2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题八数学化与创新应用第2讲新定义型创新型应用型试卷突破练习
第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
「考情研析」 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．
核心知识回顾
1.新定义型问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
2．创新型问题
创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．
3．实际应用型问题
将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．
热点考向探究
考向1 新定义型问题
例1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
答案 D
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解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x>0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝ex2＝0不成立，所以集合M3不是“互垂点集”．排除A，B，C.故选D.
(2)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 首先注意到(0，a)没有对称点，当x>0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知a＝2 时有两个解．
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
1．若数列{an}满足－＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
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解析 依题意可得bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列．
又b1b2b3…b99＝299＝b，则b50＝2.b8＋b92≥2＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．
2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①
(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是( )
A．② B．①② C．②③ D．①②③
答案 D
解析 根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.
(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.
考向2 创新型问题
例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
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(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P＝，故选C.
高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
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1．把数列的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第t行的第s个数(从左数起)记为A(t，s)，则数列中的项应记为________．
1
…
… … …
答案 A(8,17)
解析 令2n－1＝287⇒n＝144⇒是数列的第144项，由S7＝＝127⇒A(8,17)．
2．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
3，故选B.
3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足＝＝＝1，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足( )
A．有一个内角为30° B．有一个内角为45°
C．有一个内角为60° D．有一个内角为75°
答案 B
解析 由对称性，不妨设A1和B1为锐角，则A1＝－A，B1＝－B，所以A1＋B1＝π－(A
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＋B)＝C，于是cosC＝sinC1＝sin(A1＋B1)＝sinC，即tanC＝1，解得C＝45°，故选B.
4．(2019·北京高考)
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
答案 C
解析 由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0，±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y>0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正确．如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.
5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．
(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M数列”；
(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数．若存在“M数列”{cn}(n∈N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有
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ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．
解 (1)证明：设等比数列{an}的公比为q，
所以a1≠0，q≠0.
由得
解得
因此数列{an}为“M数列”．
(2)①因为＝－，所以bn≠0.
由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.
由＝－，得Sn＝.
当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，
得bn＝－，
整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N*)．
②由①知，bk＝k，k∈N*.
因为数列{cn}为“M数列”，设公比为q，所以c1＝1，q>0.
因为ck≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，其中k＝1,2,3，…，m(m∈N*)．
当k＝1时，有q≥1；
当k＝2,3，…，m时，有≤ln q≤.
设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：
因为＝<＝，
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所以f(k)max＝f(3)＝.
取q＝，当k＝1,2,3,4,5时，≤ln q，即k≤qk，经检验知qk－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6，分别取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5.
『金版押题』
6．已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn，记△AnBnCn的面积为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.
答案
解析 设An(x0，y0)，可得x－y＝.
双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)的渐近线方程为x－y＝0，x＋y＝0.
由点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn，不妨设Bn在第一象限内，可得|AnBn|＝，
|AnCn|＝，易知双曲线En的两条渐近线互相垂直，可得AnBn⊥AnCn，
则△AnBnCn的面积an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝＝n，则a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝××2019×2020＝.
配套作业
一、选择题
1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 C
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解析 根据题意，当x＝16时y＝1，所以A，B不正确；当x＝17时y＝2，所以D不正确，故选C.
2．(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )
A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
答案 C
解析 参加工作时就医费为7000×15%＝1050，
设目前晓文同学的月工资为x，
则目前的就医费为10%·x，
因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故选C.
3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：
甲说胡老师不是上海人，是福州人；
乙说胡老师不是福州人，是南昌人；
丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．
听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )
A．一定是南昌人 B．一定是广州人
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C．一定是福州人 D．可能是上海人
答案 D
解析 若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．
4．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
答案 C
解析 不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.故选C.
5．某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )
A．逆时针方向匀速前跑 B．顺时针方向匀速前跑
C．顺时针方向匀速后退 D．静止不动
答案 C
解析 令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的．
6．对函数f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
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解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1＝ex1－a，y2＝e x2－a，因为关于原点对称，所以e x1－a＝－e x2＋a，即2a＝e x1＋ex2≥2＝2＝2，因为x1≠x2，所以a>1，故选B.
7．若存在正实数a，b，使得∀x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sin(x2)，其中是“限增函数”的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③
答案 B
解析 对于①，f(x＋a)≤f(x)＋b即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f(x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，
∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，∴f(x)＝是“限增函数”．对于③，f(x)＝sin(x2)，－1≤f(x)＝sin(x2)≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，b都成立．故选B.
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 设从2017年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>，两边取常用对数得nlg 1.12>lg ，∴n>≈＝3.8，∴n≥4，故选D.
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9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
答案 D
解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.
二、填空题
10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．
答案 3800
解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，
得y＝
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.
11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A，B是R上的两个子集，对任意x∈R，
定义：m＝n＝
①若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________；
②若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为________．
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答案 0 A＝∁RB
解析 ①∵A⊆B.则当x∉A时，m＝0，m(1－n)＝0.
当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.
综上可得m(1－n)＝0.
②对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
即当x∈A时，必有x∉B或x∈B时，必有x∉A，
∴A，B的关系为A＝∁RB.
12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________．
答案 3
解析 ∵A完成后，C才可以开工；B，C完成后，D才可以开工，
完成A，C，D需用时间依次为2，x,4天，
且A，B可以同时开工，
又∵该工程共需9天，
∴2＋xmax＋4＝9⇒xmax＝3.
13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f(x)＝则
f[f(－1)]＝________，若实数a0，V(x)单调递增，
故V(0)
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