安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题

2020 届模拟 05 理科数学 测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1．设 , , ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 ． 已 知 幂 函 数 是 定 义 在 区 间 上 的 奇 函 数 ， 设 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线 的两个实轴顶点为 ，点 为虚轴顶点，且 ，则双曲线的离心率的范围为 （ ） A． B． C． D． 5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各 3 张，若小李第一次从中抽取 了 1 张红桃和 2 张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了 1 张红桃和 2 张方片的概率 为 （ ） A． B． C． D． 6．已知向量 ，函数 在区间 上单调，且 的最大值是 ，则 （ ） A．2 B． C． D．1 7．如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ） U = R { | 0}A x x= > { | 1}B x x= > UA B =  { | 0 1}x x <≤ { | 0 1}x x< ≤ { | 0}x x < { | 1}x x > z i 1i z z =− i z 1( ) nf x mx += [ 2, ]n− 2 2 2sin , cos , tan7 7 7a f b f c f π π π     = = =           b a c< < c b a< < b c a< < a b c< < 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,A A C 1 2 0CA CA⋅ <  (1, 2) (1,2) ( 2, )+∞ (2, )+∞ 1 5 2 5 3 25 4 25 21 3( , cos ), (2 cos ,sin )( 0)2 2 x x xω ω ω ω= = + >a b ( )f x = ⋅a b [ ],m n m n− 2 π ( )2f π = 7 4 5 4 5n = i = A．10 B．11 C．12 D．13 8．设 是 的对角线的交点，三角形 的高 为 2， 为任意一点，则 （ ） A．6 B．16 C．24 D．48 9．设 满足约束条件 ，则 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 10．已知数列 满足 , ， 则 展开式中的常数项为 （ ） A． B． C．80 D．160 11．如图，已知六个直角边均为 1 和 的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ） A． B． C． D． M ABCD ABD AP O ( 3 ) ( )OB OC OD OA OP OA+ + − ⋅ − =      ,x y 0 2 3 4 6 x y x y x y −  +  − − ≤ ≤ ≥ 2 2( 1) ( 1)z x y= − + + [2,13] [4,13] [4, 13] [2, 13] { }na 1 13 , 1n na a a+ = = 0 1 2 1 2 3 1 64n n n n n na C a C a C a C++ + + + = 21( 1)(2 ) nx x x − − 160− 80− 3 L 15 4 π 17 4 π 19 4 π 21 4 π 12．已知函数 ，若函数 在 上有 3 个零点，则实数 的 取值范围为 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知抛物线 ， 是 上的一点，若焦点 关于 的对称点 落在 轴上， 则 . 14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛 积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为 其中 为上底边长， 为下底边长， 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大 小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由 个球组成，以下各层的长、宽依 次各增加一个球，共有 层，最下层(即下底)由 个球组成，杨辉给出求方垛中物体 总数的公式如下： 根据以上材料，我们可得 . 15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为 ，则俯视图的面积为 . 16．在 中， 分别是 的中点，且 ，若 的面积不小 于 ，则 的最小值为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12 分）已知数列 的前 项和记为 , ， ； 等差数列 中，且 的前 项和为 ， . （1）求 与 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求 的前 项和. 1 , 0 ( ) ln , 0 xxf x x xx  <=   > ( ) ( )F x f x kx= − R k 1(0, )e 1(0, )2e 1( , )2e −∞ 1 1( , )2e e 2: 8C y x= Q C F Q P y FP = 2 2( )3 hV a b ab= + + a b h a a× n b b× 2 2( )3 2 n b aS a b ab −= + + + 2 2 21 2 n+ + + = 3 ABC△ ,E F ,AC AB 4, 6AB AC= = ABC△ 6 3 BE CF { }na n nT 1 2 1( 1)n na T n+ = + ≥ 1 1a = { }nb { }nb n nS 1 3 33, 27b a S= + = { }na { }nb { }nc 1 3 1 3 logn n n c b a+ + = { }nc n 18．（12 分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺 术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2 位“梅派”传 人和 4 位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设 6 位演员的演唱水平相当，由现场 40 位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真 正的“梅派”传人. （1）此栏目编导对本期的 40 位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查 得到的数据如下： 京剧票友 一般爱好者 合计 50 岁以上 15 10 25 50 岁以下 3 12 15 合计 18 22 40 试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有 关系？ （2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出 2 位“梅派”传人”或猜出5 人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜 次，求随机变量 的分布列与期望. 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ac bdK a b c d a c b d −= + + + + 19．（12 分）在如图（1）梯形 中， ， 过 作 于 ， ，沿 翻折后得图（2），使得 ，又点 满 足 ，连接 ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成的二面角的余弦值. ABCD 9, 10, : 1: 2AB AD DC EB= = = D DE AB⊥ E 1DE = DE 2 3AEB π∠ = F EA EB EF+ =   , ,AF BF CF 2EM MF=  //CF BDM BMD AED 20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点为 ，左右两顶点 ， 点 为椭圆 上任意一点，满足直线 的斜率之积为 ，且 的最大 值为 4. （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知直线 与 轴的交点为 ,过 点的直线 与椭圆 相交与 两点，连接 点 并延长,交轨迹 于一点 .求证： . 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 1 2,F F ,A B M C ,MA MB 3 4 − 1 2MF MF⋅ C 2ax c = x S S l C ,P Q 2QF C P′ 2 2'P F PF= 21．（12 分）已知函数 在点 处的切线方程为 . （1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围； （ 2 ） 设 ， 对 于 ， 的 值 域 为 ， 若 ，求实数 的取值范围. ( ) m xf x e n−= + (1,1) 2 0x y+ − = ( ) ( )( cos )( )F x f x a x a= − + ∈R a 2( ) ( 1)[ (1 ) 1]G x f x x t x= + + − + [0,1]x∈ ( )G x [ , ]N M 2M N> t 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写 清题号． 22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程 已知直线 的普通方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 的参数方程为 ，将直线向右平移 2 个单位后得到直线 ， 又点 的极坐标 . （1）求直线 以及曲线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 两点，求三角形 的面积值. l 2 0x y− + = x C 2 2cos 2 2 2sin x y θ θ  = + = + 'l P (3 2, )2 π 'l C 'l C ,A B PAB 23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲 已知函数 （1）若 ，求不等式 的解集； （2）当 时，若 的最小值为 2，求 的最小值. ( ) | | | |f x x a x b c= + + − + 1, 2, 3a b c= = = 8 ( ) 10f x< < 0, 0, 0.a b c> > > ( )f x 1 1 1 a b c + + 2020 届模拟 05 理科数学答案与解析 1．【答案】B【解析】因为 ，所以 ． 2．【答案】C【解析】由 得 ，所以 ，所以 对应的点在第 三象限. 3．【答案】A【解析】因为幂函数 在区间 上是奇函数，所以 ， 即 ，因为 ，又 为增函数，所以 . 4 ． 【 答 案 】 A 【 解 析 】 根 据 题 意 ， ， 所 以 为 钝 角 ， 所 以 ， 所 以 . 5．【答案】C【解析】设 A=｛抽取 1 张红桃和 2 张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取 1 张红桃和 2 张方 片｝； ， 所以 . 6．【答案】D【解析】 ， 由题意： , , ，即 ， 所以 . 7．【答案】C【解析】输入的 ，程序框图运行如下： ， ; ， ； ， ; ， ； ， ； ， ； ， ；所以输出的 8．【答案】B【解析】因为 ， 在向量 的射影为 ， 所以 . 9．【答案】A【解析】由约束条件 作出可行域如图， { }1U B x x= ≤ { | 0 1}UA B x x= < ≤ i 1i z z =− i i(1+i) 1 i 1 i (1 i)(1+i) 2 2z = = = − +− − 1 i 2 2z = − − z 1( ) nf x mx += [ 2, ]n− 1, 2m n= = 3( )f x x= 2 2 2cos sin tan7 7 7 π π π< < ( )f x b a c< < 1 2 0CA CA⋅ <  1 2ACA∠ a b> 2 2 2 22 , 2, 1 2ca c ea > ∴ < ∴ < < 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 6 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 9 9 6 15 9( ) , ( )28 140 C C C C C C C C C CP A P ABC C C += = = = 9 ( ) 3140( ) 15( ) 25 28 P ABP B A P A = = = 21 3( ) (2 cos ) cos sin2 2f x x x xω ω ω= ⋅ = + +a b 21 31 cos sin 22 4x xω ω= + + 1 cos2 31 sin 24 4 x x ω ω+= + + 5 1 1 3( cos2 sin 2 )4 2 2 2x xω ω= + + 1 5sin(2 )2 6 4x πω= + + T π= 2 2 π πω∴ = 1ω∴ = 1 5( ) sin(2 )2 6 4f x x π= + + 1 5( ) 12 4 4f π = − + = 5n = 1i = 1( 1) 1 1 5S = − × = − < 2i = 21 ( 1) 2 1 2 1 5S = − + − × = − + = < 3i = 31 ( 1) 3 1 3 2 5S = + − × = − = − < 4i = 42 ( 1) 4 2 4 2 5S = − + − × = − + = <  10i = ( 1 2) ( 3 4) ( 5 6) ( 7 8) ( 9 10) 5S = − + + − + + − + + − + + − + = 11i = 115 ( 1) 11 5 11 6 5S = + − × = − = − < 12i = 126 ( 1) 12 6 5S n= − + − × = > = 12.i = AP BD⊥ AM AP AP 2 ( 3 ) ( ) 2 4 4 16OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP+ + − ⋅ − = ⋅ = ⋅ = ⋅ =           0 2 3 4 6 x y x y x y −  +  − − ≤ ≤ ≥ 令 ，则表示点 和 两点的距离，由图可得， , 联立 ，解得 ，所以 过 作 于 ，则 ，故 . 10 ． 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 数 列 为 等 比 数 列 ， 所 以 ， 所 以 ， 所以 ，其中 展开式的第 r+1 项为 ,令 ，得 （舍去），令 可得 ，所以二项式 展 开式中常数项为 ． 11 ． 【 答 案 】 B 【 解 析 】 外 面 的 六 边 形 旋 转 得 到 的 几 何 体 的 体 积 为 ， 内 部 的 六 边 形 旋 转 得 到 的 几 何 体 的 体 积 为 ，所以几何体的体积为 . 12．【答案】B【解析】当 时， ，所以 ，又 时， ， 在 上单调递增， 时， ， 在 上单调递减， . ; ，所以 的值域为 ，设 与 相切时的切点为 ， 所以切线方程为 ，代入 ，得 ， 故切线的斜率为 ，所以 与 的图象如下： 根据题意， ，故 ，所以实数 的取值范围为 . 2 2( 1) ( 1)t x y= − + + ( , )x y (1, 1)D − maxt DC= 4 6 2 3 x y x y − = −  + = ( 1,2)C − max 13t DC= = (1, 1)D − DH BD⊥ H min 1 ( 1) 2 2 t DH − −= = = [2,13]z ∈ 1 3n na a+ = { }na 13n na −= 0 1 2 0 0 1 1 2 2 1 2 3 1 3 3 3 3 (1 3) 4 64, 3n n n n n n n n n n n n n na C a C a C a C C C C C n++ + + + = + + + + = + = = ∴ =  61( 1)(2 )x x x − − 61(2 )x x − 6 6 6 2 1 6 6 1(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r rT C x C xx − − − + = − = − ⋅ ⋅ ⋅ 6 2 1r− = − 7 2r = 3r = 3 3 3 4 6( 1) 2 160T C= − ⋅ = − 2 3 2 1( 1)(4 4)x x x − + − 1 ( 160) 160− × − = 2 2 2 21 3 3 3 212 [ ( ) ( 3) ( ) ( 3) ]3 2 2 2 4 ππ π π π× × + + × = 2 21 1 3 32 ( ) ( ) 13 2 2 2 π π π× × + × = 17 4 π 0x > ln( ) xf x x = 2 1 ln( ) xf x x −′ = (0, )x e∈ ( ) 0f x′ ＞ ∴ ( )f x (0, )e ( , )x e∈ +∞ ( ) 0f x′ ＜ ∴ ( )f x ( , )e +∞ (0,1), ( ) 0x f x′∈ ＞ ( ) (1) 0f x f＜ ＜ (1, ), '( ) 0, ( ) (1) 0x e f x f x f∈ > > = ( , ), '( ) 0, ( ) 0x e f x f x∈ +∞ < > ( )f x 1( , )e −∞ y kx= ln xy x = 0 0( , )x y 0 0 02 2 0 0 ln 1 ln ( )x xy x xx x −− = − (0,0) 0x e= 1 2e ( )f x y kx= 1 2 0 k e k  <  > 10 2k e < < k 1(0, )2e 13．【答案】6【解析】根据题意， 为 的中点，所以 的横坐标为 ，所以 . 14．【答案】 【解析】观察规律令 ，可得 . 15．【答案】 【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为 ，几何体的体积为 ，即点 到平面 的距离为 ，俯视图为一个正三角形，边长为 2，所 以俯视图的面积为 ， 16．【答案】 【解析】根据题意，画出图形，如图所示： 又点 分别为 的中点，则 ， 所以在 中，由余弦定理得 , ， 所以 ， 又若 的面积不少于 6， 所以 当 取最大时， 有最小值，最小值为 . 17．【解析】 （1） ， 又 ， ，所以数列 为等比数列， （3 分） 设数列 的公差为 ， .（6 分） （2）由题意得： （9 分） 所以前 项和 .（12 分） 18．【解析】 （1）因为 ，（3 分） 所以在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. Q FP Q 1x = 2(1 2) 6FP = + = 1 ( 1)(2 1)6 n n n+ + 1,a b n= = 2 2 2 11 2 ( 1)(2 1)6n n n n+ + + = + + 3 h 1 1 2 2 3, 33 2 h h +× × = ∴ = E ABCD 3 3 91 14 ,E F ,AC AB 3, 2AE AF= = ABE△ 2 2 24 3 24cos 25 24cosBE A A= + − = − 2 2 22 6 24cos 40 24cosCF A A= + − = − 25 24cos 15140 24cos 40 24cos BE A CF A A −= = −− − ABC△ 1 3 1 1sin 12sin 6 3, sin , cos [ , ]2 2 2 2ABCS AB AC A A A A= ⋅ = ∴ ∴ ∈ −△ ≥ ≥ cos A BE CF 91 14 1 1 1 12 1( 1) 2 1( 2), 2 ( 2), 3 ( 2)n n n n n n n n na T n a T n a a a n a a n+ − + += + ∴ = + ∴ − = ∴ = ≥ ≥ ≥ ≥ 1 1a = 2 2 1 3, 3aa a = ∴ = { }na 13n na −∴ = { }nb d 3 3 127, 6, 3a S b d d+ = ∴ + = ∴ = 3nb n∴ = ( )1 3 1 3 1 1 1 log 1 1n n n c b a n n n n+ + = = = −+ + n 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1 1n nA n n n = − + − + + − =+ + 2 2 2 ( ) 40(30 15 12) 6.061 5.024( )( )( )( ) 18 22 15 25 n ac bdK a b c d a c b d − − ×= = ≈ >+ + + + × × × （5 分） （2）由题意，随机变量 的取值分别为 .（6 分） , ， , ，（10 分） 随机变量 的分布列为： 2 3 4 5 （11 分） 随机变量 的期望为： .（12 分） 19．【解析】 （1）连接 与 交于点 ， ，则 ， ，（2 分） 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 .（4 分） （2）证明：由 ，得四边形 为平行四边形，所以 ， ，所以 ， 所以 ，（6 分） 又 ，所以 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ADE.（8 分） 以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 所以 ，（9 分） 设平面 BMD 的一个法向量为 ， 所以 X 2,3,4,5 2 2 2 6 1( 2) 15 AP X A = = = 1 1 2 2 4 2 3 6 2( 3) 15 C C AP X A = = = 1 2 3 4 2 4 3 4 4 6 4( 4) 15 C C A AP X A += = = 1 2 4 8( 5) 1 15 15 15 15P X = = − − − = ∴ X X P 1 15 2 15 4 15 8 15 ∴ X 1 2 4 8 642 3 4 515 15 15 15 15EX = × + × + × + × = DB EC N : 1: 2DC EB = : 2:1EN CN =  2 , : 2:1EM MF EM MF= ∴ =  ∴ //MN CF MN ⊂ BDM CF ⊄ BDM //CF BDM EA EB EF+ =   AFBE 6AF BE= = 3EAF π∠ = 2 2 2 cos 3 33EF AE AF AE AF π= + − ⋅ = 2 2 2 ,AF AE EF AE EF= + ∴ ⊥ , ,DE EB DE EA EB EA E⊥ ⊥ = DE ⊥ AFBE DE EF⊥ EA ED E= EF∴ ⊥ ADE E EA x EF y ED z (0,0,0), (0,0,1), ( 3,3 3,0), (0,2 3,0)E D B M− (3, 3 3,1), (3, 3,0)BD BM= − = −  ( , , )x y z=n ( , , ) (3, 3 3,1) 0 3 3 3 0, ( , , ) (3, 3,0) 0 3 3 0 BD x y z x y z BM x y z x y  ⋅ = ⋅ − = − + = ∴  ⋅ = ⋅ − = − =     n n 令 ，则 ，（10 分） 又平面 得一个法向量为 ，（10 分） 所以 ， 又平面 与平面 所成的二面角显然为锐角， 所以平面 与平面 所成的二面角的余弦值 .（12 分） 20．【解析】 （1）根据题意 ，（1 分） 又设 ，所以 ，所以 ，（3 分） 故 ，从而椭圆 的标准方程为 .（4 分） （2）根据题意， ，所以设直线 的方程 ， 联立 ，消 得 ， ，即 . 设 ，则 . 由根与系数的关系得， .（7 分） 设直线 的方程为 ， 所以 ，得 ， .（10 分） 所以 故 ，所以 .（12 分） 21．【解析】 因为 ，所以 ， 3y = (1, 3,6)=n AED (0,1,0)=m 3 30cos , 202 10 ⋅< >= = =⋅ n mn m n m BMD AED BMD AED 30 20 1 2 2 2 1 2 ( ) 4, 22 MF MFMF MF a a +⋅ = = ∴ =≤ 0 0( , )M x y 0 0 0 0 2 22 220 0 2 2 2 2 2 0 0 (1 )xbyy y ba x a x a x a x a a − ⋅ = = = −+ − − − 2 2 3 4 b a − = − 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = (4,0)S l 4x ky= + 2 2 4 14 3 x ky x y = + + = x 2 2(3 4) 24 36 0k y ky+ + + = 2 2 2(24 ) 4 36(3 4) 144( 4) 0k k k∆ = − × + = − > 2 4k > 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 0 0'( , )P x y 1 2 1 22 2 24 36,3 4 3 4 ky y y yk k + = − =+ + 2QF 2 2 1 1xx yy −= + 2 2 2 2 2 2 1 1 14 3 4 xx yy x y x ky − = +   + =   = +   2 22 2 2 2 2 ( 3) 6( 3)[3 4] 9 0ky kyy yy y + ++ + − = 2 2 0 02 2 2 22 22 22 22 9 9 9, 27(3 4) 18 27( 3) (3 4) 183 4 yy y y k y kyky k y k yy − − −= ∴ = =+ + ++ + + ++ 1 2 2 2 1 1 9 9 27 36 2 1(3 4) 18 18 27( )3 y k y k k ky y y − −= = = − + + + + + − − 2 0 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1( ) 1 ( )( ) 1 [ 3( )]( ) 1 43 kyx y k y k k y ky xy y y += − + = + − + = + − − − + = + = 1 1'( , )P x y− 2 2'P F PF= '( ) m xf x e −= − 1'(1) 1, 1mf e m−= − = − ∴ = 又 ，故 .（2 分） （1）由题意得 ，若函数 存在单调减区间， 则 即 存在取值区间， 即 存在取值区间，所以 .（5 分） （2）因为 ，所以 ①当 时， ， 在 上单调递减，由 ， 所以 ，即 ，得 ；（7 分） ②当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ，即 ，得 ，（8 分） ③当 时，在 ， ， 在 上单调递减， 在 ， ， 在 上单调递增， 所以 ，即 .（10 分） 令 , ，则 ，所以 在 上单调递减， 故 ，而 ，所以不等式（ ）无解， 综上所述， .（12 分） 22．【解析】 （1）直线 的普通方程为 ，直线 的极坐标方程 ，（3 分） 曲线 的普通方程 ， 所以 .（5 分） （2）由（1）得 ， 所以 ，（8 分） 点 到直线 的距离 为 ，所以 .（10 分） 23．【解析】 （1）根据题意， ，（3 分） 解 ，或 ，得 或 ， 所以解集为 .（5 分） （2）因为 ， 1 1(1) 1, 0f e n n−= + = ∴ = 1( ) xf x e −= 1( ) ( sin cos )xf x e a x x−′ = − − + + ( )f x 1( ) ( sin cos ) 0xf x e a x x−′ = − − + + ≤ sin cos 0a x x− + + ≥ 2 sin( )4a x π+≤ 2a < 2 (1 ) 1( ) x x t xG x e + − += ( )( 1)'( ) x x t xG x e − − −= 1t≥ ( ) 0h x′ ≤ ( )G x [0,1] 2N M< 2 (1) (0)G G< 32 1t e −⋅ < 3 2 et > − 0t≤ '( ) 0G x ≥ ( )G x [0,1] 2 (0) (1)G G< 32 t e −< 3 2t e< − 0 1t< < [0, )x t∈ '( ) 0G x < ( )G x [0, ]t ( ,1]x t∈ '( ) 0G x > ( )G x [ ,1]t 2 ( ) max{ (0), (1)}G t G G< 1 32 max{1, }( )t t t e e + −⋅ < ∗ 1( ) t tp t e += (0,1)t ∈ ( ) 0t tp t e −′ = < 1( ) t tp t e += (0,1)t ∈ 1 42 1t t e e +× > > 3 3 4t e e e − < < ∗ ( ,3 2 ) (3 , )2 et e∈ −∞ − − +∞ 'l 0x y− = 'l 4 πρ = C 2 2( 2) ( 2 2) 4x y− + − = 2 2 2 cos 4 2 sin 6 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 6 6 0ρ ρ− + = 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 2 3AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − = P 'l d 3 2 sin 34 π = 1 2 3 3 3 32PABS = × × = 2 2, 2 ( ) | 1| | 2 | 3 6, 1 2 4 2 , 1 x x f x x x x x x + = + + − + = − < <  − − ≥ ≤ 2 10 2 2 8 x x   > + > ≥ 1 10 4 2 8 x x −  > − > ≤ 3 4x< < 3 2x− < < − ( 3, 2) (3,4)− −  ( )f x x a x b c= + + − + ( ) ( )x a x b c a b c+ − − + = + +≥ 当且仅当 时，等号成立，（8 分） 又 ，所以 ， 所以 的最小值为 ，所以 .所以 .（10 分） a x b− ≤ ≤ 0, 0a b> > a b a b+ = + ( )f x a b c+ + 2a b c+ + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9( )( ) (3 ) (3 2 2 2)2 2 2 2 b a a c c ba b ca b c a b c a b c a b c + + = + + + + = + + + + + + + + + =≥