高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-3圆的切线的性质及判定定理 含解析

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高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-3圆的切线的性质及判定定理 含解析

一、选择题 ‎1.已知圆的半径为‎6.5 cm,圆心到直线l的距离为‎4.5 cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ‎(  ).‎ A.0    B.‎1 ‎   C.2    D.不能确定 解析 圆心到l的距离是‎4.5 cm小于圆的半径‎6.5 cm,故圆与l相交.‎ 答案 C ‎2.下列说法中正确的个数是 ‎(  ).‎ ‎①垂直于半径的直线是圆的切线;‎ ‎②过圆心且垂直于切线的直线必过切点;‎ ‎③过切点且垂直于切线的直线必过圆心;‎ ‎④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;‎ ‎⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线,则切点是AB的中点.‎ A.2 B.‎3 ‎‎ C.4 D.5‎ 解析 ①不正确,因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线;②正确;③正确;④不正确,必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线;⑤正确.‎ 答案 B ‎3.如图所示,已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=5,则⊙O的半径为 ‎(  ).‎ A. B. C.10 D.5‎ 解析 连接OC,则有∠COP=60°,‎ OC⊥PC,可求OC=.‎ 答案 A ‎4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E,与AC相切于C,又⊙O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为 ‎(  ).‎ A.1 B. C. D. 解析 ⊙O与AC相切于C,则∠ACB=90°,又AC=4,BC=3,∴AB=5,连接OE,且设⊙O的半径为R,则由△OEB∽△ACB,‎ ‎∴OB==R,‎ ‎∴BC=OC+OB=R+R=R=3,‎ ‎∴R=,∴BD=BC-2R=3-=.‎ 答案 C 二、填空题 ‎5.若直线l与半径为r的⊙O相交,且圆心O到直线l的距离为5,则r的取值范围是__________.‎ 解析 由直线与圆相交的等价条件易得.‎ 答案 (5,+∞)‎ ‎6.如图所示,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B,DC的延长线交AB于A,∠A=20°,则∠DBE=________.‎ 解析 连接OB,则OB⊥AB,‎ ‎∴∠AOB=90°-∠A=70°,‎ ‎∴∠BOD=180°-∠AOB=110°,‎ 又OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=(180°-∠BOD)=35°,‎ ‎∴∠DBE=90°-∠OBD=55°.‎ 答案 55°‎ ‎7.如图所示,直线AB与⊙O相切于点P,CD是⊙O的直径,C、D与AB的距离分别为‎4 cm、‎2 cm,则⊙O的半径为________.‎ 解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识可知⊙O的半径为‎3 cm.‎ 答案 ‎‎3 cm ‎8.如图所示,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为‎4 cm,则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.‎ 解析 利用圆内半径与弦的关系,并结合圆内接四边形的知识连接OB交EF于H,连接OE,则OH=‎2 cm,则HE==‎2cm,∴EF=‎4 cm.‎ 答案 4 三、解答题 ‎9.如图所示,AB为⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于E点,过E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.‎ 解 △AED为直角三角形,理由如下:‎ 连接OE,∵ED为⊙O切线,‎ ‎∴OE⊥ED.‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠1=∠OEA.‎ 又∵∠1=∠2,‎ ‎∴∠2=∠OEA,‎ ‎∴OE∥AC,∴AC⊥DE,‎ ‎∴△AED为直角三角形.‎ ‎10.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上的点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系?‎ 解 过E作EF⊥CD于F,‎ ‎∵DE平分∠ADC,‎ CE平分∠BCD,‎ ‎∠A=∠B=90°,‎ ‎∴AE=EF=BE=AB.‎ ‎∴以AB为直径的圆的圆心为E,‎ ‎∴EF是圆心E到CD的距离,且EF=AB,‎ ‎∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系.‎ ‎11.(拓展深化)如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB=,∠D=30°.‎ ‎(1)求证:AD是⊙O的切线.‎ ‎(2)若AC=6,求AD的长.‎ ‎(1)证明 如图,连接OA,‎ ‎∵sinB=,∴∠B=30°,∵∠AOC ‎=2∠B,∴∠AOC=60°,‎ ‎∵∠D=30°,‎ ‎∴∠OAD=180°-∠D-∠AOD=90°,‎ ‎∴AD是⊙O的切线.‎ ‎(2)解 ∵OA=OC,∠AOC=60°,‎ ‎∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=6,‎ ‎∵∠OAD=90°,∠D=30°,‎ ‎∴AD=AO=6.‎
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