江苏省连云港市赣榆区2020届高三高考仿真训练数学试题

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高三数学试题 数学Ⅰ（必做题） 一､填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分． 1． 已知集合 A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则 A∪B＝ ▲ ． 2．设复数 z 满足 z(1－i)＝4 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ ． 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)， [40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15 人，则参加英语测试的学生人数是 ▲ ． 4．如图所示的算法流程图，若输出 y 的值为1 2 ，则输入 x 的值为 ▲ ． 5．某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程， 则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为 ▲ ． 6. 函数 2( ) 2 logf x x  的定义域是 ▲ ． 7．已知双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的焦点关于一条渐近线的对称点在 y 轴上，则该双 曲线的离心率为 ▲ ． 8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260 里， 第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子的第三日走的里数为 ▲ ． 第 3 题图 Y （第 4 题） 结束 输入 x x≥0 y←2x 输出 y N 开始 y←log2(－x) 9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且 1 2 S S ＝ 9 4 ，则 1 2 V V 的值是 ▲ ． 10. 已知直线 8 0ax by    a b， R 经过点 (1 2)， ，则 12 4 a b 的最小值是 ▲ ． 11.已知函数         0,2||,0sin  Aω xAxf 的部分图象如图所示，将函数  xf 的图象向左平移  0 个单位长度后，所得图象关于直线 4 3x 对称，则 的 最小值为 ▲ ． 12.如图，扇形OAB 的半径为 2， 120AOB ，P 是弧 AB 上一点，满足 32OBOP ， AB 与OP 的交点为 M ，那么  ABOM ▲ ． 13. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l ： 2y kx  与圆 C： 2 2( 1) 9x y   交于 A、B 两 点，过点 A、B 分别做圆 C 的两条切线 1l 与 2l ，直线 1l 与 2l 交于点 P，则线段 PC 长度的最 小值是 ▲ ． 14. 已知函数 1 2 , 0, ( ) 2 , 0.1 xx e x f x x xx      „ 若关于 x 的不等式 2 ( ) 2 ( ) 2 0f x af x a    的解集非 空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 第 11 题 第 12 题 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c，且 5cos 5A  . （1）若 5a  ， 2 5c  ，求b 的值； （2）若 4B  ，求 cos 2C 的值. 16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD  平面 , , ,ABCD AP AD M N 分别为棱 ,PD PC 的中点.求证： （1） / /MN 平面 PAB ； （2） AM  平面 PCD. 17．(本小题满分 14 分) 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内 一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M 的“下辅 助点”.已知椭圆 E：   2 2 2 2 1 0x y a ba b   ＞ ＞ 上的点 21 2      ， 的下辅助点为（1，﹣1）. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若△OMN 的面积等于 2 3 6 8  ，求下辅助点 N 的坐标. 第 17 题 第 16 题 18．(本小题满分 16 分) 如图，某城市小区有一矩形休闲广场， 20AB  米，广场的一角是半径为16 米的扇形 BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲 椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN （宽度不计），点 M 在线段 AD 上，并且与 曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造 价每米为 2a 元，单人弧形椅的造价每米为 a 元，记锐角 NBE   ，总造价为W 元． （1）试将W 表示为 的函数 ( )W  ，并写出 cos 的取值范围； （2）如何选取点 M 的位置，能使总造价W 最小． 19．(本小题满分 16 分) 已知函数 ( ) (3 ) xf x x e  ， ( ) ( R)g x x a a   ．（ e 是自然对数的底数，e≈2.718…） （1）求函数 ( )f x 的极值； （2）若函数 ( ) ( )y f x g x 在区间[1，2]上单调递增，求 a 的取值范围； （3）若函数 ( ) ( )( ) f x g xh x x  在区间(0， )上既存在极大值又存在极小值，并且 ( )h x 的极大值小于整数 b，求 b 的最小值． D N BA C E M （第 18 题图） 20．(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记集合 M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若 M 中有 3 个元素，求λ的取值范围； （3）是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切 n∈N*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由． 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题．． 卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B.（选修 4—2：矩阵与变换） 已知矩阵 的一个特征值为 3, 求 的另一个特征值及其对应的一个特征向 量. C．（选修 4—4：坐标系与参数方程） 在 极 坐 标 系 中 , 为 曲 线 上 的 动 点 , 为 直 线 上的动点, 求 的最小值. 22. (本小题满分 10 分) 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  平面 ABC ，D ，E ，F 分别为 1AA ， 1 1AC ， 1BB 的中点， 5AB BC  ， 1 2AC AA  ． （1）求证： AC ⊥ EF ； （2）求二面角 1B CD C  的余弦值． 23. (本小题满分 10 分) （1）证明： 1 1 , ,m m m n n nC C C m n N m n     （ 且 ）； （2）证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n 和 一 切 实 数 ( 0, 1, , )x x n   ， 有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) n m m n m x nC x m x x x n       . 参考答案 1. {1,3,4,5} 2. 2 2 3. 50 4． 2 5． 5 3 6. (0,2] 7. 2 8. 120 9. 3 2 10. 2 11. 3  . 12.2 13. 9 55 14. { 1,3} 15. 解：（1）在 ABC 中，由余弦定理 2a 2 2= + -2 cosb c bc A得， 2 520 2 2 5 255b b     ，即 2 4 5 0b b   ， 解得 5b  或 1b   （舍）， 所以 5b  ； （2）由 5cos 5A  及 0 A   得， 2 25 2 5sin 1 cos 1 ( )5 5A A     ， 所以 2 10cos cos( ( )) cos( ) (cos sin )4 2 10C A B A A A           ， 所以 2cos2 2cos 1C C  = 2 102 -110       = 4- 5 16. 证明：（1）因为 M，N 分别为棱 PD，PC 的中点，所以 MN∥DC， 又因为底面 ABCD 是矩 形，所以 AB∥DC， 所以 MN∥AB． 又 AB  平面 PAB， MN 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB． （2）因为 AP=AD，M 为 PD 的中点， 所以 AM⊥PD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 又平面 PAD∩ 平面 ABCD= AD，CD⊥AD，CD  平面 ABCD，所以 CD⊥平面 PAD． 又 AM  平面 PAD，所 以 CD⊥AM． 因为 CD， PD  平面 PCD，CD PD D  ，所以 AM⊥平面 PCD． 17.解：（1）∵椭圆   2 2 2 2 1 0x yE a ba b  ： ＞ ＞ 上的点（1， 2 2  ）的下辅助点为（1，﹣1）， ∴辅助圆的半径为 R 2 21 ( 1) 2    ，椭圆长半轴为 a＝R 2 ， 将点（1， 2 2  ）代入椭圆方程 2 2 2 12 x y b   中，解得 b＝1，.....................6 分 ∴椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  ； （2）设点 N（x0，y0）（y0＜1），则点 M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程 和椭圆方程可得， x02+y02＝2， 2 20 1 12 x y  ，故 y02＝2y12，即 y0 2 y1， 又 S△OMN 1 2  x0（y1﹣y0） 2 3 6 8  ，则 x0y1 6 4   ，........................10 分 将 x0y1 6 4   与 2 20 1 12 x y  联立可解得 0 0 2 2 6 2 x y      或 0 0 6 2 2 2 x y      ， ∴下辅助点 N 的坐标为（ 2 2 ， 6 2  ）或（ 6 2 ， 2 2  ）；.....................14 分 18． 解：（1）过 N 作 AB 的垂线，垂足为 F ；过 M 作 NF 的垂线，垂足为G ． 在 RT BNF 中， 16cosBF  ，则 20 16cosMG   在 RT MNG 中， 20 16cos sinMN    ，··············4 分 由题意易得 16( )2CN    ························6 分 因此， 20 16cos( ) 2 16 ( ),sin 2W a a       ··············7 分 )5 4,0(cos  ···················································9 分 （2） 2 2 4 5cos (2cos 1)(cos 2)( ) 16 8 =8sin sinW a a a         ， 令 ( )=0W ， ， 1cos 2   ，因为 1( , )2  ，所以 3   ，······························12 分 设锐角 1 满足 1 4cos 5   ， ），（ 301   当 1( , )3   时， ( )<0W ， ， ( )W  单调递减； 当 ( , )3 2    时， ( )>0W ， ， ( )W  单调递增．·········································14 分 所以当 3   ，总造价W 最小，最小值为 8(16 3 )3 a ， 此时 8 3MN  ， 4 3NG  ， 8 3NF  ， 答：当 4 3AM  米时，能使总造价最小．········································16 分 19．解：（1） ( ) (3 ) xf x x e  ， '( ) (2 ) xf x x e  ，令 '( ) 0f x  ，解得 2x  ，列表： x ( ,2) 2 (2, ) '( )f x  0  ( )f x ↗ 极大值 ↘ ∴当 2x  时，函数 ( )f x 取得极大值 2(2)f e ，无极小值…………3 分 （2）由 ( ) ( ) (3 )( ) xy f x g x x x a e    ，得 2 2' [ (3 ) 3 2 (3 )] [ (1 ) 2 3]x xy e x a x a x a e x a x a              …………5 分 ∵ 0xe  ，令 2( ) (1 ) 2 3m x x a x a      ， ∴函数 ( ) ( )y f x g x 在区间[1,2] 上单调递增等价于对任意的 [1,2]x ，函数 ( ) 0m x  恒成立 ∴ (1) 0 (2) 0 m m    ，解得 3a   ．………… 8 分 （3） ( ) ( ) (3 )( ) xf x g x x e x ah x x x      ， 2 2 ( 3 3)'( ) xe x x ah x x     令 2( ) ( 3 3)xr x e x x a     ， ∵ ( )h x 在 (0, ) 上既存在极大值又存在极小值，∴ '( ) 0h x  在 (0, ) 上有两个不等实根， 即 2( ) ( 3 3) 0xr x e x x a      在 (0, ) 上有两个不等实根 1 2 1 2, ( )x x x x ．…………10 分 ∵ 2 2'( ) ( 3 3 2 3) ( ) (1 )x x xr x e x x x e x x x x e           ∴当 (0,1)x 时， '( ) 0r x  ， ( )r x 单调递增，当 (1, )x  时， '( ) 0r x  ， ( )r x 单调递减 则 10 1x  ，∴ (0) 0 (1) 0 r r    ，解得 3 a e    ，∴ 3 3 2 23 3 3( ) 3 02 4 4r e a e       ∵ ( )r x 在 (0, ) 上连续且 3(0) (1) 0, (1) ( ) 02r r r r    ∴ ( ) 0r x  在 (0,1) 和 3(1, )2 上各有一个实根 ∴函数 ( )h x 在 (0, ) 上既存在极大值又存在极小值时，有 3 a e    ，并且在区间 (0,1) 上存 在极小值 1( )f x ，在区间 3(1, )2 上存在极大值 2( )f x ． ∴ 2 2 2 2 2 (3 )( ) xx e x ah x x    ，且 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 3)'( ) 0 xe x x ah x x      2 2 2 2( 3 3)xa e x x    ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 ) ( 3 3)( ) (2 ) 1 x x xx e x e x xh x e xx          ……13 分 令 ( ) (2 ), '( ) (1 )x xH x e x H x e x    ，当 (1, )x  时， '( ) 0H x  ， ( )H x 单调递减 ∵ 2 3(1, )2x  ，∴ 2 3( ) ( ) (1)2h h x h  ，即 3 2 2 1( ) ( 1, 1)2h x e e   ，则 3 213 1 1 42 e e     ∵ ( )h x 的极大值小于整数 b ，∴满足题意的整数 b 的最小值为 4 ．…………16 分 20.解：(1)当 n＝1 时，S1＝2a1－1，得 a1＝1. 当 n≥2 时，由 Sn＝2an－1，① 得 Sn－1＝2an－1－1，② ①－②，得 an＝2an－1，即 an an－1 ＝2(n≥2)． 因此{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an＝2n－1. (2)由已知可得λ≤n n＋1 2n－1 ，令 f(n)＝n n＋1 2n－1 ， 则 f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝5 2 ，f(5)＝15 8 ， 下面研究 f(n)＝n n＋1 2n－1 的单调性， 因为 f(n＋1)－f(n)＝ n＋1 n＋2 2n －n n＋1 2n－1 ＝ n＋1 2－n 2n ， 所以，当 n≥3 时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f (n)， 即 f(n)单调递减. 因为 M 中有 3 个元素，所以不等式λ≤n n＋1 2n－1 解的个数为 3，所以 2＜λ≤5 2 ，即λ的取值 范围为 2，5 2 . (3)设存在等差数列{bn}使得条件成立， 则当 n＝1 时，有 a1b1＝22－1－2＝1，所以 b1＝1. 当 n＝2 时，有 a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以 b2＝2. 所以等差数列{bn}的公差 d＝1，所以 bn＝n. 设 S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1， S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③ 所以 2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④ ④－③，得 S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋2 1－2n 1－2 ＝2n＋1－n－2， 所以存在等差数列{bn}，且 bn＝n 满足题意． 21B．解：矩阵 M 的特征多项式为 = ……1 分 因为 方程 的一根，所以 ……………………………………3 分 由 ,得 ………………………………………… 5 分 设 对应的一个特征向量为 ,则 ,得 ……………8 分 令 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 …………10 分 21C．解:圆的方程可化为 ,所以圆心为 ,半径为 2 …………3 分 又直线方程可化为 ……………………… 5 分 所以圆心到直线的距离 ， 故 ………………………10 分 22.（1）取 AC 中点 O ，连接 ,OB OE ，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 因为 1CC ⊥平面 ABC ，所以四边形 1 1A ACC 为矩形， 又 ,O E 分别为 1 1,AC AC 的中点，所以 AC OE ． 因为 AB BC ．所以 AC OB ． 又 1CC  平面 ABC ，则 1CC OB ， 因为 1OE CC ，所以 OE OB ． 如图建立空间直角坐标系O xyz ．··············2 分 由题意得 (1,0,0)A ， (0,2,0)B ， ( 1,0,0)C  ， (1,0,1)D ， (0,0,2)E ， (0,2,1)F ． 所以 ( 2,0,0)AC   ， (0,2, 1)EF   ， 所以 0AC EF   ， 所以 AC EF  ， 所以 AC EF ．··············5 分 （2）由（1）可得， (2,0,1)CD  ， )0,2,1(CB ， 设平面 BCD 的法向量为 ( )a b c ，，n ， 所以      0 0 CBn CDn ，所以 2 0 2 0 a c a b      ， 令 2a  ，则 1b   ， 4c   ，··············7 分 所以平面 BCD 的一个法向量 (2 1 4)  ， ，n ， 又因为平面 1CDC 的法向量为 (0,2,0)OB  ，··············8 分 所以 21cos 21 n OBn OB n OB        ． 由图可得二面角 1B CD C  为钝角，所以二面角 1B CD C  的余弦值为 21 21  ． ··············10 分 23.证明： （1）右边= 1 ! ! !( 1 ) ( 1)! !( )! ( 1)!( 1)! !( 1)! !( 1)! m n n n n n m m n Cm n m m n m m n m m n m                =左边 （2）①当 1n  时，左边= 11 1 1 x x x    =右边。 ② 假 设 n k 时 ， 对 一 切 实 数 ( 0, 1, , )x x k   ， 都 有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) k m m k m x kC x m x x x k       成立， 那 么 ， 当 1( )n k k N    时 ， 对 一 切 实 数 ( 0, 1, , ( 1))x x k    ， 有 1 1 1 1 0 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 k k m m m m m k k k k m m x x xC C Cx m x m x m                    1 1 0 1 0 0 1( 1) ( 1) ( 1) ( ( 1) )1 1 k k k k m m m m m m t t k k k k m m m t x x x x xC C C Cx m x m x m x t x                        ! ! ( 1)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 1) 1 k k x x x x k x x x k x             ! ( 1) ( 1)! ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1) k x k x k x x x k x x x k              。 所以，当时，等式成立。 故对一切正整数 n 和一切实数 ( 0, 1, , )x x n   ，有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) n m m n m x nC x m x x x n       。