2020届二轮复习高考审题答题一函数与导数热点问题课件（22张）（全国通用）
核心热点
真题印证
核心素养
利用导数研究函数的性质
2017·
Ⅱ
，
21
；
2018·
Ⅰ
，
21
；
2017·
Ⅲ
，
21
；
2018·
Ⅱ
，
21
数学运算、逻辑推理
利用导数研究函数的零点
2018·
Ⅱ
，
21(2)
；
2018·
江苏，
19
数学运算、直观想象
导数在不等式中的应用
2017·
Ⅲ
，
21
；
2017·
Ⅱ
，
21
；
2016·
Ⅱ
，
20
；
2018·
Ⅰ
，
21
数学运算、逻辑推理
教材链接高考
——
导数在不等式中的应用
[
教材探究
]
(
引自人教
A
版
选修
1
－
1P99
习题
3.3B
组
(3)(4)
两个经典不等式
)
利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数
图像
直观验证
.
(3)e
x
>1
＋
x
(
x
≠
0)
；
(4)ln
x
<
x
0).
[
试题评析
]
1.
问题源于求曲线
y
＝
e
x
在
(0
，
1)
处的切线及曲线
y
＝
ln
x
在
(1
，
0)
处的切线，通过观察函数
图像
间的位置关系可得到以上结论，可构造函数
f
(
x
)
＝
e
x
－
x
－
1
与
g
(
x
)
＝
x
－
ln
x
－
1
对以上结论进行证明
.
2.
两题从本质上看是一致的，第
(4)
题可以看作第
(3)
题的推论
.
在第
(3)
题中，用
“
ln
x
”
替换
“
x
”
，立刻得到
x
>1
＋
ln
x
(
x
>0
且
x
≠
1)
，进而得到一组重要的不等式链：
e
x
>
x
＋
1>
x
－
1>ln
x
(
x
>0
且
x
≠
1).
3.
利用函数的
图像
(
如图
)
，不难验证上述不等式链成立
.
【教材拓展】
试证明：
e
x
－
ln
x
>2.
证明
法一
设
f
(
x
)
＝
e
x
－
ln
x
(
x
>0)
，
所以
φ
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
单调递增，
所以当
x
>
x
0
时，
f
′(
x
)>0
；当
0<
x
<
x
0
时，
f
′(
x
)<0.
∴
f
(
x
)
＝
e
x
－
ln
x
在
x
＝
x
0
处有极小值，也是最小值
.
故
e
x
－
ln
x
>2.
法二
注意到
e
x
≥
1
＋
x
(
当且仅当
x
＝
0
时取等号
)
，
x
－
1
≥
ln
x
(
当且仅当
x
＝
1
时取等号
)
，
∴
e
x
＋
x
－
1>1
＋
x
＋
ln
x
，故
e
x
－
ln
x
>2.
【链接高考】
(2017·
全国
Ⅲ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
ax
2
＋
(2
a
＋
1)
x
.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(1)
解
f
(
x
)
的定义域为
(0
，＋
∞
)
，
若
a
≥
0
时，则当
x
∈
(0
，＋
∞
)
时，
f
′(
x
)>0
，
故
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上单调递增，
当
x
∈
(0
，
1)
时，
g
′(
x
)>0
；
x
∈
(1
，＋
∞
)
时，
g
′(
x
)<0.
所以
g
(
x
)
在
(0
，
1)
上单调递增，在
(1
，＋
∞
)
上单调递减
.
故当
x
＝
1
时，
g
(
x
)
取得最大值，最大值为
g
(1)
＝
0.
所以当
x
>0
时，
g
(
x
)
≤
0
，
教你如何审题
——
利用导数研究函数的零点
【例题】
(2018·
全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
e
x
－
ax
2
.
(1)
若
a
＝
1
，证明：当
x
≥
0
时，
f
(
x
)
≥
1
；
(2)
若
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
只有一个零点，求
a
.
[
审题路线
]
[
自主解答
]
(1)
证明
当
a
＝
1
时，
f
(
x
)
＝
e
x
－
x
2
，则
f
′(
x
)
＝
e
x
－
2
x
.
令
g
(
x
)
＝
f
′(
x
)
，则
g
′(
x
)
＝
e
x
－
2.
令
g
′(
x
)
＝
0
，解得
x
＝
ln 2.
当
x
∈
(0
，
ln 2)
时，
g
′(
x
)<0
；
当
x
∈
(ln 2
，＋
∞
)
时，
g
′(
x
)>0.
∴
当
x
≥
0
时，
g
(
x
)
≥
g
(ln 2)
＝
2
－
2ln 2>0
，
∴
f
(
x
)
在
[0
，＋
∞
)
上单调递增，
∴
f
(
x
)
≥
f
(0)
＝
1.
(2)
解
若
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上只有一个零点，即方程
e
x
－
ax
2
＝
0
在
(0
，＋
∞
)
上只有一个解，
令
φ
′(
x
)
＝
0
，解得
x
＝
2.
当
x
∈
(0
，
2)
时，
φ
′(
x
)<0
；
当
x
∈
(2
，＋
∞
)
时，
φ
′
(
x
)>0.
探究提高
1.
利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养
.
考查的主要形式：
(1)
求函数的零点、
图像
交点的个数；
(2)
根据函数的零点个数求参数的取值或范围
.
2.
导数研究函数的零点常用方法：
(1)
研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；
(2)
将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数
图像
的交点，运用函数的
图像
性质求解
.
【尝试训练】
已知三次函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
bx
2
＋
cx
＋
d
(
a
，
b
，
c
∈
R
)
过点
(3
，
0)
，且函数
f
(
x
)
在点
(0
，
f
(0))
处的切线恰好是直线
y
＝
0.
(1)
求函数
f
(
x
)
的解析式；
(2)
设函数
g
(
x
)
＝
9
x
＋
m
－
1
，若函数
y
＝
f
(
x
)
－
g
(
x
)
在区间
[
－
2
，
1]
上有两个零点，求实数
m
的取值范围
.
解
(1)
f
′(
x
)
＝
3
x
2
＋
2
bx
＋
c
，由已知条件得，
所以
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
.
(2)
由已知条件得，
f
(
x
)
－
g
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
－
9
x
－
m
＋
1
在
[
－
2
，
1]
上有两个不同的零点，可转化为
y
＝
m
与
y
＝
x
3
－
3
x
2
－
9
x
＋
1
的
图像
有两个不同的交点；
令
h
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
－
9
x
＋
1
，
h
′(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x
－
9
，
x
∈
[
－
2
，
1]
，
令
h
′(
x
)>0
得－
2
≤
x
＜－
1
；令
h
′(
x
)<0
得－
1
＜
x
≤
1.
所以
h
(
x
)
max
＝
h
(
－
1)
＝
6
，
又
f
(
－
2)
＝－
1
，
f
(1)
＝－
10
，所以
h
(
x
)
min
＝－
10.
数形结合，可知要使
y
＝
m
与
y
＝
x
3
－
3
x
2
－
9
x
＋
1
的
图像
有两个不同的交点，
则－
1
≤
m
＜
6.
故实数
m
的取值范围是
[
－
1
，
6).
满分答题示范
——
利用导数研究函数的性质
【例题】
(12
分
)(2015·
全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
a
(1
－
x
)
．
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
当
f
(
x
)
有最大值，且最大值大于
2
a
－
2
时，求实数
a
的取值范围．
[
规范解答
]
[
构建模板
]
