高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程

高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程

微专题 94 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查 学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速 熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标： 1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴， 这样就建立了一个极坐标系 2、点坐标的刻画：用一组有序实数对 确定平面上点的位置，其中 代表该点到极点的 距离，而 表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： 3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极 轴与 轴重合，则同一个点可具备极坐标 和直角坐标 ，那么两种坐标间的转化公 式为： ，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例 如 ： 极 坐 标 方 程 （ 在 转 化 成 时 要 设 法 构 造 ，然后进行整体代换即可） （二）参数方程： 1、如果曲线 中的变量 均可以写成关于参数 的函数 ，那么 就称为该曲线的参数方程，其中 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参： （2）整体消参： ，由 可得： （3）平方消参：利用 消去参数  ,     0, 0,2    x  ,   ,x y 2 2 2 cos sin x y x y             cos sin 1 1x y        ,x y cos , sin     , 0F x y  ,x y t     x f t y g t       x f t y g t   t  3 2 3 32 3 x t y xy t         2 2 1 1 x t t y t t       2 2 2 1 1 2t tt t        2 2x y  2 2sin cos 1   例如： 3、常见图形的参数方程： （1）圆： 的参数方程为： ，其中 为 参数，其几何含义为该圆的圆心角 （2）椭圆： 的参数方程为 ，其中 为参数， 其几何含义为椭圆的离心角 （3）双曲线： 的参数方程为 ，其中 为 参数，其几何含义为双曲线的离心角 （4）抛物线： 的参数方程为 ，其中 为参数 （5）直线：过 ，倾斜角为 的直线参数方程为 ，其中 代 表该点与 的距离 注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般 方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题： 例 1：已知直线参数方程为 ，圆 的参数方程为 ，则圆心到直线的 距离为____________ 思路：将参数方程转化为一般方程： 所以圆心为 ，到直线的距离为： 答案： 例 2：以直角坐标系的原点为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取 相同的单位长度，点 的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 ，则曲 2 2cos3cos 3 12sin 9 4sin2 x x x y y y                2 2 2x a y b r     cos 0,2sin x a r y b r         ，    2 2 2 2 1 0x y a ba b     cos 0,2sin x a y b       ，    2 2 2 2 1 0x y a ba b      1 0,2cos tan x a y b         ，   2 2 0y px p  22 2 x pt y pt     t  ,M a b  cos sin x a t t Ry b t        ， t M 3 3 x t y t      C 2cos 2sin 2 x y        22: 6, : 2 4l x y C x y      0,2 | 2 6 | 2 2 2 d   2 2 x A 2 2, 4     C 2 cos 2 sin x y         线 上的点到点 距离的最大值为___________ 思路： ，故曲线上距离 最远的距离为 到圆心的距离加 上半径，故 答案： 例 3：已知在平面直角坐标系 中圆 的参数方程为： ，以 为极轴建 立极坐标系，直线极坐标方程为 ，则圆 截直线所得弦长为__________ 思路：圆 的方程为： ，对于直线方程 ，无法直 接替换为 ，需构造 再进行转换： 再求出弦长即可： 答案： 例 4：已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点坐标 为_____________ 思路：曲线方程为 ， 联立方程可解得： 或 （舍） 由 可得： 所以 ，坐标为 答案： 例 5：在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点， C A      2 22,2 , : 2 2 1A C x y    A A 5d  5 xOy C 3 3cos 1 3sin x y        Ox cos 06       C C    2 23 1 9x y    cos 06       ,x y cos , sin    cos 06       3 1 3 1cos sin 0 02 2 2 2x y            4 2l  4 2  5 cos 0 sin x y          25 4x t y t     2 2 2 1 2 5: 1, :5 4 xC y C x y   1 2 5 x y    5x    0,  0y  1 2 5 x y   21, 55     21, 55      sin cos a    =2cos 4sin   ,A B 且 ，则实数 的值为_____________ 思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程： ，曲线 ，所以问题转化为直线 与圆 相交于 ，且 ，利用圆与直线关系 可求得圆心到直线距离 即 ，解得 或 答案： 或 例 6：以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位，已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交 于两点 ，则 _________ 思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于 ，这种特殊的极坐标方程 可以考虑数形结合来确定直线：即 ，曲线消参后可得： 即圆 心是 ，半径为 的圆，所以 ， 答案： 小炼有话说：对于形如 的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程， 或者可以考虑对 赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化： 例 7：在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，则两曲线交点间的距 离是______________ 思路：将 转变为直角坐标系的普通方程。 ，则为直 2 3AB  a  sin cos a y x a       2 2 2=2cos 4sin =2 cos 4 sin 2 4x y x y              : 0l x y a      2 21 2 5x y    ,A B 2 3AB   1 2 2 2 a d      3 2a   5a   1a   5a   1a   x  4 R   1 2cos 2 2sin x y         ,A B AB  4   :l y x    2 21 2 4x y     1,2O 2 1 2 22O ld    2 2 12 2 4 142O lAB r d      14 4    sin sintan 1 1 1 14 cos cos y y xx                   xOy 1C 1 1 x t t y t t       x 2C sin 13       1 2,C C 2 2 1 2 1 3: 4, : 12 2C y x C y x    线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可 解： 的方程为 联立方程可得： 代入消去 可得： 设交点 则 答案： 例 8 ： 已 知 曲 线 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ， 其 中 ，则曲线 交点的极坐标为_______ 思路一：按照传统思路，将 转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极 坐标 解： 或 将两个点转化为极坐标分别为 ，因为 ，所以只有 符合条件 思路二：观察到所给方程 形式简单，且所求也为极坐标，所 1 :C 1 1 x t t y t t       2 2 2 2 1 1 4y x t tt t                 2 1 3: sin cos cos sin 1 sin cos 13 3 2 2C              2C 3 1 12 2x y  2 2 4 3 2 y x y x       y  2 2 23 2 4 2 4 3 0x x x x          1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 20, 2 3x x  2 1 21 4 3AB k x x     4 3 1 2: cos 3, : 4cosC C     0,0 2     1 2,C C 1 2,C C 1 : cos 3 3C x     2 2 2 2 : 4cos 4 cos 4C x y x          2 2 33 4 3 xx x y x y         3 3 x y    2 3, , 2 3,6 6            0,0 2     2 3, 6      1 2: cos 3, : 4cosC C     以考虑直接进行极坐标方程联立求解 解： 代入消去 可得： 交点坐标为 小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对 的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的 本身是实数，所以关 于它们的方程与 方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由 于其具备几何含义（尤其 ）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代 入消元还是容易解出 的 例 9：已知在极坐标系中， 为极点，圆 的极坐标方程为 ，点 的极坐 标为 ，则 的面积为___________ 思路一：将 转变为直角坐标系方程： ，所以 ，再求出 的直角坐标 为 ， 则 ， 因 为 ， 所 以 ，且 ，所以 思路二：本题求出 后，发现其极坐标为 ，而 ，所以可结合图像利用 极 坐 标 的 几 何 含 义 求 解 ， 可 得 ， ， 所 以 cos 3 4cos         2 34cos 3 cos 2     0, 2      3cos 2 6      4cos 2 36     2 3, 6      ,  ,  ,x y  ,  O C 4sin 3       P 4, 3      OCP C 24sin 2sin 2 3cos 2 sin 2 3 cos3                        2 22 2 2 3 2 3 1 4x y x y x y          3,1C P  2,2 3 1 2OCP P OCS OC d   3: 3 3 03OC y x x y    2 3 6 3 2 2 3P OCd     2OC  1 2 2 22OCPS      3,1C 2, 6      4, 3P      3 6 6COP       2, 4OC OP  答案： 小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单： ，所以 ，代入即可 （2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（ ）与角 ，在解决一些与几何相 关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果 例 10：在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（其中 为参数），以原 点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， 设点 ，曲线 交于 ，求 的值 思 路 一 ： 将 转 化 为 直 角 坐 标 系 下 普 通 方 程 ： ， ，联立方程，解出 坐标，再求出 即可 解： 设 1 1sin 2 4 sin 22 2 6OCPS OC OP COP        2OCPS     3,1 , 2, 3OC OP      2 21 2OCPS OC OP OC OP          xOy 1C 22 2 21 2 x t y t        t x 2C 2 2 1 3sin      2, 1M  1 2,C C ,A B MA MB 1 2,C C 1 : 1C y x   2 2 2 2 2: 4 4 1 3sin C x y       ,A B MA MB 1 22 22: 1 1121 2 x t xC y xy y t                 2 2 2 2 2 2 2 2 2: 1 3sin 2 1 3sin 4 3 sin 4 1 3sin C                     2 24 4x y     2 2 224 4 4 1 4 1 x y x x y x            25 8 0x x      1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现 三点共线，则可以考虑将 转变为向量的数量积，即 ，进而向量坐标化后整体代入 即 可 解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设 ， 由 得 思路三：观察到 恰好是直线 参数方程的定点，且所求恰好是 到 的距离， 所以联系到直线参数方程中参数 的几何含义。只需求得对应参数 的乘积即可 解：设 ，则有 ， ，则有 代入到 中可得： 1 1 0 1 x y   2 2 8 5 3 5 x y        8 30,1 , ,5 5A B    22 2, 25AM BM   8 5AM BM   , ,M A B MA MB MA MB MA MB    1 2 1 2,x x x x    1 1 2 2, , ,A x y B x y  2, 1M     1 1 2 22, 1 , 2, 1MA x y MB x y             1 2 1 22 2 1 1MA MB MA MB x x y y                   1 2 1 2 1 22 2 1 1 1 1 2 2 2x x x x x x              1 2 1 22 2 4x x x x      25 8 0x x  1 2 1 2 8, 05x x x x   8 82 0 2 45 5MA MB            2, 1M  1C ,A B M t 1 2,t t  1 1,A x y 1 1 1 1 22 2 21 2 x t y t         2 2,B x y 2 2 2 2 22 2 21 2 x t y t        2 2 2 : 4 1C x y  2 2 1 1 2 2 2 2 2 22 +4 1 42 2 2 22 +4 1 42 2 t t t t                              所以 是方程 的两根，整理可得： 答案： 小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点， 如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是 同向还是反向 （2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参 数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的 得到关于参数的方程。另外在 使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不 具备几何含义。例如本题中如果 参数方程为 ，则 并不代表点到 的距离。 三、历年好题精选 1、已知直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系 中的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，圆 的极坐标方程为 ，则 圆心 到直线 的距离为________ 2、（2015，北京）在极坐标系中，点 到直线 的距离为______ 3、（2015，广东）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 ，则点 到直线 的距离为_______ 4、（2015，新课标 II）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其 中 ， 在 以 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 （1）求 交点的直角坐标 （2）若 相交于点 ， 相交于点 ，求 的最大值 1 2,t t 2 2 2 22 +4 1 42 2t t              25 6 2 4 02 t t   1 2 8 5MA MB t t    8 5 ,x y 1C 2 2 1 2 x t y t       t  2, 1M  xOy l 3 3 x t y t    t xOy O x C 2 4 cos 3 0     C l 2, 3       cos 3sin 6    l 2 sin 24       A 72 2, 4A      A l xOy 1 cos: sin x tC y t      t 0t  0    O x 2 3: 2sin , : 2 3cosC C     2 3,C C 1 2,C C A 1 3,C C B AB 5、（2015，陕西）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原 点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 （1）写出 的直角坐标方程 （2） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标 习题答案： 1、答案： 解析：可知直线 的方程为： ，圆的直角坐标方程为 ， 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 2、答案：1 解析：点 化为直角坐标系坐标为 ，直线方程为 ，从而该点到 直线的距离为 3、答案： 解析：直线 ，转化为直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 ，则 到直线的距离为 4、解析：（1）曲线 的直角坐标方程分别为： xOy l 13 2 3 2 x t y t      t x C 2 3sin  C P l P C P 5 3 2 l  3 3 3 3 3 0y x x y       22 2 24 3 0 2 1x y x x y         2 2 2 3 3 3 5 3 23 1 d     2, 3       1, 3 3 6 0x y    22 1 3 6 1 1 3 d     5 2 2 : 2 sin 2 cos 2 sin cos 1l             1y x  A  2, 2 A  2 2 1 5 2 22 d     2 3,C C 2 2 2 22 0, 2 3 0x y y x y x      联立方程： 解得： 或 交点的直角坐标为 （2）曲线 的极坐标方程为 在极坐标系下 ，当 时取到 5、解析：（1） 直角坐标方程为 整理可得： （2）设 ，由（1）可得 等号成立条件为 ，此时 6、答案： 解析：圆 的直角坐标方程为： ，设直线 方程为： ，因为 ，可知 ，所以 为直径，即过圆心 ，计算可得： ，直线方 程为 ，再转化为极坐标方程为 2 2 2 2 2 0 2 3 0 x y y x y x        0 0 x y    3 2 3 2 x y      2 3,C C   3 30,0 , ,2 2       1C  , 0,0R             2sin , , 2 3cos ,A B    2sin 2 3cos 4 sin 3AB           max 4AB  5 6   22 3sin 2 3 sin        2 2 2 3x y y   22 3 3x y   1 33 ,2 2P t t      0, 3C 22 21 33 3 12 2 32 2PC t t t               0t   3,0P cos sin 1     C    2 22 1 1x y    l y x m  2AB  2AB r AB  2,1 1m   1 0x y   cos sin 1    