吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（5月）数学（理）试题
2019－2020学年高二下学期第三次考试数学试卷（理科）
第I卷(选择题60分)
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件
2. 设ΔABC的周长为l，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则S=12r⋅l，类比这个结论可知：四面体A-BCD的表面积分别为T，内切球半径为R，体积为V，则V等于( )
A. R⋅T B. 12R⋅T C. 13R⋅T D. 14R⋅T
3. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段论
4. 已知复数z满足z(1+2i)=|3+4i|(i是虚数单位)，则z的共轭复数z-=( )
A. 1+2i B. 1-2i C. -1+2i D. -1-2i
5. 已知复数z=a+3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于 ( )
A. -1+3i B. 1+3i
C. -1+3i或1+3i D. -2+3i
6. 已知复数z满足|z-2i|=1，则|z|的最小值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 将曲线y=2sin(x+π3)按照φ：x'=2xy'=3y变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为( )
A. π,23 B. 4π,32 C. 2π，3 D. 4π，6
1. 点M的直角坐标是(3,-1)，则它的极坐标是( )
A. (2,11π6) B. (2,5π6) C. (3,π6) D. (2,11π6)
2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+cosαy=sinα(α为参数).若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为( )
A. ρ=sinθ B. ρ=2sinθ C. ρ=cosθ D. ρ=2cosθ
3. 方程x=3m+3-my=3m-3-m(m为参数)表示的曲线是( )
A. 双曲线 B. 双曲线的左支 C. 双曲线的右支 D. 圆
4. 由曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. 103 B. 4 C. 163 D. 6
5. 已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A. (2,3) B. (3,+∞) C. (2,+∞) D. (-∞,3)
第II卷(非选择题 共60分)
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
6. i是虚数单位，若复数z=5i2-i，则|z|=__________．
7. 已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R)，则当m=________时，z为实数；当m=_______时，z为纯虚数．
8. 证明不等式2+7<3+6成立的最适合的方法是_________．
9. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用：______
①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分,共40分）
1. 已知复数z1=a-2i，z2=3+4i(a∈R,i为虚数单位)．
(1)若z1⋅z2是纯虚数，求实数a的值；
(2)若复数z1⋅z2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
2. 已知函数f(x)=x4+ax-lnx-32，其中a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x，求a的值；
(Ⅱ)若f(x)在(0,6)上单调递减，(6,+∞)上单调递增，求a的值．
3.
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=cosθy=1+sinθ(θ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；
(Ⅱ)设曲线C1的极坐标方程是ρ(3cosθ-sinθ)=4，曲线C2的极坐标方程是θ=π6，C2与C的一个交点为M(点M异于点O)，与C1的交点为N，求|MN|．
1. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ，(θ为参数)，直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα，(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
参考答案
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
y'=-x2+81，令y'=0，解得x=9.利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】
解：y'=-x2+81，令y'=0，又x>0，解得x=9．
当0
0，函数f(x)单调递增；
当x>9时，y'<0，函数f(x)单调递减．
∴当x=9时，y有最大值．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此题的关键是平面类比空间，属于基础题．
由三角形类比四面体，则面积类比体积，由内切圆类比内切球，由平面类比空间．
【解答】
解：△ABC的周长为l，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则S=12r⋅l，
类比这个结论可知：
四面体S-ABC的四个面的面积为T，体积为V，内切球半径为R，
则V=13RT．
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查演绎推理的意义，是一个基础题.演绎推理从一般到特殊的推理．
【解答】解：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由z(1+2i)=|3+4i|=5，得z=51+2i=5(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1-2i，
∴z-=1+2i．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义及模的计算，属于基础题．
根据复数对应点的位置确定a<0，再根据模的计算公式即可得到a的值．
【解答】
解：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|=2知，a2+(3)2=2，解得a=±1，
故a=-1，所以z=-1+3i．
故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：|z-2i|=1的几何意义为复平面内动点Z到定点(0,2)的距离为定值1，
如图：
由图可知，|z|的最小值为2-1=1．
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：曲线y=2sin(x+π3)按照φ：x'=2xy'=3y变换后的曲线是：13y'=2sin(12x'+π3)；
即：y'=6sin(12x'+π3)；
最小正周期：T=2π12=4π，当x'=π3+4kπ,k∈Z时取最大值，
最大值为：6，
故选：D．
利用伸缩变换公式变换后得到新三角函数，利用三角函数的图象和性质可得答案．
本题考查平面直角坐标中的伸缩变换，三角函数的图象和性质相关知识，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
【解答】
解：ρ=(3)2+(-1)2=2，tanθ=-13=-33，取θ=11π6．
∴极坐标为(2,11π6)．
故选A．
9.【答案】D
【解析】解：∵曲线C的参数方程为x=1+cosαy=sinα(α为参数)．
∴曲线的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1，即x2+y2-2x=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
故选：D．
曲线C的参数方程消去参数，求出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了参数方程化为普通方程的应用问题及双曲线的标准方程，是基础题．
消去参数m，把参数方程化为普通方程．从而求得该方程表示的曲线是什么．
【解答】
解：消去参数m，方程x=3m+3-my=3m-3-m(m为参数)可化为x2-y2=4，
即x24-y24=1，其中x≥2；
该方程表示焦点在x轴上的等轴双曲线的右支．
故选：C．
11.【答案】C
【解析】【分析】
利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=x，直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
【解答】
解：联立方程y=xy=x-2得到两曲线的交点(4,2)，
因此曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为：
S=04(x-x+2)dx=(23x32-12x2+2x)|04=163．
故选C．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
先求出函数的导数，再根据极值求出参数a的值，然后在函数的定义域内解不等式f'(x)>0的区间即可．
【解答】
解：因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，
，f'(x)=6x2+2ax+36，所以有f'(2)=0，即f'(2)=24+4a+36=0，
所以a=-15.经检验，满足题意．
令f'(x)>0，解得x>3或x<2，
故选B．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数及模的计算，属于基础题．
利用复数的四则运算以及共轭复数和模的计算即可求解．
【解答】
解：由题意得，z=5i2-i=5i(2+i)(2-i)(2+i)=5(2i-1)5=-1+2i，
则z=-1-2i
∴|z|=(-1)2+(-2)2=5，
故答案为5．
14.【答案】3或-1；6．
【解析】【分析】
本题考查复数的概念和复数相等的充要条件，属于基础题．
复数z=a+bi(a,b∈R)为实数的充要条件是b=0，为纯虚数的充要条件为a=0且b≠0，解相应的方程(组)即可．
【解答】
解：(1)要使z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R)为实数，
则虚部为0，即m2-2m-3=0，
解得m=3或m=-1；
(2)要使z为纯虚数，
则m2-5m-6=0m2-2m-3≠0，
解得m=6，
故答案为3或-1；6．
15.【答案】分析法
【解析】【分析】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──
通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．
从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法．
【解答】解：要证明不等式2+7<3+6，
只要证(2+7)2<(3+6)2，
即证9+214<9+218，
故只要证14<18，
即证14<18．
这是成立的，
∴原不等式成立．
以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．
故答案为：分析法．
16.【答案】①②③
【解析】解：应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的通常有①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等
故答案为：①②③．
利用反证法的证题思想，即可得到结论．
本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由z1⋅z2=(a-2i)⋅(3+4i)=(3a+8)+(4a-6)i是纯虚数，
得3a+8=04a-6≠0，解得a=-83；
(2)根据题意z1⋅z2在复平面上对应的点在第四象限，
可得3a+8>04a-6<0⇒-83
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