高中数学选修2-2课时提升作业(十一) 1_6
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课时提升作业(十一)
微积分基本定理
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2013·江西高考)若s1=x2dx，s2=dx，s3=exdx则s1，s2，s3的大小关系为( )
A.s1
3.所以s2a>b B.a>b>c
C.a=b>c D.a>c>b
【解析】选B.a=x2|=，
b=x3|=，c=x4|=.所以a>b>c.
2.(2014·东莞高二检测)已知积分(kx+1)dx=k，则实数k=( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】选A.因为(kx+1)dx=k，
所以=k.
所以k+1=k，所以k=2.
3.下列定积分计算正确的是( )
A.sinxdx=4 B.2xdx=1
C.dx=ln D.3x2dx=3
【解析】选C.sinxdx=-cosx|=0，
2xdx=|=log2e，
dx=(x-lnx)|
=1-ln2=ln.
3x2dx=x3|=2.
4.若|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为( )
A.6 B.56 C.36 D.2016
【解析】选A.|56x|dx=256xdx，
=2×x2|=56a2≤2016，
a2≤36，0，
所以ln0，S单调递增，
所以当t=1时，Smin=2.
8.已知f(x)=(12t+4a)dt，F(a)=[f(x)+3a2]dx，求函数F(a)的最小值.
【解题指南】这里函数f(x)，F(a)都是以积分形式给出的，可以先用微积分基本定理求出f(x)与F(a)，再利用二次函数求出F(a)的最小值.
【解析】因为f(x)=(12t+4a)dt=(6t2+4at)
=6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，
F(a)=[f(x)+3a2]dx=(6x2+4ax+a2)dx
=(2x3+2ax2+a2x)=2+2a+a2
=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1.
所以当a=-1时，F(a)的最小值为1.
【变式训练】已知函数f(x)=t(t-4)dt.
(1)若不等式f′(x)+2x+2x2-2x+2
因为不等式f′(x)+2x+2(x2-2x+2)min(x∈[0，2]).
因为x2-2x+2=(x-1)2+1，
所以当x∈[0，2]时，(x2-2x+2)min=1，
所以m>1，
所以实数m的取值范围为(1，+∞).
(2)由(1)得g(x)=x3-2x2+a-，
所以g′(x)=x2-4x=x(x-4)，
则当x∈[0，4]时，g′(x)≤0；当x∈(4，5]时，g′(x)>0，
所以当x=4时，g(x)的最小值为g(4)=a-11，
因为函数g(x)在区间[0，5]上没有零点，
所以a-11>0或
所以a>11，或a<，
所以实数a的取值范围为(11，+∞)∪.
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