2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：专题十五　坐标系与参数方程（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：专题十五　坐标系与参数方程（讲解部分）

专题十五　坐标系与参数方程 高考理数 考点一    极坐标方程 考点清单 考向基础 1.极坐标系 在平面上取一个定点 O ,由 O 点出发的一条射线 Ox ,一个长度单位、一个角 度单位(通常取弧度)及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一 个极坐标系. O 点称为极点, Ox 称为极轴.平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画(如图所示).这两个数组成的有序 数对( ρ , θ )称为点 M 的极坐标. ρ 称为 极径 , θ 称为 极角 . 2.极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面上的一点,它的直角坐标为( x , y ),极坐标为( ρ , θ ).由图可知下面的 关系式成立:   或   顺便指出,上式对 ρ <0也成立. 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆   ρ = r (0 ≤ θ <2π) 圆心为( r ,0),半径为 r 的圆   ρ =2 r cos θ   圆心为   ,半径为 r 的圆   ρ =2 r sin θ (0 ≤ θ <π) 过极点,倾斜角为 α 的直线   (1) θ = α ( ρ ∈R) (2) θ =π+ α ( ρ ∈R) 过点( a ,0),与极轴垂直的直线   ρ cos θ = a   过点   ,与极轴平行的直线   ρ sin θ = a (0< θ <π) 考向突破 考向    坐标系与极坐标 例     (2019河南顶级名校第一次联考,22)在平面直角坐标系中,曲线 C 1 : x 2 - y 2 =2,曲线 C 2 的参数方程为   ( θ 为参数),以坐标原点 O 为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程; (2)在极坐标系中,射线 θ =   与曲线 C 1 , C 2 分别交于 A , B 两点(异于极点 O ),定点 M (3,0),求△ MAB 的面积. 解析 　(1)根据题意得曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2 θ - ρ 2 sin 2 θ =2. 由曲线 C 2 的参数方程得曲线 C 2 的普通方程为( x -2) 2 + y 2 =4,即 x 2 + y 2 -4 x =0, ∴曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ =4cos θ . (2)由(1)得点 A 的极坐标为   , 点 B 的极坐标为   . ∴| AB |=|2-2   |=2   -2, 定点 M (3,0)到射线 θ =   ( ρ ≥ 0)的距离 d =3sin   =   , ∴△ MAB 的面积为   | AB |· d =   × (2   -2) ×   =   . 考点二    参数方程 考向基础 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变 数 t 的函数   并且对于 t 的每一个允许值,由上述方程组所确定的点 ( x , y ) 都在这条曲线上,则该方程叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x , y 的变 数 t 叫做参变数,简称 参数 . 注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方 程. 曲线 普通方程 参数方程 过点 M ( x 0 , y 0 ),倾斜角为 α 的直线 y - y 0 =tan α ( x - x 0 )   和 x = x 0   ( t 为参数) 圆心在点 M ( x 0 , y 0 ),半径为 r 的圆 ( x - x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = r 2   ( θ 为参数) 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭 圆   +   =1( a > b >0)   ( θ 为参数) 中心在原点,焦点在 y 轴上的椭 圆   +   =1( a > b >0)   ( θ 为参数) 中心在原点,焦点在 x 轴上的双 曲线   -   =1( a >0, b >0)   ( θ 为参数) 2.常见曲线的参数方程与普通方程 顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴 上的抛物线 y 2 =2 px ( p >0)   ( t 为参数) 考向突破 考向    参数方程 例     (2019甘肃酒泉中学模拟,21)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的倾斜角 为 α (0 ≤ α <π),且过点 M (0,1).以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴且取相同的 单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin 2 θ =4cos θ . (1)求直线 l 的参数方程(设 t 为参数)与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 经过点(1,0),且与曲线 C 相交于 A , B 两点,求   +   的值. 解析 　(1)直线 l 的参数方程为   ( t 为参数). 由 ρ sin 2 θ =4cos θ 得 ρ 2 sin 2 θ =4 ρ cos θ ,得曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 =4 x . (2)若直线 l 经过点(1,0),则直线 l 的斜率 k =   =-1,倾斜角为   , ∴直线 l 的参数方程为   将其代入 y 2 =4 x , 得 t 2 +6   t +2=0, 设 A , B 对应的参数为 t 1 , t 2 , 则 t 1 + t 2 =-6   , t 1 t 2 =2,易知 t 1 , t 2 同号, 故| t 1 |+| t 2 |=6   , ∴   +   =   +   =   =   =3   . 方法1      极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,并在 两种坐标系中取相同的长度单位,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化. 极坐标方程化为直角坐标方程时,通常通过构造 ρ cos θ , ρ sin θ , ρ 2 的形式进 行,方程两边同乘 ρ 或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的等价性. 方法技巧 例1     (2019课标Ⅱ,22,10分)在极坐标系中, O 为极点,点 M ( ρ 0 , θ 0 )( ρ 0 >0)在曲 线 C : ρ =4sin θ 上,直线 l 过点 A (4,0)且与 OM 垂直,垂足为 P . (1)当 θ 0 =   时,求 ρ 0 及 l 的极坐标方程; (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程. 解析 　本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了 数学运算能力和数形结合的思想方法,体现了直观想象和数学运算的核心 素养. (1)因为 M ( ρ 0 , θ 0 )在 C 上,当 θ 0 =   时, ρ 0 =4sin   =2   . 由已知得| OP |=| OA |cos   =2. 设 Q ( ρ , θ )为 l 上除 P 的任意一点. 在Rt△ OPQ 中, ρ cos   =| OP |=2. 经检验,点 P   在曲线 ρ cos   =2上. 所以, l 的极坐标方程为 ρ cos   =2. (2)设 P ( ρ , θ ),在Rt△ OAP 中,| OP |=| OA |cos θ =4cos θ ,即 ρ =4cos θ . 因为 P 在线段 OM 上,且 AP ⊥ OM , 故 θ 的取值范围是   . 所以, P 点轨迹的极坐标方程为 ρ =4cos θ , θ ∈   . 方法2      参数方程与普通方程的互化方法 1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消 参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对 于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin 2 θ + cos 2 θ =1. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的 坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况. 3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点( x , y )的横、纵坐标 分别用参数表示,同时注意参数的意义和取值范围. 例2     (2018课标Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系 xOy 中,☉ O 的参数方程为   ( θ 为参数),过点(0,-   )且倾斜角为 α 的直线 l 与☉ O 交于 A , B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 解析 　本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)☉ O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 =1.当 α =   时, l 与☉ O 交于两点.当 α ≠   时,记 tan α = k ,则 l 的方程为 y = kx -   . l 与☉ O 交于两点当且仅当   <1,解得 k < -1或 k >1,即 α ∈   或 α ∈   .综上, α 的取值范围是   . (2) l 的参数方程为     . 设 A , B , P 对应的参数分别为 t A , t B , t P ,则 t P =   ,且 t A , t B 满足 t 2 -2   t sin α +1=0.于 是 t A + t B =2   sin α , t P =   sin α .又点 P 的坐标( x , y )满足   所以点 P 的轨迹的参数方程是     .   易错警示     容易忽略直线斜率不存在的情形.