四川省宜宾市叙州区第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

四川省宜宾市叙州区第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年度秋四川省叙州区一中高一期中考试 数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正确利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，判断选项即可．‎ ‎【详解】解：A．∅中没有元素，故A不正确；‎ B．空集是任何集合的子集，故B正确；‎ C．空集不含任何元素，中含有一个元素零，二者不相等，故C不正确；‎ D．两个集合之间是含与不含的关系，故D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，考查集合与集合之间的关系，考查基本知识的应用．‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴集合 ‎∵集合 ‎∴‎ 故选A.‎ ‎3.满足条件的所有集合的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件,则说明中必含有元素3，然后进行讨论即可.‎ ‎【详解】，一定属于，‎ 则满足条件的或或或，共有4个，故选D.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可．‎ ‎【详解】解：选项A中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；‎ 选项B中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意；‎ 选项C中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意；‎ 选项D中，如图所示：函数为奇函数，且在R上为增函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数性质，涉及函数的奇偶性与单调性，考查学生对熟知函数的掌握情况，属于简单题目.‎ ‎5.下列选项中，表示的是同一函数的是 （ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，分别求解函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】对于A中，函数的定义域为，函数 的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；‎ 对于B中，和的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数；‎ 对于C中，函数与 的对应法则不同，所以不是同一个函数；‎ 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及其判定，其中熟记同一函数的基本概念，通过定义域和对应法则，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知函数 则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 又 故答案选 ‎7.设是定义在R上的奇函数，当时，，则 （ ）‎ A. 5 B. 1 C. －1 D. －5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x⩽0时,f(x)=3x2−2x，‎ ‎∴f(1)=−f(−1)=−(3+2)=−5，‎ 本题选择D选项.‎ ‎8.已知，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据整体法可求得，根据二次函数图象可知，代入求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 当时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是能够利用整体法求得函数的解析式，从而利用二次函数的性质来进行求解.‎ ‎9.若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，‎ ‎，，，‎ ‎，，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设 ， ‎ 在上单增，在上为增函数，在上为减函数，根据复合函数单调性判断法则“同增异减”可知，的单调递减区间为，选C.‎ ‎11.设则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由在区间是单调减函数可知，，又，故选.‎ 考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.‎ ‎【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.若____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，令，‎ 有.‎ 所以.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎14.若集合，且，则实数的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出k的值．‎ ‎【详解】解：∵集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，∴集合M＝{2，﹣3}，‎ ‎∵N⊆M，N＝{x|ax﹣1＝0}，‎ ‎∴N＝Φ，或N＝{2}，或N＝{﹣3}三种情况，‎ 当N＝Φ时，可得a＝0，此时N＝Φ；‎ 当N＝{2}时，∵N＝{x|ax﹣1＝0}，∴x2，∴a，‎ 当N＝{﹣3}，x3，∴a，‎ ‎∴a的可能值为0，，或﹣，‎ 故答案为：0，，或﹣．‎ ‎【点睛】此题考查集合子集的概念，用到分类讨论的思想，其中当N为空集，这一情况许多同学容易漏掉，要注意一下．‎ ‎15.已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的性质，分类讨论求得a的范围．‎ ‎【详解】解：函数在区间上恒有，‎ ‎，且 ；‎ 或，且．‎ 解得a无解或，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．对于对数函数，其单调性由来决定，当时，函数为单调递增函数；当时，函数为单调递减函数.单调函数的最值在区间的端点取得.‎ ‎16.已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 由，当时，无解，适合题意；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得，综上知，故填.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可得,可求得；（2）由知,对分类讨论:,可得的取值范围.‎ 试题解析：（1），；‎ ‎（2）‎ 考点：集合的运算；集合间的关系.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了集合的运算;集合间的关系.集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．‎ ‎18.已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断的单调性，并用定义加以证明；‎ ‎【答案】(1) ；(2) 在定义域上是减函数．证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据奇函数的性质f（0）＝0，求出a，再进行验证；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；‎ ‎【详解】（1）由题知的定义域为，‎ 因为是奇函数，所以，即 解得.‎ 经验证可知是奇函数，‎ 所以.‎ ‎（2）在定义域上减函数，‎ 由（1）知，，任取，且，‎ 所以.‎ ‎， ，‎ ‎，即 所以在定义域上是减函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，属于中档题．‎ ‎19.求:函数=)的最值及取得最值时的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 令=则=，利用二次函数的知识可得函数的最值以及对应x的值．‎ 试题解析：‎ 由题意得==，‎ 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴当，即时，；‎ 当，即时，．‎ 点睛：‎ ‎（1）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． ‎ ‎（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．‎ ‎20.已知f（x）为二次函数，且．‎ ‎（1）求f（x）的表达式； ‎ ‎（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．‎ ‎【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果；‎ ‎（2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果.‎ ‎【详解】（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），‎ 由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x， ‎ 从而， 解得：， ‎ 所以f（x）=x2﹣2x﹣1； ‎ ‎（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增． ‎ 理由如下：g（x）==，‎ 设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， ‎ 则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+）， ‎ ‎∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，1+＞0，‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），‎ 所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的解析式的求解以及单调性的判断与证明的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，用定义法证明函数的单调性，注意要掌握利用定义法证明函数单调性的步骤.‎ ‎21.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量（件）与销售单价 ‎（元/件）可近似看作一次函数的关系（如图所示）．‎ ‎（1）由图象，求函数的表达式；‎ ‎（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为元．试用销售单价表示毛利润，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？‎ ‎【答案】(1) ．(2) ;当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元，此时销售量是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线与方程的关系，将点和点分别代入运算即可得解；‎ ‎（2）将公司获得的毛利润表示为销售单价的函数，再由配方法求二次函数的最值即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）把点和点分别代入一次函数，‎ 可得，且，解得，，‎ 故一次函数的表达式为．‎ ‎（2）∵公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为，‎ 则．‎ 故函数的对称轴为，满足，故当时，函数取得最大值为62500元，‎ 即当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元，此时销售量为件.‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程 求法及二次函数在区间上的最值问题，重点考查了函数的应用，属中档题.‎ ‎22.已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ求证：在R上为增函数；‎ Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，‎ Ⅱ任取，，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；‎ Ⅲ根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】Ⅰ根据题意，在中，‎ 令，则，则有；‎ Ⅱ证明：任取，，且设，则，，‎ 又由，‎ 则，‎ 则有，‎ 故在R上为增函数．‎ Ⅲ根据题意，，‎ 即，则，‎ 又由，则，‎ 又由在R上为增函数，则，‎ 令，，则，‎ 则原问题转化为在上恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 令，只需，‎ 而，，‎ 当时，，则．‎ 故t的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎ ‎