【数学】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测试题

【数学】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测试题

河北省唐山市2020-2021学年 高二上学期9月质量检测试题 本试卷分第I卷(1～2页，选择题)和第II卷(3～8页，非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。‎ 第I卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知向量a＝(4，－2)，b＝(m，3)，若a//b，则m＝‎ A.－6 B.6 C. D.－‎ ‎2.在△ABC中，已知BC＝，AC＝1，B＝45°，则A＝‎ A.45° B.60° C.90° D.135°‎ ‎3.同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为 A. B. C. D.‎ ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1000＋a1021＝1，则S2020＝‎ A.2020 B.1021 C.1010 D.1002‎ ‎5.设x，y满足约束条件，则z＝3x－y的最大值为 A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎6.右图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为 A.1.2 B.1.5 C.1.6 D.1.8‎ ‎7.已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N大小关系为 A.M>N B.M0，b>0，且4ab＋2a＋b＝4，则2a＋b的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎10.右图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是 A.平均数为74 B.众数为60或70‎ C.中位数为75 D.该校数学月考成绩80以上的学生约占25%‎ ‎11.如图，在△ABC中，D为BC中点，E在线段AD上，且AE＝2ED，则＝‎ A. B. C. D.‎ ‎12.某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距50 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把信息通知在A南偏东30°，且与A处相距25 n mile的C处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度?‎ A.30° B.45° C.90° D.60°‎ 第II卷(非选择题，共90分)‎ 注意事项：‎ ‎1.第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上)‎ ‎13.已知数列{an}为等比数列，a3＋a5＝1，则a2a4＋2a3a5＋a4a6≈ 。‎ ‎14.已知x>0，则y＝的最小值为 。‎ ‎15.已知向量a＝(3，－6)，则与a垂直的单位向量的坐标为 。‎ ‎16.学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择。调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐。用an，bn分别表示第n个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数。第一个周一选A套餐的人数为a1人。‎ ‎(1)如果每个周一选A套餐人数总相等，则a1＝ 。‎ ‎(2)若a1＝350，则从第 个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)。‎ 为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：‎ ‎(1)求y关于t的回归直线方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归直线方程，预测当t＝10时，菜籽发芽个数。‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎18.(12分)‎ 当a≤0时，解关于x的不等式ax2＋(1－3a)x－3≤0。‎ ‎19.(12分)‎ 街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位，供群众销售商品。某日街道办统计摊主的当日利润(单位：元)，绘制如下茎叶图。‎ ‎(1)根据茎叶图，计算东区10位摊主当日利润的平均数，方差；‎ ‎(2)从当日利润90元以上的摊主中，选出2位进行经验推介，求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率。‎ ‎20.(12分)‎ 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足。‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若ac＝bcosA＋acosB，求△ABC的周长的最大值。‎ ‎21.(12分)‎ 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2＝3，S3＝6。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn。‎ ‎22.(12分)‎ 如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD。已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米。‎ ‎(1)求△CDB的面积；‎ ‎(2)求该扇形的半径OA的长。‎ 参考答案 一．选择题：‎ ‎1-12、ACDCC BABAD BD 二．填空题：‎ ‎13．1 14．3 15．(，)或(－，－) 16．630（2分）；3（3分）‎ 三．解答题：‎ ‎17．解：‎ ‎（1）由表中数据计算得，＝6，＝4，＝11，＝10，‎ ＝＝1.1，＝－＝－2.6．‎ 所以，回归方程为＝1.1t－2.6． …8分 ‎（2）将t＝10代入（1）的回归方程中得＝11－2.6＝8.4．‎ 故预测t＝10时，菜籽发芽个数约为8.4千个． …12分 ‎18．解：‎ ‎①当a＝0时，原不等式即x－3≤0，解得 x≤3； …2分 ‎②当a＜0时，(ax＋1)(x－3)≤0.‎ 方程(ax＋1)(x－3)＝0的两根为x1＝－，x2＝3. …4分 当a＝－时，原不等式即－(x－3)2≤0，解得x∈R.‎ 当－＜a＜0时，－＞3，解得 x≥－或x≤3；‎ 当a＜－时，－＜3，解得 x≥3或x≤－； …11分 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤3}；‎ 当a＝－时，原不等式的解集为R；‎ 当－＜a＜0时，原不等式的解集为{x| x≥－或x≤3}；‎ 当a＜－时，原不等式的解集为{x| x≥3或x≤－}. …12分 ‎19．解：‎ ‎（1）东区10位摊主利润的平均数是80，方差是 [(68－80)2＋(69－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋‎ ‎(89－80)2＋(81－80)2＋(92－80)2＋(95－80)2]＝79.4 …6分 ‎（2）由题意可知，东区2摊主分设为A，B，西区3摊主分设为c，d，e．‎ 再从这5位摊主中随机抽取2个，共包含：‎ ‎(A，B)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(c，d)，(c，e)，‎ ‎(d，e)，10种等可能的结果； …8分 其中东西两个区域各1位摊主事件包含(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)， (B，e)，共计6种等可能的结果； …10分 由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各1位摊主的概率 P＝＝． …12分 ‎20．解：‎ ‎（1）由已知×bcsinA＝bccosA，得tanA＝． …3分 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°． …5分 ‎（2）由题设及正弦定理得asinC＝sinBcosA＋sinAcosB，‎ 所以asinC＝sin(B＋A)，即asinC＝sinC．‎ 由于0°＜C＜120°，sinC≠0，‎ 所以a＝1． …8分 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc，‎ 所以(b＋c)2－1＝3bc≤3×()2，当且仅当b＝c＝1时取等号.‎ 解得b＋c≤2 …11分 即△ABC的周长的最大值为3. …12分 ‎21．解：‎ ‎（1）由S3＝6得，a2＝2，‎ 代入到a1a2＝3得a1＝，d＝，‎ 所以{an}的通项公式为an＝n＋1． …4分 ‎（2）由（1）知＝， …5分 Tn＝＋＋…＋＋，‎ Tn＝ ＋＋……＋＋． …8分 两式相减得 Tn＝＋(＋＋…＋)－ …10分 ‎＝＋(1－)－＝2－ 所以Tn＝4－． …12分 ‎22．解：‎ ‎（1）由题意CD＝400(米)，DB＝300(米)，∠CDB＝120°；‎ ‎△CDB的面积S＝×300×400×sin120°＝30000(平方米)‎ 所以△CDB的面积为30000平方米． …4分 ‎（2）设扇形的半径为r，连结CO．‎ 由题意∠CDO＝60°‎ 在△CDO中，OC2＝CD2＋OD2－2 CD·OD·cos60°，‎ 即r2＝4002＋(r－300) 2－2×400×(r－300)×， …8分 解得r＝370(米)‎ 则该扇形半径OA的长为370米. …12分C O B D A＝i＋1‎