（a1+a2+…+an）‎ ‎＝40﹣（9n﹣n2）‎ ‎＝n2﹣9n+40，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与和项公式以及含绝对值数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.已知数列，是该数列的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，已为，证明.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列的项与和的关系，求得的通项公式；‎ ‎（2）利用（1）求得，利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）易知 当时，由，时也成立，得 ‎（2）由可得 因为，所以 ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列的项与和的关系求通项，利用裂项相消法求和，属于简单题目.‎ ‎19.已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，‎ ‎（1）求{an}的通项公式 ‎（2）设bn＝n•an+1，且{bn}前n项和为Tn，求Tn ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1））先根据等比数列性质化简条件，解得a1，a6，即得公比，再代入等比数列通项公式即可，（2）根据错位相减法求和.‎ ‎【详解】（1）设数列的公比为q，由于等比数列单调递增，所以，‎ 因为a3a4＝32，a1+a6＝33，‎ 所以，‎ 解得a1＝1，a6＝32，‎ 所以q＝2．‎ 故．‎ ‎（2）由于，‎ 所以bn＝n•an+1＝n•2n，‎ 则①，‎ ‎2②，‎ ‎①﹣②得．‎ 故 ‎【点睛】本题考查等比数列性质与通项公式以及错位相减法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎20.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可以得出，进而得出结论.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可推导出，再利用分组求和法就能求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 当时，，‎ 两式相减，得，即.‎ ‎∴，所以数列为等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由，得.由（Ⅰ）知，数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ 所以，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列的前n项和的求法.‎ ‎21.设数列{an}前n项和为Sn，满足Sn+1＝4an+2（n∈N+），且a1＝1，‎ ‎（1）若cn，求证：数列{cn}是等差数列．‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先根据和项与通项关系化简条件得项之间递推关系，再根据等差中项性质证等差数列，‎ ‎（2）先根据等差数列通项公式求，即得，再代入条件得结果.‎ ‎【详解】（1）证明：数列{an}前n项和为Sn，满足Sn+1＝4an+2（n∈N+），则Sn＝4an﹣1+2，‎ 所以an+1＝4an﹣4an﹣1，，‎ 整理得，‎ 所以数列{cn}是等差数列．‎ ‎（2）由于S2＝4a1+2，由于a1＝1，‎ 所以a2＝3a1+2＝5，‎ 所以数列{cn}是等差数列，且首项为，公差为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则：Sn+1＝4an+2＝（3n﹣1）•2n+2，‎ 所以..‎ ‎【点睛】本题考查证明等差数列以及等差数列通项公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎22.已知数列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an，‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=（3n﹣1）an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求λ取值范围．‎ ‎【答案】（1）an=．（2）﹣1＜λ＜2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知条件推导出，从而得到=（）•3n﹣1=．由此能求出结果．‎ ‎（2）由=，利用裂项求和法求出，从而得到{Tn}为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．‎ 解：（1）∵数列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴=（）•3n﹣1=．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）∵，bn=（3n﹣1）an，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②，得 ‎=﹣‎ ‎=2﹣，‎ ‎∴．，‎ ‎∵Tn+1﹣Tn=（4﹣）﹣（4﹣）=，‎ ‎∴{Tn}为单调递增数列，‎ ‎∵不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，‎ ‎∴①当n为正奇数时，﹣λ＜Tn对一切正奇数成立，‎ ‎∴（Tn）min=T1=1，∴﹣λ＜1，∴λ＞﹣1；‎ ‎②当n为正偶数时，λ＜Tn对一切正偶数成立，‎ ‎∵（Tn）min=T2=2，∴λ＜2．‎ 综上知﹣1＜λ＜2．‎ 考点：数列的求和；数列递推式．‎ ‎ ‎