【数学】2018届一轮复习人教A版10-3二项式定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版10-3二项式定理学案

‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)‎ 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝1，C＝1.‎ C＝C＋C.‎ ‎(2)C＝C.‎ ‎(3)n是偶数时，项的二项式系数最大；n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．‎ ‎(4)C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎【知识拓展】‎ 二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　×　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)‎ ‎(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　×　)‎ ‎(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　×　)‎ ‎1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.‎ ‎2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A．－15x4 B．15x4‎ C．－20ix4 D．20ix4‎ 答案　A 解析　由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.故选A.‎ ‎3．(2016·云南部分名校1月统一考试)已知，那么n展开式中含x2项的系数为(　　)‎ A．130 B．135 C．121 D．139‎ 答案　B 解析　根据题意，则6中，由二项式定理得通项公式为Tk＋1＝C(－3)kx6－2k，令6－2k＝2，得k＝2，所以系数为C×9＝135.‎ ‎4．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．‎ 答案　7‎ 解析　由题意知＋1＝5，解得n＝8，‎ ‎(－)8的展开式的通项Tk＋1＝C()8－k(－)k ‎＝，‎ 令8－＝0，得k＝6，‎ 则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.‎ 题型一　二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1　(1)(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)‎ ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 答案　(1)10　(2)C 解析　(1)(2x＋)5展开式的通项公式 k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得k＝4，得∴x3的系数是10.‎ ‎(2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解．‎ ‎(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 方法二　利用组合知识求解．‎ ‎(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 例2　(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a ‎＝____________.‎ ‎(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.‎ 答案　(1)3　(2)－2‎ 解析　(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，‎ 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.‎ ‎(2)‎ ‎∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.‎ 思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎　(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)‎ 答案　(1)－20　(2) 解析　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，‎ x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，‎ ‎∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.‎ ‎(2)设通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，‎ ‎∴k＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，‎ ‎∴a3＝，∴a＝.‎ 题型二　二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3　在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．‎ 解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ 思维升华　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎　(1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由题意得a＝C，b＝C，‎ ‎∴13C＝7C，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝13，解得m＝6，‎ 经检验符合题意，故选B.‎ ‎(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则＋＋…＋的结果是多少？‎ 解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.‎ 当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，‎ ‎∴0＝1＋＋＋…＋.‎ 即＋＋…＋＝－1.‎ 题型三　二项式定理的应用 例4　(1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ ‎(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)‎ 答案　(1)D　(2)1.172‎ 解析　(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.‎ 思维升华　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ ‎　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1 C．－87 D．87‎ 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ ‎(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．‎ 解　原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，‎ 显然正整数a的最小值为4.‎ ‎15．二项展开式的系数与二项式系数 典例　(1)(2016·河北武邑中学期末)若(－)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为________．‎ ‎(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.‎ 错解展示 解析　(1)(＋)n展开式中，令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，‎ ‎∴(－)n展开式的通项Tk＋1＝(－3)k·C·，‎ 令＝1，得k＝1.‎ 故展开式中含x项的系数为C＝5.‎ ‎(2)a1＋a2＋…＋a7＝C＋C＋…＋C＝27－1.‎ 答案　(1)5　(2)27－1‎ 现场纠错 解析　(1)在(＋)n的展开式中，令x＝1，‎ 可得(－)n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5.‎ 故(－)5展开式的通项为Tk＋1＝(－3)k·C·，‎ 令＝1，得k＝1，‎ 故展开式中含x项的系数为－15.‎ ‎(2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，‎ 令x＝0，∴a0＝(－m)7.‎ 又∵展开式中x4的系数是－35，∴C·(－m)3＝－35，‎ ‎∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1.‎ 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，‎ 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，‎ 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.‎ 答案　(1)－15　(2)1‎ 纠错心得　和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，‎ 是系数和还是二项式系数的和.‎ ‎1．在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为(　　)‎ A．30 B．20 C．15 D．10‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，x2(1＋x)6的展开式中含x4的项为Cx4＝15x4，所以系数为15.‎ ‎2．(2015·湖南)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B．－ C．6 D．－6‎ 答案　D 解析　5的展开式通项令－k＝，则k＝1，‎ ‎∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.‎ ‎3．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A．－20 B．－15‎ C．15 D．20‎ 答案　C 解析　设展开式中的常数项是第k＋1项，则Tk＋1＝C·(4x)6－k·(－2－x)k＝C·(－1)k·212x－2kx·2－kx＝C·(－1)k·212x－3kx，‎ ‎∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，‎ ‎∴T5＝C·(－1)4＝15.‎ ‎4．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．29 B．210 C．211 D．212‎ 答案　A 解析　由题意，C＝C，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.‎ ‎5．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为(　　)‎ A．－4 B. C．4 D. 答案　C 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.‎ ‎6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(　　)‎ A.(3n－1) B.(3n－2)‎ C.(3n－2) D.(3n－1)‎ 答案　D 解析　在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，‎ 即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ ‎＝(3n－1)．‎ ‎7．若(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为－1，则a的值为(　　)‎ A．1 B．9‎ C．－1或－9 D．1或9‎ 答案　D 解析　由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而(－1)5的展开式通项为Tk＋1＝(－1)kC·xk－5，其中k＝0,1,2，…，5.于是(－1)5的展开式中x－2的系数为(－1)3C＝－10，x－1项的系数为(－1)4C＝5，常数项为－1，因此(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10，依题意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9.‎ ‎8．(2016·北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ 答案　60‎ 解析　展开式的通项Tk＋1＝C·16－k·(－2x)k＝C(－2)k·xk.令k＝2，得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.‎ ‎9．(2016·天津)8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)‎ 答案　－56‎ 解析　8的通项Tk＋1＝C(x2)8－kk＝(－1)kCx16－3k，当16－3k＝7时，k＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.‎ ‎10．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 答案　10‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，‎ 它的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，‎ T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ ‎11．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．‎ 答案　168‎ 解析　∵(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.‎ ‎12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7‎ ‎＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，‎ 即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.‎ ‎13．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．‎ 证明　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ‎＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1‎ ‎＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1‎ ‎＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，‎ ‎∴原式能被31整除．‎ ‎*14.若(＋)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：‎ ‎(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8.‎ 设展开式中的有理项为Tk＋1，‎ ‎∴k为4的倍数，又0≤k≤8，∴k＝0,4,8.‎ 故有理项为 ‎(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，‎ 则⇒k＝2或k＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为