【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第3节　等比数列及其前n项和教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第3节　等比数列及其前n项和教案

第三节　等比数列及其前n项和 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第83页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)‎ ‎(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)‎ A．－　　 B．－2　　　　C．2　　　　D． D　[由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，‎ 由②÷①得q3＝，‎ 解得q＝.故选D．]‎ ‎3．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.‎ ‎1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，‎ 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.‎ ‎∴＝＝＝1.]‎ ‎4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．‎ ‎27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]‎ ‎5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.‎ ‎6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，‎ 解得n＝6.]‎ ‎(对应学生用书第83页)‎ 等比数列的基本运算 ‎　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1　　　　　　 B．－ C．1或－ D．－1或 ‎(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．‎ ‎(1)C　(2)2n－1　[(1)根据已知条件得 ‎②÷①得＝3.‎ 整理得2q2－q－1＝0，‎ 解得q＝1或q＝－.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴ ‎∴Sn＝＝2n－1.]‎ ‎[规律方法]　解决等比数列有关问题的两种常用思想 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.‎ (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q ‎＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.‎ ‎[跟踪训练]　(1)[数学文化]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)‎ A．1盏　 B．3盏 C．5盏　　　D．9盏 ‎(2)(2018·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，a＋4a＝4a，则数列{an}的通项公式an＝________. 【导学号：97190176】‎ ‎(3)(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则＝(　　)‎ A．－ B． C． D． ‎(1)B　(2)2　(3)C　[(1)设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，‎ ‎∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.‎ 故选B．‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q(q＞0)，由a＋4a＝4a，an＞0，得(anq2)2＋4a＝4(anq)2，整理得q4－4q2＋4＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，所以an＝2×2＝2.‎ ‎(3)在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－，所以＝＝＝＝.]‎ 等比数列的判定与证明 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎[解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－.‎ 由S5＝得1－＝，‎ 即＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎[规律方法]　等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.‎ (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.‎ (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.‎ 提醒：(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定.‎ (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎[跟踪训练]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，‎ ‎∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，‎ 公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ 等比数列的性质及应用 ‎　(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎(2)已知{an}为各项都是正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　)‎ ‎【导学号：97190177】‎ A．150 B．－200‎ C．150或－200 D．400或－50‎ ‎(1)D　(2)A　[(1)由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8.‎ ‎(2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10×＝80，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.]‎ ‎[规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.‎ ‎2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·海口调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎(2)(2018·合肥二检)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.‎ ‎(1)A　(2)9　[(1)因为am·am＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}为常数列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，‎ 得m＝3，故选A．‎ ‎(2)由题意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]‎