四川省成都市双流区双流中学2020届高三9月月考数学（理）试题

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四川省双流中学高2017级9月月考试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷选择题（60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将你选择的答案涂到答题卡上.‎ ‎1.已知复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数z,再求|z|得解.‎ ‎【详解】由题得 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解出集合和集合，根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎3.设函数，则（）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入解析式求得，再将代入解析式即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数解析式求解函数值，属于基础题.‎ ‎4.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．‎ ‎【详解】，‎ 向量，是非零向量，，夹角为 ‎“”是“，夹角为”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，可知几何体为一个长方体切掉个圆柱，分别计算长方体和个圆柱的体积，作差得到结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体为一个长方体切掉个圆柱 长方体体积：；个圆柱的体积：‎ 几何体体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查几何体体积的求解问题，关键是能够通过三视图准确还原几何体.‎ ‎6.函数的图像的大致形状是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究的单调性，可排除；根据时的符号可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 当，和时，；当时，‎ 在，上单调递减，在上单调递增，可排除 当时，恒成立，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够通过导数的知识求得函数的单调性，再结合特殊位置的符号进行排除；易错点是忽略函数定义域的要求.‎ ‎7.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）‎ 注：若，则，.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．‎ 详解：∵， ∵‎ 则， ∴阴影部分的面积为 ． ∴正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587． 故选D．‎ 点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题．‎ ‎8.为了配平化学方程式 ，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入（ ）‎ A. ，，‎ B. ，，‎ C. ，，‎ D. ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较方程的两边，由元素守恒可得的数量关系．‎ ‎【详解】结合元素守恒易知，，.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查推理论证能力.‎ ‎9.若双曲线的两条渐近线所成的锐角为，则双曲线的离心率为（）‎ A. B. 2 C. 或2 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线倾斜角与斜率的关系可得的值，根据双曲线的关系可求得离心率.‎ ‎【详解】设斜率为正的渐近线的倾斜角为 则或 即或 或 解得：或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到双曲线渐近线的斜率问题；易错点是忽略两渐近线的夹角可能是倾斜角的二倍，也可能是倾斜角余角的二倍.‎ ‎10.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为在上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为在上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得，则只需即可，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 在上单调递增 在上恒成立 又 在上恒成立 当时， ‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.‎ ‎11.已知球的半径为，矩形的顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为，则此矩形的最大面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出BD＝4，当AB＝AD时，矩形ABCD面积最大，此时AB2+AD2＝2AB2＝48，由此能求出此矩形的最大面积．‎ ‎【详解】∵球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，‎ 球心O到平面ABCD的距离为2，‎ ‎∴2，∴BD＝4，‎ 由不等式性质得到得到：当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，‎ 此时AB2+AD2＝DB2＝48，‎ 解得AB2＝AD2＝24，‎ ‎∴此矩形的最大面积S＝AB2＝24．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎12.定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可 ‎【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1‎ 当时，.则极大值点形成首项为1公差为2‎ ‎ 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列 故.,故 设S=‎ ‎3S=‎ 两式相减得-2S=1+2()-‎ ‎∴S=‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题 第Ⅱ卷非选择题（90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应横线上）‎ ‎13.若实数，满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最大值的求解问题；通过平移可知过时，截距最大，代入点坐标即可求得结果.‎ ‎【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 当取最大值时，直线在轴截距最大 平移直线可知，当过图中点时，在轴截距最大 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值问题的求解，通过图象平移找到最优解.‎ ‎14.二项式的展开式的常数项是___________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.‎ 详解：二项式的展开式的通项公式为,‎ 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.‎ ‎15.已知，命题：，，命题：，‎ ‎，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.‎ ‎【详解】若命题：“，”为真；‎ 则，‎ 解得：，‎ 若命题：“，”为真，‎ 则，‎ 解得：或，‎ 若命题“”是真命题，则，或，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎16.已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点M，延长，,与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义得，由，得，利用斜率得a的方程求解即可 ‎【详解】依题意得焦点的坐标为，‎ 过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，‎ 由抛物线的定义知，因为，所以，‎ 又，，所以，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ 求A；‎ 已知，的面积为的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。‎ ‎（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长。‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，‎ 化简得，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又的面积为，则，‎ 则，所以的周长为.‎ ‎【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18.已知三棱柱中，，侧面底面，是的中点，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，；结合等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可知平面；由线面垂直性质可知；根据三角形中位线知识可知，从而证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用二面角的空间向量求法即可求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）取中点，连接，‎ 在中，，‎ 是等边三角形 ‎ 又，，平面 平面 平面 ‎ 分别为中点 ‎ 故，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点，分别以方向为轴建立如下空间直角坐标系：‎ 如图所示，令，则，，，，.‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎，令，则， ‎ 又平面的法向量为，‎ 又二面角为钝二面角 二面角的余弦值为：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；证明线线垂直的常用解法是通过证明线面垂直关系，利用线面垂直的性质得到所证的线线垂直，属于常考题型.‎ ‎19.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；‎ 男 女 合计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 合计 ‎100‎ ‎（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.‎ 附：观测值公式：‎ 临界值表：‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意得，，计算，由，即可求解 ‎【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， ‎ 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.‎ 设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.‎ ‎（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，‎ 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.‎ 所以补全的列联表如下：‎ 男 女 合计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为，查表得，‎ 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.‎ ‎（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.‎ 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，.‎ 所以，.‎ 因为，则，所以的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题 ‎20.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，由此利用根判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解（1）由可得，又.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知直线方程为.‎ 联立得.‎ 由，得.①‎ 设，则.‎ ‎.‎ 原点在以线段为直径的圆外，‎ ‎ ，②‎ 由①②，解得.‎ 当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，（）.‎ ‎（Ⅰ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，若，若函数对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）首先确定函数定义域为，求出导数；当时，可知函数单调递增，根据可知满足题意；当时，可求得导函数的零点；当零点可知满足题意；当或结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当时，可知，得到，满足题意；当时，根据符号可知单调递增，由零点存在性定理可验证出，使得，从而得到在上单调递减，则，不满足题意，从而得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得：定义域为，则 ‎①当时，恒成立 在上单调递增 又 有唯一零点，即满足题意 ‎②当时 当时，；当时，‎ 即在上单调递减，在上单调递增 ‎⑴当，即时，，有唯一零点，满足题意 ‎⑵当，即时，‎ 又，且 ‎，使得，不符合题意 ‎⑶当，即时，‎ 设，，则 在上单调递增 ，即 又 ，使得，不符合题意 综上所述：的取值范围为：‎ ‎（Ⅱ）由题意得：，则，‎ ‎①当时，由得：恒成立 在上单调递增 ‎ 即满足题意 ‎②当时，恒成立 在上单调递增 又，‎ ‎，使得 当时，，即在上单调递减 ‎，则不符合题意 综上所述：的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与曲线，分别相交于异于原点的点，，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ，.(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出与的直角坐标方程，再解方程组求交点坐标得解；（2）不妨设，点，的极坐标分别为，，得到，再利用三角函数的性质求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）曲线直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 由解得或，‎ 故与交点的直角坐标为，.‎ ‎（2）不妨设，点，的极坐标分别为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以的最大值2.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标下两点间的距离的求法和最值的求解，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知关于的函数．‎ ‎（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出的最小值，解不等式即可；（Ⅱ）等价于，即，分为和两种情形讨论即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ 故m的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）∵的解集非空，∴，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，，恒成立，即均符合题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎∴不等式可化为，解之得.‎ 由①②得，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎