2019届二轮（理科数学）知识拓展无法求值的极值点用“设而不求”课件（25张）（全国通用）

2019届二轮（理科数学）知识拓展无法求值的极值点用“设而不求”课件（25张）（全国通用）

知识拓展:无法求值的极值点用 “ 设而不求 ” 内容简介 导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断 , 而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系 , 可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计是导数综合应用中最核心的问题 . 导函数的零点 , 根据其数值计算上的差异 , 可以分为两类 : 一是数值上能精确求解的 , 不妨称为“显零点” ; 另一类是能够判断其存在但无法直接表示的 , 不妨称为“隐零点” . 对于隐零点问题 , 由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用 , 对学生综合能力的要求比较高 , 往往成为考查的难点 . 知识梳理 例题精讲 知识梳理 “ 隐零点”问题的解决大致分为以下三个步骤 : (1) 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性 , 列出零点方程 f′(x0)=0, 并结合 f′(x) 的单调性得到零点的范围 ; (2) 以零点为分界点 , 说明导函数 f′(x) 的正负 , 得到函数 f(x) 的单调性 , 进而获得 f(x) 的最值表达式 ; (3) 将零点方程适当变形 , 整体代入最值式子进行化简证明 ; 如果必要 , 第 (1) 步中的零点范围还可适当缩小 . 例题精讲 考点一 “ 隐零点 ” 背景下 “ 设而不求 ” 策略在最值问题中的应用 【 例 1】 (2016 · 全国 Ⅱ 卷 ) (1) 讨论函数 f(x)= e x 的单调性 , 并证明当 x>0 时 ,(x-2)e x +x+2>0; (2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)= (x>0)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域. 变式 : 已知 f(x)=ax+xln x(a∈ R ),y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率为 2. 若 2f(x)-(k+1)x+k>0(k∈ Z ) 对任意 x>1 都成立 , 求整数 k 的最大值 . 考点二 “ 隐零点 ” 背景下 “ 设而不求 ” 策略在不等式证明中的应用 【 例 2】 (2017 · 全国 Ⅱ 卷 ) 已知函数 f(x)=ax 2 -ax-xln x, 且 f(x)≥0. (1) 求 a; 若 a=1, 则 g′(x)=1- . 当 01 时 ,g′(x)>0,g(x) 单调递增 . 所以 x=1 是 g(x) 的极小值点 , 故 g(x)≥g(1)=0. 综上 ,a=1. (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x 0 ,且e -2 0, 存在唯一的 s, 使 t=f(s); 证明 : (1) 当 x∈(0,1] 时 f(x)≤0; 当 x∈(1,+∞) 时 f(x)>0, 故下面只考虑 f(x) 在 (1,+∞) 上的性质 . 由于对任意给定的 t>0, 令 F(x)=f(x)-t,x>1, 则 F′(x)=x(2ln x+1)>0, 从而 F(x) 在 (1,+∞) 单调递增 , 又 F(1)=-t<0,F(e t )=e 2t · t-t>0, 故 F(x) 在 (1,+∞) 存在唯一零点 s, 满足 t=f(s). 考点三 导数中的 “ 二次函数零点 ” 的 “ 设而不求 ” 策略 【 例 3】 已知函数 f(x)=x 2 +aln(x+2),a∈ R , 存在两个极值点 x 1 ,x 2 , 求 f(x 1 )+ f(x 2 ) 的取值范围 . 规律方法 在上述问题求解中我们在简化 f(x 1 )+f(x 2 ) 时并没有直接求解 x 1 ,x 2 , 而是采用了类似于解析几何中的算法 , 借助根与系数的关系将 x 1 ,x 2 整体性地代入其中 , 不仅大大削减了运算量 , 而且求解问题的思路更清晰明朗 . 这是基于极值点是二次函数的零点 , 从而可借助根与系数的关系 . 在解题时 , 应从导函数的类型出发 , 判断是用根与系数的关系的设而不求还是用超越方程中整体代换的设而不求 . 点击进入 课时训练