高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_5与圆有关的比例线段

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_5与圆有关的比例线段

2.5 　与圆有关的比例线段 1 ． 掌握相交弦定理． 2 ．掌握割线定理． 3 ．掌握切割线定理与切线长定理． 1 ． 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 ________ ． 2 ．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 3 ．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 ________ ． 4 ．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________ ，圆心和这一点的连线 ________ 两条切线的夹角． 1 ．相等　 3. 比例中项　 4. 相等　平分 如图所示，已知 AD 为 Rt△ ABC 斜边上的高，过 C 和 D 两点的圆交 AC 于点 E ，连接 BE 交圆于 H ，连接 AH . 求证： (1) AB 2 ＝ BH · BE ； (2)∠ AHB ＝ 90°. 证明： (1)∵ 在 Rt△ ABC 中， AD ⊥ BC ， ∴ AB 2 ＝ BD · BC ( 射影定理 ) ． ∵ BD · BC ＝ BH · BE ， ∴ AB 2 ＝ BH · BE . (2)∵ AB 2 ＝ BH · BE ， ∴ ＝ . 又∠ ABH ＝∠ EBA ， ∴△ ABH ∽△ EBA ， ∴∠ AHB ＝∠ EAB ＝ 90°. 已知圆中有两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 cm 和 16 cm 两段，第二条弦的长为 32 cm ，求第二条弦被交点分成的两段线段的长． 分析： 相交弦定理的应用． 解析： 设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分别为 x cm 和 (32 － x ) cm. 根据相交弦定理，可得 12 × 16 ＝ (32 － x ) x ，解得 x ＝ 8(cm) 或 x ＝ 24(cm) ． 如图所示，已知 AC 切⊙ O 于点 C ， CP 为⊙ O 的直径， AB 切⊙ O 于点 D ，与 CP 的延长线交于点 B ，若 AC ＝ PC . (1) 求证： BD ＝ 2 BP . (2) 求证： PC ＝ 3 BP . 1 ． 圆内两条相交弦，其中一弦长为 8 cm ，且被交点平分，另一条弦被交点分成 1∶4 两部分，则这条弦长是 ( 　　 ) A ． 2 cm B ． 8 cm C ． 10 cm D ． 12 cm C 2. 已知⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于点 A 、 B ， PA=7 cm,AB= 5 cm,PO=10 cm, 则⊙ O 的半径为（ ）  A. 4 cm  B. 5 cm  C. 6 cm D. 7 cm A 3. （ 2013 年广州一模）如下图（左）， AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的切线， AC 与⊙ O 交于点 D ，若 BC=3 ， AD=165 ，则 AB 的长为 . 答案： 4 第 3 题图 第 4 题图 4. （ 2013 年惠州二调）如上图（右），从⊙ O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ，已知 AD=23 ， AC=6 ，⊙ O 的半径为 3 ，则圆心 O 到 AC 的距离为 . 答案： 5 5. （ 2013 年惠州一模）如图⊙ O 的直径 AB=6 ， P 是 AB 的延长线上一点，过点 P 作⊙ O 的切线，切点为 C ，连接 AC ，若∠ CPA=30° ，则 PC=  . 答案：  6 ．如图所示， AB 是⊙ O 的弦，点 P 是 AB 上一点，若 AB ＝ 10 cm ， PA ＝ 4 cm ， OP ＝ 5 cm ，则⊙ O 的半径为 ( 　　 ) A. cm B ． 7 cm C ． 14 cm D ． 9 cm B 7 ．如图所示， PA 为⊙ O 的切线， A 为切点， PA ＝ 8 ，割线 PCB 交圆于点 C 、 B ，且 PC ＝ 4 ， AD ⊥ BC 于点 D ，∠ ABC ＝ α ，∠ ACB ＝ β ，连接 AB 、 AC ，则 的值等于 ( 　　 ) A. B. C ． 2 D ． 4 B 8 ． AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，垂足为 M ， AM ＝ 4 ， BM ＝ 9 ，则弦 CD 的长为 ________ ． 12 9 ．如图所示，已知 P 是 · ⊙ O 外一点， PD 为 ⊙ O 的切线， D 为切点，割线 PEF 经过圆心 O ，若 PF ＝ 12 ， PD ＝ 4 ，则圆 O 的半径长为 ________ 、 ∠ EFD 的度数为 ________ ． 4 30° 10 ． (2012 年湖南卷 ) 如图所示，过点 P 的直线与 ⊙ O 相交于 A ， B 两点．若 PA ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， PO ＝ 3 ，则 ⊙ O 的半径等于 ________ ． 解析： 利用割线定理求解． 设 ⊙ O 的半径为 r ( r >0) ， ∵ PA ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， ∴ PB ＝ PA ＋ AB ＝ 3. 延长 PO 交 ⊙ O 于点 C ，则 PC ＝ PO ＋ r ＝ 3 ＋ r . 设 PO 交 ⊙ O 于点 D ，则 PD ＝ 3 － r . 由圆的割线定理知， PA · PB ＝ PD · PC ， ∴ 1 × 3 ＝ (3 － r )(3 ＋ r ) ， ∴ 9 － r 2 ＝ 3 ， ∴ r ＝ . 答案： 11 ．如图所示，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F ， E 是 AB 延长线上一点，且 DF ＝ CF ＝ ， AF ∶ FB ∶ BE ＝ 4∶2∶1. 若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为 ________ ． 12 ．如图所示， AB 、 CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P ， PD ＝ ，∠ OAP ＝ 30° ，则 CP ＝ ________. 13 ．如图所示，已知 Rt△ ABC 的两条直角边 AC 、 BC 的长分别为 3 cm 、 4 cm ，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ，则 ＝ __________. 14 ．如图所示，设 △ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E ， ∠ BAC 的平分线与 BC 交于点 D. 求证： ED 2 ＝ EC·EB. 证明： 因为 AE 是圆的切线，所以 ∠ ABC ＝ ∠ CAE . 又因为 AD 是 ∠ BAC 的平分线，所以 ∠ BAD ＝ ∠ CAD . 从而 ∠ ABC ＋ ∠ BAD ＝ ∠ CAE ＋ ∠ CAD . 因为 ∠ ADE ＝ ∠ ABC ＋ ∠ BAD ， ∠ DAE ＝ ∠ CAE ＋ ∠ CAD ， 所以 ∠ ADE ＝ ∠ DAE . 故 EA ＝ ED . 因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知， EA 2 ＝ EC · EB ，而 EA ＝ ED ，所以 ED 2 ＝ EC · EB . 15. 如图所示，弦 AD 和 CE 相交于⊙ O 内一点 F ，延长 EC 与过点 A 的切线相交于点 B ，且 AB ＝ BF ＝ FD ， BC ＝ 1 cm ， CE ＝ 8 cm ，求 EF 和 AF 的长． 分析： 根据切割线定理与相交弦定理即可求得． 解析： AB 2 ＝ BC · BE ， AB 2 ＝ 1 × 9 ， ∴ AB ＝ 3(cm) ＝ BF ＝ FD . ∴ CF ＝ 2(cm) ， FE ＝ 6(cm) ． 又∵ AF · FD ＝ CF · FE ， ∴ AF × 3 ＝ 2 × 6 ， 即 AF ＝ 4(cm) 1 ． 在相交弦定理的叙述和应用中，如果将半径、直径跟定理中的线段搞混，就会导致证明过程发生错误，因此务必要清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 2 ．切割线定理的灵活应用以及切割线定理与割线定理之间的联系是难点． 3 ．四大定理的数学语言记忆：如图所示， AB 、 CD 为圆的弦且交于点 P ，延长 BD 与 CA 交于点 Q ， QB 与 QC 是两割线， RD 切⊙ O 于点 D ，交 QC 于点 R ， RS 与⊙ O 切于点 S ，则有 相交弦定理： AP · PB ＝ DP · PC ， 割线定理： QD · QB ＝ QA · QC ， 切割线定理： RA · RC ＝ RD 2 ， 切线长定理： RD ＝ RS . 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束