北京一零一中学2020届高三下学期数学统练（二）

北京一零一中学2020届高三下学期数学统练（二）

北京一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统练（二）‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可．‎ ‎【详解】由，即 图中阴影部分表示的集合为：‎ 又 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题．‎ ‎2.若,则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴设 代入可知均不正确 对于，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D ‎3.设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A，利用空间中面面的位置关系即可判定A错误，对于B，利用线面垂直的性质即可判定B正确，对于C，利用面面垂直的判定即可得到C错误，对于D，利用线面的位置关系即可判定故D错误.‎ ‎【详解】若，，则平面可能相交，也可能平行，故A错误.‎ 若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确.‎ 若，，则存在直线，使，则，故此时，‎ 故C错误.‎ 若，，则与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中面面的位置关系和线面的位置关系，同时考查了线面垂直的性质，属于简单题.‎ ‎4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）‎ A. 46，45，56 B. 46，45，53‎ C. 47，45，56 D. 45，47，53‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A.‎ 点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.‎ ‎5.“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（　　　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“”与“”的关系得解．‎ ‎【详解】解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，‎ 即，‎ 又“”不能推出“”，‎ ‎“”能推出“”，‎ 即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题 ‎6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过正弦定理可得的范围即为的范围，通过整理可求得，再利用的范围求得的取值范围，得到最终结果．‎ ‎【详解】‎ 即 又，即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题的关键是运用正弦定理将边长关系变为角的关系；需要注意的是在求解最终结果时，要注意角的范围对三角函数取值范围的影响．‎ ‎7.已知函数，若方程的解为， （），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定的值.‎ ‎【详解】函数的对称轴满足：，‎ 即，令可得函数在区间上的一条对称轴为，‎ 结合三角函数的对称性可知，则：，‎ ‎，‎ 由题意：，且，故，‎ ‎，由同角三角函数基本关系可知：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件作差比较可知.‎ ‎【详解】因为, 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 同理可得,,‎ 故最小.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.‎ ‎9.已知双曲线C：左、右焦点分别为，，离心率为e，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图：‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 由双曲线定义可得：‎ ‎，‎ 故，解得 则 在中，由勾股定理可得：‎ 即 得 故选 点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出三角形三边的长度与的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需要理解关键步骤．‎ ‎10.对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.‎ ‎【详解】点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形如图中的阴影部分所示：‎ 其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为，‎ 等边三角形ABC外的三个矩形面积为6，‎ 等边三角形ABC内的部分面积为-=18-‎ 故面积和为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11.展开式的常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎12.过点作直线与圆交于、两点，如果，则的方程为_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到圆心，半径等于，根据弦长公式得到圆心到直线的距离等于，再分别讨论斜率是否存在，求直线方程即可.‎ ‎【详解】圆，即，‎ 所以圆心，半径等于，设圆心到直线的距离为，‎ 由弦长公式得：，所以.‎ 当直线的斜率不存在时，方程为，满足条件.‎ 当直线的斜率存在时，设斜率等于，‎ 直线的方程为，即，‎ 由圆心到直线的距离等于得： ，‎ 解得，直线的方程为.‎ 综上，满足条件的直线的方程为或，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，弦长公式为解题的关键，属于中档题.‎ ‎13.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值.‎ ‎【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥，由三视图可知该正方体的棱长为，‎ 所以，，，‎ ‎，.‎ 因此该四棱锥的最长棱的长度为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而可求解，属于常考题型.‎ ‎14. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 ．‎ 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）‎ ‎【答案】轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑．轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均可．‎ 考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质．‎ 点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想．‎ ‎15.已知函数.‎ ‎①当时，若函数有且只有一个极值点，见实数取值范围是______；‎ ‎②若函数的最大值为1，则______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围.‎ ‎②分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值.‎ ‎【详解】①当时，.‎ ‎，令，解得.‎ 因为函数在有且只有一个极值点，‎ 所以.‎ ‎②当时，，此时，舍去.‎ 当时，‎ ‎，.‎ ‎，..‎ 所以，因为，所以.‎ 当时，‎ ‎，.，‎ 令，解得.‎ ‎，，为增函数，‎ ‎，，为减函数.‎ ‎.‎ ‎，..‎ 当时，即，，解得.‎ 当当时，即，，解得，舍去.‎ 综上所述：.‎ 故答案为：①，②‎ ‎【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.‎ ‎16.数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为；④若存在正整数，使，，则.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据数列规律列出前项即可判定①正确.②根据数列，，，，…是，1，，2，…，，，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算，即可判定④正确.‎ ‎【详解】①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，‎ 所以，故①正确.‎ ‎②数列，，，，…‎ 是，1，，2，…，，，‎ 由等差数列定义（常数）‎ 所以数列，，，，…是等差数列，‎ 故②不正确.‎ ‎③因为数列，，，，…是等差数列，‎ 所以由等差数列前项和公式可知：，‎ 故③正确.‎ ‎④由③知：，，，，‎ ‎，，‎ 是，1，，2，，.‎ 因为，‎ 所以存在，使，，且.‎ 故④正确.‎ 故答案为：①③④.‎ ‎【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.‎ 三、解答题（共6小题）‎ ‎17.在锐角中，角所对的边分别是，且．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若的面积，,求的值．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得的值.‎ ‎(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴，可得， ‎ 解得，或.‎ ‎∵为锐角三角形，∴，∴．‎ ‎(2)∵，可得. ‎ 又,可得. ‎ 在中，由余弦定理可知，，‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理可知,.‎ ‎【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．‎ ‎（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；‎ ‎（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为，求线段CG的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明直线AB∥EG，从而由线线平行推证线面平行；‎ ‎（2）过A作DE垂线AO，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；‎ ‎（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，‎ 故四边形CDEG为平行四边形，‎ ‎∴CD∥EG，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴CD∥AB，∴AB∥EG，‎ 又EG⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，‎ ‎∴EG∥平面ABF．‎ ‎（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K 由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO⊂平面ADE，‎ ‎∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，‎ 则D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），‎ F（3，3，0），，D（0，﹣1，0），‎ ‎∴‎ 设平面ABCD的法向量为，‎ 即，令z＝﹣1，则，‎ ‎，‎ ‎∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，‎ ‎（Ⅲ）由题意得，G（3，4λ﹣1，0）．‎ ‎∴，‎ 设平面AEG的法向量为，即，‎ 令y＝3，则，x＝3﹣4λ，‎ ‎∴，‎ 容易得平面AED的法向量为，‎ 故可得，‎ 解得，‎ ‎∴，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ，‎ ‎∵|CG|≤4，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点在于坐标系的选择.‎ ‎19.‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.‎ 在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎（2）“性价比”大的产品更具可购买性.‎ ‎【答案】（I），；（II）；（III）乙工厂的产品更具可购买性，理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)∵EX1=6，∴5×0.4+‎6a+7b+8×0.1=6，‎ 即‎6a+7b=3.2，‎ 又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，‎ 由‎6a+7b=3，‎2a+b=0.5，解得，；.‎ ‎(2)由已知得，样本的频率分布列如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ f ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎∴EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8，‎ ‎∴乙厂产品的等级系数的数学期望等于.‎ ‎(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ ‎∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,∴其性价比为66=1.‎ ‎∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,∴其性价比为4.84=1.2.‎ 据此,乙厂的产品更具可购买性.‎ ‎20.已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）‎ ‎（1）求函数的递增区间；‎ ‎（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（2）由题意，问题转化为，令，，‎ 即证，根据函数的单调性，即可作出证明．‎ ‎【详解】（1）易知，‎ ‎①若，由解得，∴函数的递增区间为；‎ ‎②若，则 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴函数的递增区间为和；‎ ‎③若，则，∴函数的递增区间为；‎ ‎④若，则 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴函数的递增区间为和；‎ 综上，若，的递增区间为；‎ 若，的递增区间为和；‎ 若，函数的递增区间为； ‎ 若，函数的递增区间为和.‎ ‎（2）∵函数为上的增函数，∴，即，‎ 注意到，故，‎ ‎∴不妨设，‎ 欲证，只需证，只需证，‎ 即证，即证，‎ 令，，只需证，‎ ‎∴ ，‎ 下证，即证，‎ 由熟知的不等式可知，‎ 当时，即，‎ ‎∴ ，‎ 易知当时，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即单调递增，即，从而得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中 综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎21.已知点，点A是直线上的动点，过作直线，，线段的垂直平分线与交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到：点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，再利用抛物线的定义即可得到曲线的方程.‎ ‎（2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为，得到，同理得到，即是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，再求的范围即可.‎ ‎【详解】（1）因为点，点是直线上的动点，‎ 过作直线，，线段的垂直平分线与交于点，‎ 所以点到点的距离等于它到直线的距离，‎ 所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设，点，点，‎ 直线的方程为：，‎ 化简得，‎ 因为的内切圆的方程为，‎ 所以圆心到直线的距离为，即，‎ 整理得：，‎ 由题意得，所以上式化简得，‎ 同理，有.‎ 所以是关于的方程的两根，‎ ‎，.‎ 所以，‎ 因，，‎ 所以，‎ 直线的斜率，则，‎ 所以，‎ 因为函数在单调递增，‎ 所以，，‎ 所以0.‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题第一问考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程，第二问考查直线与圆相切，同时考查了抛物线的性质，属于难题.‎ ‎22.已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；‎ ‎（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；‎ ‎（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据，，求出，再计算即可.‎ ‎（2）首先由得到，由且，得到数列的通项公式，即可证明数列是等差数列.‎ ‎（3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，，时，数列不具有性质.当时，对任意，，都有，即当时，数列具有性质.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，‎ 解得，则，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 因为，，，‎ 当为奇数时，.‎ 当为偶数时，.‎ 所以对任意，都有.‎ 当时，，即数列是等差数列.‎ ‎（3）解：由题意，是等比数列，.‎ ‎①当时，，‎ 所以对任意，都有，‎ 因此数列不具有性质.‎ ‎②当时，，.‎ 所以对任意，都有，‎ 因此数列不具有性质.‎ ‎③当时，.‎ ‎，‎ ‎.‎ 取（表示不小于的最小整数），‎ 则，.‎ 所以对于任意，.‎ 即对于任意，都不在区间内，‎ 所以数列不具有性质.‎ ‎④当时，，且，‎ 即对任意，，都有，‎ 所以当时，数列具有性质.‎ 综上，使得数列具有性质的正实数的集合为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等差数列的证明，第三问考查等差和等比数列的综合应用，属于难题.‎