2019年高考数学高分突破复习课件专题五 第3讲

2019年高考数学高分突破复习课件专题五 第3讲

第 3 讲　圆锥曲线中的热点问题 高考定位　 1. 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一； 2. 以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题 . 对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查 . 真 题 感 悟 答案 　 5 2 . (2018· 北京卷 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 经过点 P (1 ， 2) . 过点 Q (0 ， 1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N . (1) 解 　因为抛物线 y 2 ＝ 2 px 过点 (1 ， 2) ， 所以 2 p ＝ 4 ，即 p ＝ 2. 故抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠0) . 依题意 Δ ＝ (2 k － 4) 2 － 4× k 2 ×1>0 ， 解得 k <1 ，又因为 k ≠0 ，故 k <0 或 0< k <1. 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 (1 ，－ 2) . 从而 k ≠ － 3. 所以直线 l 斜率的取值范围是 ( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 3 ， 0) ∪ (0 ， 1) . (2) 证明　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) . (1) 求 C 的方程； (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为－ 1 ，证明： l 过定点 . (1) 解 　由于点 P 3 ， P 4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P 3 ， P 4 . 所以点 P 2 在椭圆 C 上 . (2) 证明 　设直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率分别为 k 1 ， k 2 . 如果直线 l 的斜率不存在， l 垂直于 x 轴 . 设 l ： x ＝ m ， A ( m ， y A ) ， B ( m ，－ y A ) ， 此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 . 从而可设 l ： y ＝ kx ＋ m ( m ≠1) . 由题设可知 Δ ＝ 16(4 k 2 － m 2 ＋ 1)>0. 由题设 k 1 ＋ k 2 ＝－ 1 ，故 (2 k ＋ 1) x 1 x 2 ＋ ( m － 1)( x 1 ＋ x 2 ) ＝ 0. 解之得 m ＝－ 2 k － 1 ，此时 Δ ＝ 32( m ＋ 1)>0 ，方程有解， ∴ 当且仅当 m > － 1 时， Δ >0 ， ∴ 直线 l 的方程为 y ＝ kx － 2 k － 1 ， 即 y ＋ 1 ＝ k ( x － 2) . 所以 l 过定点 (2 ，－ 1) . 1 . 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解 . 温馨 提醒 　 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响 . 考 点 整 合 2 . 定点、定值问题 (1) 定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题 . 若得到了直线方程的点斜式： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的斜截式： y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0 ， m ) . (2) 定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题 . 3 . 存在性问题的解题步骤： (1) 先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) . (2) 解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，若有解则存在，若无解则不存在 . (3) 得出结论 . (2) 当直线 l 的斜率为 0 时， λ ＝ | MA |·| MB | ＝ 12. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l ： x ＝ my ＋ 4 ，点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由 Δ ＝ 64 m 2 － 48( m 2 ＋ 4)>0 ，得 m 2 >12 ， 探究提高　 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法： (1) 几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解 . (2) 代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围 . 【训练 1 】 (2018· 浙江卷 ) 如图，已知点 P 是 y 轴左侧 ( 不含 y 轴 ) 一点，抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 上存在不同的两点 A ， B 满足 PA ， PB 的中点均在 C 上 . 所以 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 y 0 ，因此， PM 垂直于 y 轴 . 又 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ， c 2 ＝ 3 ，所以 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 1 ， 探究提高　 1. 求定值问题常见的方法有两种： (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 . 2 . 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的 . (1) 求椭圆 C 的方程及离心率； (2) 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 . 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. (1) 解 　设点 P 坐标为 ( x ， y ) ， ∴ 点 Q 坐标为 (0 ， y ) . (2) 证明 　当两直线的斜率都存在且不为 0 时， 探究提高　 1. 动直线 l 过定点问题 . 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m ， 0) 2 . 动曲线 C 过定点问题 . 引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 【训练 3 】 已知曲线 C ： y 2 ＝ 4 x ，曲线 M ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≥ 1) ，直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点， O 为坐标原点 . 解　 设 l ： x ＝ my ＋ n ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) . ∴ y 1 ＋ y 2 ＝ 4 m ， y 1 y 2 ＝－ 4 n . ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 m 2 ＋ 2 n ， x 1 x 2 ＝ n 2 . ∴ 直线 l 方程为 x ＝ my ＋ 2 ， ∴ 直线 l 恒过定点 (2 ， 0) . (2) ∵ 直线 l 与曲线 M ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≥ 1) 相切， 整理得 4 m 2 ＝ n 2 － 2 n － 3( n ≥ 3) . ① 又点 P 坐标为 (1 ， 0) ， ＝ ( x 1 － 1)( x 2 － 1) ＋ y 1 y 2 ＝ x 1 x 2 － ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 ＋ y 1 y 2 ＝ n 2 － 4 m 2 － 2 n ＋ 1 － 4 n ＝ n 2 － 4 m 2 － 6 n ＋ 1 ＝ 4 － 4 n . 又 y ＝ 4 － 4 n ( n ≥ 3) 是减函数， ∴ 当 n ＝ 3 时， y ＝ 4 － 4 n 取得最大值－ 8. 解　 (1) 在 △ ABC 中 ， 由 余弦定理 AB 2 ＝ CA 2 ＋ CB 2 － 2 CA · CB ·cos C ＝ ( CA ＋ CB ) 2 － 3 CA · CB ＝ 4. 消去 y 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2 k 2 － 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 8 k 2 ＋ 8>0 ， 探究提高　 1. 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种 . 若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论 . 2 . 求解步骤：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . (2) 易知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 4) ， 因为 △ AMF 与 △ MFN 的面积相等， 所以 | AM | ＝ | MN | ，所以 2 x 1 ＝ x 2 ＋ 4. ③ 将 ④ 代入到 ⑤ 式，整理化简得 36 k 2 ＝ 5. 1 . 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： ( 1) 从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关： (2) 直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标 . 2 . 圆锥曲线的范围问题的常见求法 ( 1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； ( 2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值 . 3 . 存在性问题求解的思路及策略 (1) 思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在 . (2) 策略： ① 当条件和结论不唯一时要分类讨论； ② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 .