2021高考数学大一轮复习单元质检三导数及其应用理新人教A版

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单元质检三　导数及其应用 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ ‎　单元质检卷第5页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)‎ A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 答案:C 解析:根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.‎ ‎2.设曲线y=x+1‎x-1‎在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于(　　)‎ A.2 B.-2 C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案:B 解析:因为y=x+1‎x-1‎的导数为y'=‎-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-‎1‎‎2‎.‎ 又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·‎-‎‎1‎‎2‎=-1,解得a=-2.‎ ‎3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1‎ 答案:B 解析:求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.‎ ‎4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-‎3‎]∪[‎3‎,+∞) B.[-‎3‎‎,‎‎3‎]‎ C.(-∞,-‎3‎)∪(‎3‎,+∞) D.(-‎3‎‎,‎‎3‎)‎ 答案:B 12‎ 解析:由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-‎3‎≤a≤‎3‎.‎ ‎5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案:A 解析:由f'(x)=2x+1-‎1‎x‎=‎‎2x‎2‎+x-1‎x=0,得x=‎1‎‎2‎或x=-1(舍去).当0‎1‎‎2‎时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎+ln2>0,所以无零点.‎ ‎6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)‎ A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案:D 解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.‎ 由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.‎ ‎7.已知当x∈‎1‎‎2‎‎,2‎时,a≤‎1-xx+ln x恒成立,则a的最大值为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案:A 解析:令f(x)=‎1-xx+lnx,则f'(x)=x-1‎x‎2‎.‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,1‎时,f'(x)<0;‎ 当x∈(1,2]时,f'(x)>0.‎ ‎∴f(x)在区间‎1‎‎2‎‎,1‎内单调递减,在(1,2]上单调递增,‎ ‎∴在x∈‎1‎‎2‎‎,2‎上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.‎ ‎8.(2019江西南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎,且f(x1)0 B.x1+x2>0‎ 12‎ C.x‎1‎‎2‎‎-‎x‎2‎‎2‎>0 D.x‎1‎‎2‎‎-‎x‎2‎‎2‎<0‎ 答案:D 解析:由f(x)=xsinx,得f'(x)=sinx+xcosx,当x∈‎0,‎π‎2‎时,f'(x)>0,故f(x)在区间‎0,‎π‎2‎内单调递增.又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),∴f(x)为偶函数,∴当f(x1)g(1)=1.‎ 又0<α<π‎2‎,∴α∈π‎4‎‎,‎π‎2‎.‎ ‎10.已知函数f(x)=-‎2f'(1)‎‎3‎x-x2的最大值为f(a),则a等于(　　)‎ A.‎1‎‎16‎ B.‎3‎‎4‎‎4‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎3‎‎4‎‎8‎ 答案:B 解析:∵f'(x)=-‎2f'(1)‎‎3‎‎·‎‎1‎‎2‎x-2x,‎ ‎∴f'(1)=-‎1‎‎3‎f'(1)-2,‎ 解得f'(1)=-‎3‎‎2‎,‎ 12‎ ‎∴f(x)=x-x2,f'(x)=‎1-4xx‎2‎x.‎ 令f'(x)>0,解得x<‎3‎‎4‎‎4‎,令f'(x)<0,解得x>‎3‎‎4‎‎4‎,‎ 故f(x)在区间‎0,‎‎3‎‎4‎‎4‎内递增,在区间‎3‎‎4‎‎4‎‎,+∞‎内递减,‎ 故f(x)的最大值是f‎3‎‎4‎‎4‎,a=‎3‎‎4‎‎4‎.‎ ‎11.若函数f(x)=x‎3‎‎3‎‎-‎a‎2‎x2+x+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.‎2,‎‎5‎‎2‎ B.‎2,‎‎5‎‎2‎ C.‎2,‎‎10‎‎3‎ D.‎‎2,‎‎10‎‎3‎ 答案:C 解析:若f(x)=x‎3‎‎3‎‎-‎a‎2‎x2+x+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有极值点,‎ 则f'(x)=x2-ax+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.‎ 由x2-ax+1=0,得a=x+‎1‎x.‎ 因为x∈‎1‎‎2‎‎,3‎,y=x+‎1‎x的值域是‎2,‎‎10‎‎3‎,‎ 当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.‎ 所以实数a的取值范围是‎2,‎‎10‎‎3‎,‎ 故选C.‎ ‎12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,0‎‎∪‎‎1‎e‎,+∞‎ B.‎‎0,‎‎1‎e C.‎1‎e‎,+∞‎ D.(-∞,0)‎ 答案:A 解析:由题意知,a=x‎(2ex-y)lnyx.‎ 设yx=t(t>0,且t≠1),‎ 12‎ 则a=‎1‎‎(2e-t)lnt‎,‎‎1‎a=(2e-t)lnt.‎ 令f(t)=(2e-t)lnt,f(t)≠0,‎ 则f'(t)=‎2et-(1+lnt).‎ 令‎2et=1+lnt,得t=e.由数形结合可知,当t>e时,f'(t)<0;当00.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<‎1‎a≤e或‎1‎a<0,解得a<0或a≥‎1‎e.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎6‎ 解析:由x-x2=0,得x=0或x=1.‎ 因此,所围成的封闭图形的面积为‎0‎‎1‎(x-x2)dx=x‎2‎‎2‎‎-‎x‎3‎‎3‎‎0‎‎1‎‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎.‎ ‎14.(2019陕西渭南质检)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ 答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)‎ 解析:∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),‎ ‎∴a+b=4.①‎ ‎∵f'(x)=3ax2+2bx,‎ ‎∴f'(1)=3a+2b.‎ 由题意可知,f'(1)·‎-‎‎1‎‎9‎=-1,即3a+2b=9.②‎ 联立①②解得a=1,b=3.‎ ‎∴f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x.‎ 令f'(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.‎ ‎∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,‎ 12‎ ‎∴m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.‎ ‎15.函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)0),‎ 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;‎ 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,‎ 所以当x=1时,函数有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,‎ 令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).‎ ‎16.已知函数f(x)=xln x+‎1‎‎2‎x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:‎ ‎①0‎1‎e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.‎ 其中正确的命题是　　　　　.(填出所有正确命题的序号) ‎ 答案:①③‎ 解析:由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=‎1‎x+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g‎1‎e‎=‎‎1‎e>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g‎1‎e>g(x0),所以0‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由f'(x)=‎(1-x)(‎2x-1‎-2)‎e‎-x‎2x-1‎=0,‎ 解得x=1或x=‎5‎‎2‎.‎ 因为 x ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎1‎ ‎1,‎‎5‎‎2‎ ‎5‎‎2‎ ‎5‎‎2‎‎,+∞‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎1‎‎2‎e‎-‎‎1‎‎2‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎1‎‎2‎e‎-‎‎5‎‎2‎ ‎↘‎ 又f(x)=‎1‎‎2‎‎(‎‎2x-1‎-1)2e-x≥0,‎ 所以f(x)在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎内的取值范围是‎0,‎‎1‎‎2‎e‎-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎18.(12分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.‎ ‎(1)若a=0,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.‎ 当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.‎ 故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.‎ ‎(2)f'(x)=ex-1-2ax.‎ 由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.‎ 12‎ 当a≤‎1‎‎2‎时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内是增函数,因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.符合题意.‎ 当a>‎1‎‎2‎时,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).‎ 所以f'(x)0.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)当x>2a时,证明:f(x)-f(2a)‎x-2a‎>‎‎3‎‎2‎a.‎ ‎(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-a‎2‎x‎=‎‎(x+a)(x-a)‎x.‎ 当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.‎ 所以当x=a时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)=‎1‎‎2‎a2-a2lna.‎ ‎(2)证明由(1)知,f(x)在区间(2a,+∞)内单调递增,‎ 则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-‎3‎‎2‎a(x-2a)>0.‎ 设g(x)=f(x)-f(2a)-‎3‎‎2‎a(x-2a),‎ 则当x>2a时,g'(x)=f'(x)-‎3‎‎2‎a=x-a‎2‎x‎-‎‎3‎‎2‎a=‎(2x+a)(x-2a)‎‎2x>0,‎ 所以g(x)在区间(2a,+∞)内单调递增.‎ 所以当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,即f(x)-f(2a)-‎3‎‎2‎a(x-2a)>0,故f(x)-f(2a)‎x-2a‎>‎‎3‎‎2‎a.‎ ‎20.(12分)(2019云南曲靖沾益四中高三三模)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x,a∈R.‎ ‎(1)当a≥0时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数h(x)=f(x)+3ax2+3x的极值大于零,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=‎1‎x-2ax-2=‎-2ax‎2‎-2x+1‎x,‎ 12‎ 当a=0时,令f'(x)=‎-2x+1‎x=0,得x=‎1‎‎2‎.‎ 所以当x∈‎0,‎‎1‎‎2‎时,f'(x)>0,f(x)单调递增;‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,+∞‎时,f'(x)<0,f(x)单调递减.‎ 当a>0时,令f'(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为Δ=(-2)2-4×(-2a)=4+8a>0,x>0,所以x=‎-1+‎‎1+2a‎2a.‎ 故函数f(x)在区间0,‎-1+‎‎1+2a‎2a内单调递增,‎ 在区间‎-1+‎‎1+2a‎2a‎,+∞‎内单调递减.‎ 综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为‎0,‎‎1‎‎2‎,单调递减区间为‎1‎‎2‎‎,+∞‎;‎ 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为‎0,‎‎-1+‎‎1+2a‎2a,单调递减区间为‎-1+‎‎1+2a‎2a‎,+∞‎.‎ ‎(2)由题意可知,函数h(x)=lnx+2ax2+x,‎ 所以h'(x)=‎1‎x+4ax+1=‎4ax‎2‎+x+1‎x(x>0).‎ ‎①当a≥0时,h'(x)>0,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值,不符合题意;‎ ‎②当a<0时,由h'(x)=0可得4ax2+x+1=0,‎ 则Δ=1-16a>0,且两根之积为x1x2=‎1‎‎4a<0,‎ 不妨设x1<0,x2>0,x2=‎-1-‎‎1-16a‎8a,‎ 则由h'(x)=0可得x=x2,‎ 故h(x)在区间(0,x2)内单调递增,‎ 在区间(x2,+∞)内单调递减,‎ 所以x=x2为极值点.‎ 由题意可知,h(x2)=lnx2+2ax‎2‎‎2‎+x2>0.‎ 又4ax‎2‎‎2‎+x2+1=0,‎ 所以lnx2+x‎2‎‎-1‎‎2‎>0.‎ 12‎ 构造函数g(x)=lnx+x-1‎‎2‎,‎ 则g'(x)=‎1‎x‎+‎‎1‎‎2‎>0,‎ 所以函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.‎ 又g(1)=0,所以由g(x)>0,‎ 解得x>1,‎ 即x2=‎-1-‎‎1-16a‎8a>1,‎ 解得-‎1‎‎2‎kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎(1)解∵f(x)=ex-x2+a,∴f'(x)=ex-2x.‎ 由已知,得f(0)=1+a=0,‎f'(0)=1=b,‎解得a=-1,‎b=1.‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.‎ ‎(2)证明令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.‎ 由φ'(x)=0,得x=0.‎ 当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;‎ 当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.‎ 故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.‎ ‎(3)解f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)‎x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.‎ 令g(x)=f(x)‎x,x>0,‎ 则g'(x)=‎xf'(x)-f(x)‎x‎2‎‎=‎x(ex-2x)-(ex-x‎2‎-1)‎x‎2‎ 12‎ ‎=‎(x-1)(ex-x-1)‎x‎2‎.‎ 由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,‎ 由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得00,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:b2>3a;‎ ‎(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-‎7‎‎2‎,求a的取值范围.‎ ‎(1)解由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+‎a‎3‎‎2‎+b-a‎2‎‎3‎.‎ 当x=-a‎3‎时,f'(x)有极小值b-a‎2‎‎3‎.‎ 因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,‎ 所以f‎-‎a‎3‎=-a‎3‎‎27‎‎+a‎3‎‎9‎-‎ab‎3‎+1=0,‎ 又a>0,故b=‎2‎a‎2‎‎9‎‎+‎‎3‎a.‎ 因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-a‎2‎‎3‎‎=‎‎1‎‎9a(27-a3)≤0,即a≥3.‎ 当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;‎ 当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=‎-a-‎a‎2‎‎-3b‎3‎,x2=‎-a+‎a‎2‎‎-3b‎3‎.‎ 列表如下:‎ x ‎(-∞,x1)‎ x1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)的极值点是x1,x2.‎ 12‎ 从而a>3.‎ 因此b=‎2‎a‎2‎‎9‎‎+‎‎3‎a,定义域为(3,+∞).‎ ‎(2)证明由(1)知,ba‎=‎2aa‎9‎+‎‎3‎aa.‎ 设g(t)=‎2t‎9‎‎+‎‎3‎t,则g'(t)=‎2‎‎9‎‎-‎3‎t‎2‎=‎‎2t‎2‎-27‎‎9‎t‎2‎.‎ 当t∈‎3‎‎6‎‎2‎‎,+∞‎时,g'(t)>0,从而g(t)在区间‎3‎‎6‎‎2‎‎,+∞‎内单调递增.‎ 因为a>3,所以aa>3‎3‎,‎ 故g(aa)>g(3‎3‎)=‎3‎,即ba‎>‎‎3‎.‎ 因此b2>3a.‎ ‎(3)解由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-‎2‎‎3‎a,x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=‎‎4a‎2‎-6b‎9‎.‎ 从而f(x1)+f(x2)=x‎1‎‎3‎+ax‎1‎‎2‎+bx1+1+x‎2‎‎3‎+ax‎2‎‎2‎+bx2+1=x‎1‎‎3‎(3x‎1‎‎2‎+2ax1+b)+x‎2‎‎3‎(3x‎2‎‎2‎+2ax2+b)+‎1‎‎3‎a(x‎1‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎)+‎2‎‎3‎b(x1+x2)+2=‎4a‎3‎-6ab‎27‎‎-‎‎4ab‎9‎+2=0.‎ 记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-a‎2‎‎3‎=-‎1‎‎9‎a2+‎3‎a,‎ 所以h(a)=-‎1‎‎9‎a2+‎3‎a,a>3.‎ 因为h'(a)=-‎2‎‎9‎a-‎3‎a‎2‎<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.‎ 因为h(6)=-‎7‎‎2‎,于是h(a)≥h(6),‎ 故a≤6.‎ 因此a的取值范围为(3,6].‎ 12‎