高考理科数学专题复习练习 2.2函数的单调性与最值

高考理科数学专题复习练习 2.2函数的单调性与最值

第二章函数 ‎2.2函数的单调性与最值 专题3‎ 单调性的应用 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,单调性的应用,选择题,理10)设函数f(x)=x|x-a|,若对∀x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(-∞,-3] B.[-3,0)‎ C.(-∞,3] D.(0,3]‎ 解析:∵对于任意x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,‎ ‎∴函数f(x)=x|x-a|在[3,+∞)上是增函数.‎ 由函数f(x)=x|x-a|=‎ 当a≤3时,f(x)=x2-ax(x≥3)在递增,则在[3,+∞)递增;‎ 当a>3时,f(x)在(a,+∞)递增,在递减,即有f(x)在[3,+∞)先减后增.‎ 综上可得,a≤3,‎ 故实数a的取值范围是(-∞,3].‎ 故选C.‎ 答案:C ‎2.3函数的奇偶性与周期性 专题2‎ 奇偶性的应用 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,奇偶性的应用,选择题,理3)若函数y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象的对称轴方程是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x=1 B.x=-1‎ C.x=2 D.x=-2‎ 解析:∵y=f(2x+1)=f,‎ ‎∴函数y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得出y=f(2x),再向左平移个单位得出y=f(2x+1)=f的图象.‎ ‎∵函数y=f(2x+1)是偶函数,‎ ‎∴函数y=f(2x+1)的对称轴为x=0,‎ ‎∴函数y=f(2x)的对称轴为x=,‎ y=f(x)的对称轴为x=1,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,奇偶性的应用,选择题,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=(　　)‎ A.-2 B.0 C.1 D.2‎ 解析:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,‎ ‎∴f(-1)=-f(1)=-2,‎ 故选A.‎ 答案:A ‎2.5对数与对数函数 专题3‎ 对数函数的性质及应用 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,对数函数的性质及应用,选择题,理5)已知函数f(x)=x2,g(x)=lg x,若有f(a)=g(b),则b的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.[0,+∞) B.(0,+∞)‎ C.[1,+∞) D.(1,+∞)‎ 解析:∵f(a)=a2≥0,∴g(b)=lgb≥0,‎ ‎∴b≥1.故选C.‎ 答案:C ‎2.6幂函数与二次函数 专题2‎ 二次函数的图象与性质 ‎■(2015河南省六市高考数学二模,二次函数的图象与性质,选择题,理12)若方程(x-1)4+mx-m-2=0各个实根x1,x2,…,xk(k≤4,k∈N*)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(-1,7)‎ B.(-∞,-7)∪(-1,+∞)‎ C.(-7,1)‎ D.(-∞,1)∪(7,+∞)‎ 解析:方程的根显然x≠1,原方程等价于(x-1)3+m=,‎ 原方程的实根是曲线y=(x-1)3+m与曲线y=的交点的横坐标,‎ 而曲线y=(x-1)3+m是由曲线y=(x-1)3向上或向下平移|m|个单位而得到的,‎ 若交点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,‎ 因直线y=x与y=交点为:(-1,-1),(2,2),‎ 所以结合图象可得,‎ 由(2-1)3+m=2,解得m=1,由(-1-1)3+m=-1,解得m=7,‎ ‎∴m<1或m>7,故选D.‎ 答案:D ‎2.8函数与方程 专题3‎ 函数零点的综合应用 ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,函数零点的综合应用,填空题,理15)已知函数f(x)=xsin x+cos x,给出如下命题:‎ ‎①f(x)是偶函数;‎ ‎②f(x)在上单调递减,在上单调递增;‎ ‎③函数f(x)在上有3个零点;‎ ‎④当x≥0时,f(x)≤x2+1恒成立.‎ 其中正确的命题序号是　　　　　. ‎ 解析:对于①,显然定义域为R,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=f(x),所以函数为偶函数,所以①为真命题;‎ 对于②,f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈时,f'(x)>0,此时函数为增函数,故②为假命题;‎ 对于③,令f(x)=0,所以=-tanx,作出y=及y=-tanx在上的图象可知,它们在上只有两个交点,所以原函数在有两个零点,故③为假命题;‎ 对于④,要使当x≥0时,f(x)≤x2+1恒成立,只需当x≥0时,f(x)-x2-1≤0恒成立,即y=xsinx+cosx-x2-1≤0恒成立,而y'=xcosx-2x=(cosx-2)x显然小于等于0恒成立,所以该函数在[0,+∞)上递减,因此x=0时,ymax=0+cosθ-0-1=0.故当x≥1时,f(x)≤x2+1恒成立,故④为真命题.‎ 答案:①④‎ ‎2.9函数的应用 专题2‎ 分段函数模型 ‎■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,分段函数模型,选择题,理12)已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:作出函数f(x)的图象如图:‎ 当y=ax对应的直线和直线f(x)=x+1平行时,满足图象有两个不同的交点,‎ 当直线和函数f(x)相切时,当x>1时,函数f'(x)=,设切点为(m,n),‎ 则切线斜率k=f'(m)=,则对应的切线方程为y-lnm=(x-m),即y=x+lnm-1,‎ ‎∵直线切线方程为y=ax,∴解得 即此时a=,此时直线y=ax与f(x)只有一个交点,不满足条件,‎ 若方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时,则满足≤a<,故选B.‎ 答案:B