2019-2020学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出集合，再求出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题：集合，集合，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查集合的交集运算关键在于准确求出集合.‎ ‎2．是（ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】由题，所以其终边在第三象限.‎ ‎【详解】‎ 由题，所以的终边与的终边相同，在第三象限，‎ 所以是第三象限角.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查求角的终边所在的象限，关键在于将角写成的形式进行辨析.‎ ‎3．已知下列各式：‎ ‎①； ②‎ ‎③ ④‎ 其中结果为零向量的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量的加法法则，只有，，其余不能判定为零向量.‎ ‎【详解】‎ 由题：①；‎ ‎②，不一定为零向量；‎ ‎③，‎ ‎ ④不一定为零向量，‎ 结果为零向量一共两个.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查平面向量的加法运算法则，根据法则计算即可.‎ ‎4．已知函数，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据分段函数求出，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题：‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查分段函数，根据分段函数解析式求值，关键在于准确代入相应解析式.‎ ‎5．下列命题正确的是（ ）‎ A．单位向量都相等 B．若与共线，与共线，则与共线 C．若与是相反向量，则||=|| D．与（）的方向相反 ‎【答案】C ‎【解析】单位向量可能方向不同，所以A错误；若，则B错误；相反向量模长相等方向相反，所以C正确；若，与（）的方向相同，所以D错误.‎ ‎【详解】‎ 向量相等必须模长相等且方向相同，所以A选项说法错误；‎ 若，任意向量与，都有与共线，与共线，但与不一定共线，所以B错误；‎ 若与是相反向量，则模长相等，方向相反，则||=||，所以C正确；‎ 若，与（）的方向相同，所以D错误.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查向量的概念辨析，关键在于准确掌握向量的相关概念.‎ ‎6．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎7．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式 的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为是奇函数且，所以，又因为函数在上单调递减且，即，所以，，不等式的解集是，故选D.‎ ‎8．已知中，为边上的点，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的线性运算得：，可得.‎ ‎【详解】‎ 由题：，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查向量的线性运算，关键在于准确表示出向量的线性关系.‎ ‎9．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，,‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，在解题过程中，要注意的是出现相应的形式，要会变，没有相应的形式，也可以转变，如可转化为.余弦的二倍角公式公式有三个，要利用上合适的那个.‎ ‎10．函数的部分图象可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由奇偶性的概念，判断是偶函数，排除C、D；再由，的正负，排除B，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除C、D；‎ 当时，，，，‎ 即，故排除B，‎ 选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，三角函数的图象及其性质，对数函数的性质等，即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：‎ 则方程的近似解可取为（精确度）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由表知函数零点在区间 ,所以近似解可取为,选B.‎ ‎12．已知函数的图象关于直线对称，且当时，，设，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可分析出是偶函数，当时，单调递减，所以当时，单调递增，根据单调性即可比较的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由题：函数的图象关于直线对称，‎ 所以的图象关于直线对称，当时，，‎ 即在单调递减，在单调递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，作出角，与单位圆交于点，‎ 单位圆交轴的正半轴于点，作于， 过作轴的垂线交的终边于，‎ 则，‎ 记扇形面积，‎ 由图易得：，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 此题考查函数的平移与奇偶性和单调性的判断，结合三角函数利用三角函数线比较大小，综合性比较强.‎ 二、填空题 ‎13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据扇形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，‎ 则扇形的半径，‎ 所以该扇形的面积.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.‎ ‎14．函数的单调减区间是____________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据二次根式有意义条件可知,结合正弦函数单调区间求法即可得的单调递减区间.‎ ‎【详解】‎ 函数 则,即 解得 又由正弦函数的单调递减区间可得 解得 即 所以 即函数的单调减区间为 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正弦函数的函数值求自变量取值范围,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.‎ ‎15．若函数的图象两相邻对称轴之间的距离为3,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得函数的最小正周期为：，则：，‎ 函数的解析式为：，则：‎ 由周期性可知，对任意的：‎ ‎，‎ 而，据此可得：‎ ‎.‎ ‎16．关于函数有下列四个结论：‎ ‎① 是偶函数 ② 在区间单调递减 ‎③ 在区间上的值域为 ④ 当时，恒成立 其中正确结论的编号是____________（填入所有正确结论的序号）．‎ ‎【答案】① ③ ④‎ ‎【解析】，所以是偶函数；‎ ‎，所以在区间不是单调函数；‎ 根据是偶函数求出的值域即的值域；‎ 分类讨论时，再讨论时，求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎①，，所以是偶函数；‎ ‎②，即，所以在区间不是单调递减；‎ ‎③是偶函数，在区间上的值域即的值域，‎ 此时，，‎ 所以在区间上的值域为；‎ ‎④当时，，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ ‎，，‎ 综上：当时，恒成立.‎ 故答案为：① ③ ④‎ ‎【点睛】‎ 此题考查讨论三角函数的奇偶性、单调性，以及根据已知条件求值域，涉及分类讨论的思想.‎ 三、解答题 ‎17．设，且.‎ ‎（1）求实数的值及函数的定义域；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（1），； （2）‎ ‎【解析】（1）根据，即可解得，解不等式组得定义域；‎ ‎（2），根据单调性求出最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，∴.‎ 由得，‎ ‎∴函数的定义域为.‎ ‎（2）.‎ ‎∴当时， 是增函数；当时， 是减函数，‎ 故函数在区间上单调递增，其最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据函数值求参数和定义域，求给定区间上复合函数的值域问题.‎ ‎18．已知角的终边经过点 ，且为第二象限角.‎ ‎（1）求实数和的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）根据三角函数定义，利用公式求解；‎ ‎（2）先用诱导公式化简，再利用和差公式合并即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角函数定义可知，解得，‎ 为第二象限角，，‎ 所以.‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 此题考查根据三角函数定义求参数的值，同角三角函数之间的转化，利用诱导公式，和差公式进行化简求值，关键在于熟练掌握基本公式.‎ ‎19．设函数。‎ ‎（1）求函数的最小正周期，并求出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求在内使取到最大值的所有的和.‎ ‎【答案】（1）；（） （2）‎ ‎【解析】（1）对函数解析式化简得，解即可得到单调增区间；‎ ‎（2）取到最大值，则，解得，依次求出内的取值即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意：，‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 由，解得，‎ 故函数的递增区间为（）. ‎ ‎（2）令，解得，此时取得最大值为 ‎，‎ 令，可求得， ‎ 和为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查三角恒等变换，根据正弦型函数求最小正周期和单调区间，以及最值问题.‎ ‎20．已知函数 的部分图像如图所示.‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)设为锐角，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式和正弦公式进行化简求解．‎ 试题解析：(1)由图可得,‎ ‎.‎ ‎(2)为钝角，‎ ‎，‎ ‎.‎ 点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.‎ ‎21．已知函数在区间上的最大值为2.‎ ‎(1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； ‎ ‎(2)先将函数保持横坐标不变，纵坐标变为原来的（）倍，再将图象向左平移（）个单位，得到的函数为偶函数．若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎ ‎【解析】（1）化简，时， 取最大值，即有，得，再求出对称中心坐标；‎ ‎（2）求出解析式，，只需的值域是值域的子集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ ‎∵，∴，‎ 则当，即时， 取最大值，即有，得.‎ ‎∴；‎ 令，解得 ，‎ ‎∴的对称中心的坐标为 . ‎ ‎（2），‎ ‎∵为偶函数，∴ ，∴ ，‎ 又∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴的值域为； ‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎①当时，的值域为,‎ ‎②当时，的值域为， ‎ 而依据题意有的值域是值域的子集，‎ 则或 ‎∴或，所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 此题考查根据三角恒等变换求解析式，求对称中心坐标，根据图象变换求解析式，利用值域的包含关系求参数的范围.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）若方程在上有两个不等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）设，转化成求二次函数的最大值；‎ ‎（2）原题转化为：在上的解的情况进行解析.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 设，则 ‎∴‎ ‎∴当时，‎ ‎（2）化为在上有两解，‎ 令 则t∈，在上解的情况如下：‎ ‎①当在上只有一个解或相等解，有两解，‎ 或 ‎∴或 ‎②当时，有惟一解 ‎③当时，有惟一解 故实数的取值范围为或 ‎【点睛】‎ 此题考查复合函数值域问题和讨论复合方程的解的情况，利用换元法讨论此类问题能大大降低解题难度.‎