2019届二轮复习函数图像综合应用学案（全国通用）

2019届二轮复习函数图像综合应用学案（全国通用）

一、函数图象的定义：‎ 设函数的定义域为D，那么在平面直角坐标系内的点集构成函数的图象。‎ 二、函数图象的画法 ‎1．描点法：函数图象的基本作图方法，一般有三步：列表、描点、连线（平滑曲线）‎ ‎2．变换法：由已知的函数图象，经过平移、对称、翻转、伸缩等变换得到所要的函数图象。‎ ‎3．函数作图基本要求：‎ ① 用铅笔作图；‎ ② 标明关键点、线；‎ ‎③ 同一坐标系下的不同函数图象需要注明。‎ 三、已学的函数图象：‎ ‎1．正比例函数：‎ ‎2．反比例函数：‎ ‎3．一次函数：‎ ‎4．二次函数：‎ ‎5．幂函数：‎ ‎6．指数函数：‎ ‎7．对数函数：‎ 四、函数图象的变换：‎ ‎1．平移变换：‎ ‎①将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象；‎ ‎②将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；‎ ‎③将函数的图象向上平移个单位后得到函数的图象；‎ ‎④将函数的图象向下平移个单位后得到函数的图象；‎ ‎2．对称变换：‎ 自身对称：‎ ‎①函数满足，则其图像关于直线轴对称，偶函数为其特例；‎ ‎②函数满足，则其图像关于点对称；奇函数为其特例；‎ ‎③函数满足，则其图像关于点对称；奇函数为其特例；‎ 互相对称 ‎①将函数的图象关于轴对称，可以得到函数的图象；‎ ‎②将函数的图象关于轴对称，可以得到函数的图象；‎ ‎③将函数的图象关于原点中心对称，可以得到函数的图象；‎ ‎3．翻转变换：‎ ‎①将函数的图象在轴上方的部分不变，把在轴下方的部分翻转到轴上方，可以得到函数的图象；‎ ‎②将函数的图象在轴右方的部分不变，再把在轴右方的部分翻转到轴左方，代替原来在轴左方的图象，可以得到函数的图象。‎ ‎4．伸缩变换：‎ ‎①函数的图象 函数的图象；‎ ‎②函数的图象 函数的图象；‎ 五、变换作图步骤 ‎1．确定原形；‎ ‎2．设计线路；‎ ‎3．具体绘制.‎ 六、函数的零点 对于函数，如果存在实数，当时，，那么就把叫做函数的零点.‎ 函数零点、方程的根与函数图像的关系 函数有零点 方程 有实数根 函数图像有交点.‎ 七、函数图像的方法处理不等式恒成立问题 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：‎ ‎（1）函数图象恒在函数图象上方；‎ ‎（2）函数图象恒在函数图象下上方.‎ 一、函数图像的各种变换 对函数 的图像的大致示意图，需要理解这类复合函数的基本函数，其复合的本质大都是以幂指对三类函数出发，作为外层函数，然后以常见二次型、绝对值型作为内层函数来进行构造。在掌握这类函数图像画法的过程中，特别是函数或是的变形，若绝对值外面有加减，要注意先平移后翻折的顺序，函数图像的变换，都是从自变量出发，找到变换的顺序，这是关键。若函数 ‎【例1】已知则下列函数的图像错误的是（ ）‎ ‎ A.的图像 B.的图像 C.的图像 D.的图像 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】D ‎【例2】函数与的图像关于_______对称．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】y轴 ‎【例3】函数的单调增区间为__________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】和 ‎【例4】将函数的图像横坐标伸长为原来的两倍，然后向右平移一个单位，最后再把纵坐标缩短为原来的一半，所得的函数解析式为____________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例5】函数的图象的对称中心为__________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设函数，则为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数的图象是由的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点.所以函数的图象的对称中心为.‎ ‎【例6】已知函数（），给出下列四个命题：‎ ‎① 当且仅当时，是偶函数；‎ ‎② 函数一定存在零点； ‎ ‎③ 函数在区间上单调递减；‎ ‎④ 当时，函数的最小值为。‎ 那么所有真命题的序号是 ．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】①④ ‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．将函数的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关于对称，那么（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎2．将函数的图像沿轴向右平移1个单位，得到图像C，图像C1与C关于原点对称，图像C2与C1关于直线对称，则C2对应的函数解析式为______________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．已知函数的反函数的图像的对称中心，则实数的值为_____________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】2‎ ‎4．设，若，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】A ‎【解析】保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，，从而，即，又，所以。选项为A。‎ ‎5．定义域为的函数有四个单调区间，则实数满足（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】C 二、用函数图像的方法解决零点及方程有解问题 函数的零点、方程的根、函数的图像与轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数。判断方程根的个数问题中，当其函数结构特征比较明显，能够画出函数图像时，利用其图像的特性来作根的个数讨论或是与的交点个数问题；‎ 当函数图像并不容易作出时，可以再次进行转化，如：判断方程的根的个数时，可以构造函数，于是将问题转化为函数的图像与轴交点个数问题，再依据的单调性和某些特殊点的位置来判断。对于复合方程的多零点或多根问题，可以通过换元先求内层函数的值域，根据外层函数的图像的值域来分段讨论零点个数的不同情况。‎ ‎【例7】方程的实数解的个数是_________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】3‎ ‎【例8】已知，且关于的方程有（）个根，则这个根的和可能是 .（请写出所有可能值）‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】4、6、8、10、12、14、16‎ ‎【例9】设定义域为的函数，若关于的方程 有三个不同的实数解，则____________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】5‎ ‎【例10】若满足，满足，则 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】转换为满足,满足,利用函数图像解答.‎ ‎【例11】已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： ‎ ‎① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；‎ ‎② 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；‎ ‎③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；‎ ‎④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.‎ 其中真命题的序号为 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【例12】若函数（）满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为_____．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】9‎ ‎【例13】函数给出四个命题：‎ ‎①当时，是奇函数；‎ ‎②当时，方程只有一个实数根；‎ ‎③的图像关于点对称；‎ ‎④方程至多只有两个实数根.‎ 上述命题中，所有正确命题的序号是_______.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．设常数，以方程的根的可能个数为元素的集合 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎3．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎4．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知函数，关于的方程 ‎（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 .‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数经过化简后可得，令，即对应着6个不同的，而最多有两个不同的的解，故由的图像可知，必有一解是，另一解，即，代入解得解得，即，故 ‎6．定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，当时，；‎ 当时，；‎ 故；‎ 函数在区间内的所有零点即为在内的所有解；‎ 即与的交点的横坐标，作与的图像如下：‎ 故所有的零点为；‎ 故答案为 三、用函数图像的方法解决不等式恒成立、能成立问题 对函数或的恒成立或能成立问题，是将函数的图像与函数 这条与轴平行的直线作高低比较；对函数或的恒成立或能成立问题，实质是对函数和的图像作高低的比较，让的图像完全在的上面（下面）或函数的图像刚好有高于（低于）图像的点。‎ ‎【例14】设，当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则当时，恒成立 当时，显然成立；‎ 当时，如图，恒成立的充要条件为：‎ 解得.‎ 综上可得实数的取值范围为.‎ ‎【例15】关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【例16】若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和，观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可 知，的图象必须过点或在这个点的上方，则， ‎ 综上得：‎ ‎【例17】已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 .‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】或 ‎【解析】题中给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图像都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得，此时函数满足题意；若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则分子所对应的二次函数图像只能是开口向上且与轴没有交点，分母所对应的二次函数图像只能都是开口向上且与轴至多有一个交点，即，解得，综上可得或 ‎【例18】已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的, ,则实数的取值范围为_____________.‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．‎ ‎∴当0≤x≤a2时，f（x）= [﹣x+a2 ﹣（x﹣2a2）﹣3a2]=﹣x；‎ 当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；‎ 当x＞2a2时，f（x）=x﹣3a2．‎ 由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：‎ 当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，‎ f（x）的最大值为a2，‎ 由于任意的x∈R，f（x﹣1）≤f（x），‎ 故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，‎ 结合（图二）可得1﹣3a2 ≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，‎ 故答案为：[﹣，]．‎ ‎ ‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．已知适合不等式的的最大值为3则p的值为 ．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】8‎ ‎2．若不等式在 内恒成立，则实数的取值范围．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎3．函数，若的解集为，则的取值范围为_________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】或 ‎4．设，若时均有，则____________．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎5．已知,，若同时满足条件：‎ ‎①对于任意，或成立； ‎ ‎②存在，使得成立。‎ 则的取值范围是　 　　 　　 ． ‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，要使对于任意，或成立，则时，恒成立，故，且两根与均比1小，得①.∵时，，故应存在，使，‎ 只要或②，由①、②求交，得.‎ 四、函数图像的综合问题 ‎【例19】已知函数，，则方程，实根的个数为 ‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与 交点个数之和，先画出与的图像，如图所示：，‎ 然后分别研究与的图像，如图：，‎ 以及与的图像。如图：，‎ 由以上两图可知，共有四个交点，故实根的个数为4‎ ‎【例20】已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间[，1]上的所有实根之和为_____________．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】由题意得：在区间上为奇函数且为增函数，由得函数的周期为2，，作图如下：‎ 共有三个交点，其中两个交点关于点对称，另一交点为，所以所有实根之和为 ‎【巩固训练】‎ ‎1．已知奇函数和偶函数分别满足 ， ，若存在实数a，使得 成立，则实数b的取值范围是　　　　．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵为奇函数，且 ‎∴的图象关于原点对称，如图，‎ 当时，取最大值，且为1；当时，最小，且为．‎ ‎∵为偶函数，且，‎ ‎∴的图象关于y轴对称，如图，且，‎ ‎∵存在实数a，使得成立，[来源:学科网]‎ ‎∴，即，∴1＜|b|＜3，‎ ‎∴1＜b＜3或-3＜b＜-1，∴b的取值范围是（1，3）∪（-3，-1）．‎ ‎2．设函数对于所有的正实数，均有，且，则使得的最小的正实数的值为　　　　．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】416‎ ‎【解析】‎ 因为函数与图像存在一一对应的关系，可以通过函数图像对函数做出直观地反映和描述，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，从而启发思维，找到解题之路，因此学好函数必须对函数图像非常熟悉.分段函数是函数图像考查的热点和难点，其对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，要将方程化为几个具体的方程来解决．一些指数对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形]结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，转折点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.‎ ‎1．的对称中心为，则a的值为 .‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】6‎ ‎2．已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间 上的最大值为2，则 ．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎4．已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数 的取值范围为__________. ‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题: ‎ ‎①为偶函数 ②的图象关于直线对称 ‎③在上为减函数 ④的最小值为0‎ 其中正确命题的序号为 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】②④‎ ‎6．已知函数 是定义域为 的偶函数，当时， ，若关于 的方程有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是__________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎7．已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，则实数 的取值范围为________________.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎8．已知两条直线:y=m 和:y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为　　　　． ‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系中作出的图像如下图：‎ 由，得，由，得，故，，，‎ ‎9．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是　　　　．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的图像如下图所示，显然直线与图像有4个交点，且函数图像与轴有3个交点。设，则，要使得有8个根，故方程在区间上有两个不同的解，构造函数，由二次函数图像可得：‎ ‎，，将看作自变量、看作因变量，于是设，则可以看作是一次函数在轴上的截距，不等式组表示的平面区域如下图所示曲边三角形的内部且包含线段（除端点）‎ 显然当直线过点时截距最小即最小，当过点（2，1）时，截距最大即最大，但因为不等式组表示的区域不包含点，点，所以．‎