2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十七条件概率与事件的独立性正态分布新人教B版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十七条件概率与事件的独立性正态分布新人教B版

核心素养测评六十七 条件概率与事件的独立性、正态分布 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.三次均为红球的概率为××=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为++=.‎ ‎2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B)= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.因为P==,P==,所以P===.‎ ‎3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)= (　　)‎ A.1- B.‎ C.1- D.‎ 10‎ ‎【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以 P==,P=,‎ 所以P===1-.‎ ‎4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是 (　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)∪(AB)∪(AC),且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,‎ 所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P()+‎ P(A)P()P(C)‎ ‎=××+××1-+×1-×=.‎ ‎5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 (　　) ‎ A. B. C. D.‎ 10‎ ‎【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(··)=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·‎ ‎[1-P(C)]=1-×1-×1-=.‎ 所以击中的概率P=1-P(··)=.‎ ‎6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,则n的最小值为 (　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,‎ 所以p=1-n≥,所以n≤.‎ 所以n的最小值为4.‎ ‎7.已知随机变量X服从二项分布X～B6,,则P(X=2)等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X～B6,,所以 P(X=2)=21-4=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为________. ‎ ‎【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A∩)=0.6×0.3=0.18, ‎ 10‎ P(∩B)=0.4×0.7=0.28,P(∩)=0.4×0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.‎ 答案:0.58‎ ‎9.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 为________. ‎ ‎【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,‎ 所求概率P=6+6+6=.‎ 答案:‎ ‎10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp>,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为__________,设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量ξ的分布列 为__________.  ‎ ‎【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.‎ 所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.‎ 因为p>,所以p=.‎ 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6. ‎ 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.‎ 从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=1-=, P(ξ=6)=1-1-·1=.‎ 所以随机变量ξ的分布列为:‎ 10‎ ξ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ P 答案:　　‎ ξ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎ (15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.‎ 质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,‎ 则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.‎ 所以P(E|D)====.‎ ‎2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“‎ 10‎ 取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D. 因为P==,P==,‎ 所以P===.‎ ‎【变式备选】‎ 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率 是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+××+×××=.‎ ‎3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9;‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.‎ 其中正确结论的序号是________. ‎ ‎【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,‎ 10‎ 所以第3次击中目标的概率是0.9,所以①正确,‎ 因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,‎ 所以本题是一个独立重复试验,‎ 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,所以②不正确,‎ 因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以③正确.‎ 答案:①③‎ ‎4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.‎ ‎(1)恰有一套设备能正常工作的概率;‎ ‎(2)能进行通讯的概率. ‎ ‎【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,‎ ‎“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.‎ 由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,‎ P()=1-p3,P()=1-p3.‎ ‎(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)+P(·B)‎ ‎=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.‎ ‎(2)两套设备都不能正常工作的概率为 P( · )=P()·P()=(1-p3)2.‎ 至少有一套设备能正常工作的概率,‎ 即能进行通讯的概率为1-P(·)=‎ ‎1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p6.‎ ‎【变式备选】‎ 甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;‎ ‎(2)Pn(用n表示)的值.‎ 10‎ ‎【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= ×+×+×=.‎ ‎(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以Pn=(1-Pn-1), n=2,3,4,…,‎ 因此P3=(1-P2)=×= ,‎ P4=(1-P3)=×= ,‎ P5=(1-P4)=×= ,‎ P6=(1-P5)=×= , ‎ 因为Pn=(1-Pn-1) ,‎ 所以Pn-=-Pn-1-,‎ Pn-=P1-·,‎ 所以Pn=-·.‎ ‎5.(10分)(2020·太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:‎ 10‎ ‎(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).‎ ‎(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:‎ ‎(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?‎ ‎(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了 ‎1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?‎ 附:参考数据与公式≈2.63,X～N(μ,σ2)‎ 则①P(μ-σμ-σ)=+≈0.841 4,所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.‎ ‎(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈0.977 3,得 每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977 3,‎ 记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ～B(103,p),其中p=0.977 3,‎ 10‎ 于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)‎ ‎=pk(1-p,‎ 从而由=>1,得k<1 001p,‎ 而1 001p=978.277 3,所以,当0≤k≤978时,‎ P(ξ=k-1)P(ξ=k),‎ 由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. ‎ 10‎