安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年度第一学期高一10月月考 数学测试题 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由得,故,故选C.‎ ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考查等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图．‎ ‎2.设为非空数集，，且中至少含有一个奇数元素，则这样的集合共有（）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用列举法（分类的标准为A中只含3不含7，A中只含7不含3，A中即含3又含7）逐一列出符合题意的集合A ‎【详解】解：∵A为非空集合，，且A中至少含有一个奇数 ‎∴当A中只含3不含7时A＝{3，6}，{3}‎ 当A中只含7不含3时A＝{7，6}，{7}‎ 当A中即含3又含7时A＝{3，6，7}，{3，7}‎ 故符合题意的集合A共有6个 故选A ‎【点睛】本题主要考查了子集的概念，属中档题，较易．解题的关键是理解子集的概念和A中至少含有一个奇数分三种情况：只含3不含7，A中只含7不含3，A中即含3又含7.‎ ‎3.若函数的定义域是，则函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数有意义，可得0≤x+1≤3且x≠1.‎ ‎【详解】解：函数的定义域是，‎ 函数有意义，可得 ‎0≤x+1≤3且x≠1，‎ 即有≤x≤2且x≠1，‎ 即有定义域为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意运用定义域的定义和分式分母不为0，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎4.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎5.不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式的解集为,‎ ‎ 的两根为，，且，‎ 即,解得 则不等式可化为 解得 故选 ‎6.已知方程至少有一个负根，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先讨论是不是二次方程，再讨论a的正负，从而求解．‎ ‎【详解】解：若a＝0，则x，成立；‎ 若a＜0，方程ax2+2x+1＝0一正一负两个根，故成立；‎ 若a＞0；则只需使△＝4﹣4a≥0即可，‎ 故0＜a≤1；‎ 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程的根的分布问题，考查了分类讨论的思想，属于基础题．‎ ‎7.如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．‎ ‎【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；‎ 当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)‎ 故答案为B ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．‎ ‎8.已知符号函数sgn= ,是R上的增函数，，则（ ）‎ A. sgnsgn B. sgn- sgn C. sgnsgn D. sgn- sgn ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论x与ax的大小，结合单调性分析的正负，代入函数，分析与原函数关系即可.‎ ‎【详解】当时，，由单调性：，此时，‎ 当时，，此时：，‎ 当时，，由单调性：，此时，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查新定义函数以及 函数的单调性，由单调性结合新函数的性质即可得出结论，也可以采用特殊值的方式验证其关系，得出结论.‎ ‎9.设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ ‎，若AB，则有或 考点：1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系 ‎10.已知满足，若函数与图象的交点为，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数与图象都关于点对称，结合对称性可得结果.‎ ‎【详解】由满足，可知图象关于点对称，‎ 又函数图象也关于点对称，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C ‎【点睛】本题考查利用图像的对称性求式子的值，考查数形结合的思想，考查逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎11.已知函数满足：①定义域为；②对任意，都有；③当时，.则方程的实数解的个数是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数的周期为2，在同一坐标系中，作出f（x）的图象，再画出y的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数．‎ ‎【详解】∵∀x∈R，都有f（x+2）＝f（x），‎ ‎∴函数的周期为2，‎ 在同一坐标系中，作出f（x）的图象，再画出y的图象 观察得出交点数为3，‎ 即方程的实数解的个数是3．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式的求法，函数的零点个数，以及函数的图象的画法，考查数形结合的思想方法．‎ ‎12.已知 ,则的最值是(　　)‎ A. 最大值为3，最小值－1‎ B. 最大值为，无最小值 C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.‎ ‎【详解】‎ 如图，同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.‎ ‎【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）：‎ ‎13.函数的单调递减区间是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，利用复合函数与二次函数单调性求解即可.‎ ‎【详解】因为函数有意义，‎ 则满足，‎ 而二次函数开口向上，对称轴为，‎ 那么根据复合函数的单调性可知当时，函数是递减的，‎ 因此答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及二次函数的图象与性质，属于中档题.‎ ‎14.已知关于的不等式的解集为.若,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得0和0或25﹣a＝0，联立两个式子解可得答案．‎ ‎【详解】若3∈M，则有0，①‎ 若5∉M，则有0或25﹣a＝0②‎ 联立①②可得：或；‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，关键是搞清5∉M包含两种情况，属于易错题．‎ ‎15.已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】要使f（x）在R上的减函数，‎ 则满足，即 所以 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎16.已知，且方程无实数根，下列命题：‎ ‎①方程也一定没有实数根；‎ ‎②若，则不等式对一切实数都成立；‎ ‎③若，则必存在实数，使 ‎④若，则不等式对一切实数都成立．‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】 可以看作 ，而已知  无实数根，所以方程  无实根，∴命题①正确；  方程  无实根，∴  或 ．若 ，则  对一切  成立．∴ ，用  代入，则 ，∴命题②正确；  同理若 ，则有 ，∴命题③错误； ∵ ，∴ ，∴必然归为 ，有 ，∴命题④正确．故答案为①②④‎ 三．解答题（共70分，写出必要的证明、解答步骤）：‎ ‎17.设，．若，求a取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知：，对A分类讨论即可得到结果.‎ ‎【详解】解：，由知：，即：‎ ‎①当时，方程无解，‎ 即，解得：‎ ‎②当为单元数集时，，即，此时满足题意；‎ ‎③当时，和是关于的方程的两根，‎ 综上所述：或 ‎【点睛】本题考查由子集关系确定字母的范围，考查了分类讨论思想，二次方程根的分布，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎18.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：.若不建隔热层，每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用最小，并求其最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x），若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．我们可得C（0）＝，得k＝36，进而得到．建造费用为C1（x）＝4x，则根据隔热层建造费用与16年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．‎ ‎（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，研究函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．‎ ‎【详解】（1）由题意知：，代入中得，因此 ‎，即 ‎（2）由 令，则，考察函数在的单调性知：当时为减函数，当时为增函数，‎ 此时 即当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.‎ ‎【点睛】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎19.设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分．‎ ‎（1）求函数在上的解析式；‎ ‎ （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象；‎ ‎ （3）写出函数的值域和单调区间．‎ ‎【答案】(1) (2) 见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先设抛物线顶点式方程，代人求出开口大小，再根据偶函数性质求在上的解析式；（2）根据描点法画出函数图像，或根据对称性画函数图像（3）根据图像确定最值得函数值域，根据函数图像增减得单调区间 试题解析：‎ 点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若函数在单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对任意实数，不等式恒成立时的取值集合记为，，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对a分类讨论，结合一元二次函数的图像与性质可得结果；‎ ‎（2）以a为主元，可得集合A，又，即，对集合B分类讨论可得结果.‎ ‎【详解】解（1）①当时，，显然满足；‎ ‎②；‎ ‎③，‎ 综上：.‎ ‎(2)令 问题转化为对任意实数恒成立，‎ ‎，即，‎ 由知：‎ 当时：，即满足；‎ 当时，‎ 综上：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，考查了分类讨论思想与数形结合思想，考查子集概念，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，（其中为常数）‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论a＝0，a≠0，运用奇偶性的定义，即可判断；‎ ‎（2）根据题意，讨论x的取值，把不等式去掉绝对值，求出使不等式恒成立的a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；‎ ‎（2）转化为求函数的最小值，‎ ‎，即，‎ 设，‎ ‎①对于 当时，；‎ 当时，‎ ‎②对于 当时，‎ 当时，‎ 综上：当时，，‎ ‎，由，解得满足；‎ 当时，，由，解得或，不满足；‎ 当时，，‎ ‎，由，解得，满足 所以实数的取值范围是：或 ‎【点睛】本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再讨论函数的性质与解不等式，是较难的题目．‎ ‎22.定义在上的函数满足：对任意的，都有：‎ ‎（1）求证：函数是奇函数；‎ ‎（2）若当时，有，求证：在上是减函数；‎ ‎（3）在（2）的条件下解不等式：;‎ ‎（4）在（2）的条件下求证：.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）（4）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令x＝y＝0 可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判断f（x）的奇偶；‎ ‎（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判断出﹣10，再结合条件即可证明结论；‎ ‎（3）根据奇偶性与单调性可得不等式组，解之即可；‎ ‎（4）可得，结合（2）可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）令得：‎ 设，则，，即，‎ 函数是奇函数；‎ ‎（2）设，则，‎ 由知：，且，所以，即，‎ ‎，又 即，从而，故，即，‎ 即，所以在上是减函数 ‎（3），又由为奇函数，即，‎ 由（2）知在上是减函数，‎ 解得：，故不等式的解集为；‎ ‎（4）‎ ‎，‎ 故 由，，‎ 即 ‎【点睛】本题考查函数的性质，难点在于第（2）问函数单调性的证明中﹣10的分析，以及第（4）中裂项相消求和，综合考查学生的分析，计算及正确推理的能力，是难题．‎ ‎ ‎