2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

‎2010~2014年高考真题备选题库 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1. （2014福建，5分）在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 解析：由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．‎ 答案：B ‎2. （2014四川，5分）平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：　法一：由已知得c＝(m＋4,‎2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝，又由已知得|b|＝2|a|，所以‎2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(‎2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(‎2m＋2)，解得m＝2.‎ 法二：易知c是以ma，b为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b|＝2|a|，故m＝2.‎ 答案：D ‎3. （2014北京，5分）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.‎ 解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∵ λa＋b＝0.‎ ‎∴即 由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.‎ 答案： ‎4. （2014江西，5分）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ 解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.‎ 答案： ‎5. （2014陕西，12分）在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求| |；‎ ‎(2)设＝m＋n (m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 解：(1)法一：∵＋＋＝0，‎ 又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，‎ ‎∴解得x＝2，y＝2，‎ 即＝(2,2)，故||＝2.‎ 法二：∵＋＋＝0，‎ 则(－)＋(－)＋(－)＝0，‎ ‎∴＝(＋＋)＝(2,2)，‎ ‎∴||＝2.‎ ‎(2)由题意得＝(1,2)，＝(2,1)，∵＝m＋n，‎ ‎∴(x，y)＝(m＋2n,‎2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减得，m－n＝y－x，‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎6．（2013浙江，5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)‎ A．∠ABC＝90°　　　　　　　　　　 B．∠BAC＝90°‎ C．AB＝AC D．AC＝BC 解析：选D　本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力．设AB＝4，以AB 所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．‎ 则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，‎ 即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．‎ ‎∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.‎ 即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.‎ ‎7．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　本题主要考查向量的坐标表示．由已知， 得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是＝.‎ ‎8．（2013福建，5分）在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A. B．2 C．5 D．10‎ 解析：选C　本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.‎ ‎9．（2013陕西，5分）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于(　　)‎ A．－ B. C．－或 D．0‎ 解析：选C　本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±.‎ ‎10．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．‎ 解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．＝－＝(3,2－t)，由题意知·＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.‎ 答案：5‎ ‎11．（2013北京，5分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，‎ μ∈R)，则＝________.‎ 解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力．设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.‎ 答案：4 ‎ ‎12．（2012安徽，5分）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A．(－7，－)　　　　　　　　　 B．(－7，)‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ 解析：画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D；代入A，cos∠QOP＝＝＝，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠，故答案为A.‎ 答案：A ‎13．（2010新课标全国，5分）a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，‎2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：由题可知，设b＝(x，y)，则‎2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由cos〈a，b〉＝＝.‎ 答案：C ‎14．（2011北京，5分）已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝____.‎ 解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c得×－3k＝0，解得k＝1.‎ 答案：1‎