安徽省炳辉中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题
炳辉中学高二年级第一学期第二次阶段考试（理科数学）
一．选择题（共12题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案。）
1． 设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a
x 2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0>x D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
3.如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是( )
A．n＝n＋2，i>16? B．n＝n＋2，i≥16?
C．n＝n＋1，i>16? D．n＝n＋1，i≥16?
4．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据
3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为( )
A．5 , 2 B．16 , 2 C．16 , 18 D．16 , 9
5．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确个数的是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是
A. B.
C. D.
7．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A． B． C． D． 3
8．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线
9．若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：的周长，则的最小值为( )
A． B． 5 C． 2 D． 10
10．在棱长为1的正方体中，M，N分别是的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是( )
A． 4 B． 2＋
C． 3＋ D． 2＋
11.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A . B. C. D.
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是（ ）
A． （－∞，－2） B． [－2，2]
C． [－] D． （－∞，－2]∪[2，+∞）
二．填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．已知两条直线：3ax＋y－4＝0，：4x＋6y－2＝0.若
，则a＝________.
14．如图，已知正四棱锥中，，高，点M是侧棱PC的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为______ ．
15．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________．
16．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是________．
三． 解答题；共70分。解答应写出文字说明，证明过程，演算步骤。
17． （10分）已知p：实数m满足3a0)，q：实数m满足不等式，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.
18.（12分）已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围 。
19．（12分）已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
20（12分）.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
21. (12分)如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面C.
证明：；
若，，，求三棱柱的体积．
22.（12分） 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．
(1)求圆O的方程；
(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由.
理数参考答案
1 答案 A
解析 由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即ax2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．故选D.
3. 答案 A
解析 式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列．
由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项．
4． 答案 C
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∴＝5，
∴＋1＝3×5＋1＝16，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，
∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
5． 答案 C
解析 ①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．
因为当m＝0时，解集不是R，
所以应有即m>1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真
6. 答案 A
7．答案 B
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|min＝＝.
8．答案 D
解析 原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
9．答案 B
解析 ∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长
∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心
即圆心(－2，－1)点在直线l：ax+by+1=0上
则2a+b－1=0
则(a－2)2+(b－2)2表示点(2，2)至直线2a+b－1=0点的距离的平方
则其最小值d2==5
也可转化为关于a的一元二次函数求解。故选B
10．答案 D
解析 如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.
∵BC⊥平面ABB1A1，NB平面ABB1A1，
∴NB⊥MG.
∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，
∴△ABM≌△BB1N，
∴∠MAB＝∠NBB1，∴∠MBE＋∠BME＝90°，
∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，
又MG∩AM＝M，MG，AM平面ADGM，
∴NB⊥平面ADGM，
∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，
∴矩形ADGM的周长等于2＋.故选D.
11．答案 D
解析 如图所示，
正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.
12答案 B
解析 ∵C的方程为x2+y2－4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，
∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，
即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，
故选：B．
13．答案
【解析】已知两条直线l1：3ax＋y－4＝0，l2：4x＋6y－2＝0.l1∥l2，－3a＝，则a＝，经验证，符合题意．
14．答案
15．答案
解析 因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC＝a，则所求概率P＝＝.
16．答案 0个
解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，
17．答案
解析 由2－m>m－1>0，解得1m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，当x＝时，max＝，∴min＝，
∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
19．答案（1） (2) .
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
20.
(1)证明 因为PA＝PC＝AC＝4，
O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.
因为AB＝BC＝AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
所以PO⊥平面ABC.
(2)
21．
解 (1)略（2）
22.
解
其它解法只要合理同样给分.例如,求出O关于l的对称点坐标,代入圆的方程,从而求出k值.等.
