2020届江苏省高考数学二轮复习综合仿真练（六）

2020届江苏省高考数学二轮复习综合仿真练（六）

综合仿真练(六)‎ ‎1.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．‎ 求证：(1)MN∥平面EBC；‎ ‎(2)EA⊥平面EBC.‎ 证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，‎ 又M是AE的中点，‎ 所以MF綊AB.‎ 又N是矩形ABCD边CD的中点，‎ 所以NC綊AB，所以MF綊NC，‎ 所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.‎ 又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，‎ 所以MN∥平面EBC. ‎ ‎(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，‎ 又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，‎ 所以BC⊥平面EAB.‎ 又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.‎ 又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ 解：(1)因为点P的横坐标为，点P在单位圆上，α为锐角，‎ 所以cos α＝，‎ 所以cos 2α＝2cos2α－1＝.‎ ‎(2)因为点Q的纵坐标为，点Q在单位圆上，‎ 所以sin β＝.‎ 又β为锐角，所以cos β＝.‎ 因为cos α＝，且α为锐角，‎ 所以sin α＝，‎ 因此sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ 所以sin(2α－β)＝×－×＝.‎ 因为α为锐角，所以0<2α<π.‎ 又cos 2α>0，所以0<2α<，‎ 又β为锐角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝.‎ ‎3.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．‎ ‎(1)求a，b的值．‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域．‎ ‎②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．‎ 解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．‎ 将其分别代入y＝，得 解得 ‎(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，‎ 则点P的坐标为.‎ 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，‎ 则l的方程为y－＝－(x－t)，‎ 由此得A，B.‎ 故f(t)＝ ‎＝ ，t∈[5,20]．‎ ‎②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.‎ 令g′(t)＝0，解得t＝10.‎ 当t∈(5,10)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；‎ 当t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数．‎ 从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，‎ 所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.‎ 答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．‎ ‎4.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；‎ ‎(3)若F1C⊥AB，求k的值．‎ 解：(1)由题意得解得 ‎∴椭圆E的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k>0，‎ ‎∴点C在x轴下方，‎ 若F1C＝F2C，则C(0，－)；‎ 若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－)；‎ 若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－)，‎ ‎∴C(0，－)．‎ ‎∴直线BC的方程y＝(x－1)，‎ 由得或 ‎∴B.‎ ‎(3)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，‎ 由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，‎ ‎∴xA·xB＝－2xB＝，‎ ‎∴xB＝，‎ ‎∴yB＝k(xB＋2)＝，‎ ‎∴B.‎ 若k＝，则B，∴C，‎ ‎∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－，‎ ‎∴F1C与AB不垂直；∴k≠，‎ ‎∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，‎ ‎∴直线BF2的方程为y＝(x－1)，‎ 直线CF1的方程为y＝－(x＋1)，‎ 由解得 ‎∴C(8k2－1，－8k)．‎ 由点C在椭圆上，得＋＝1，‎ 即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝，‎ ‎∵k>0，∴k＝.‎ ‎5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4－an.‎ ‎(1)求证：数列{an}为等比数列，并求通项公式an；‎ ‎(2)是否存在自然数c和k，使得＞1成立？若存在，请求出c和k的值； 若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)当n＝1时，S1＋a1＝4，得a1＝2, ‎ 由Sn＝4－an，①‎ 得Sn＋1＝4－an＋1，②‎ ‎②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an, ‎ 所以＝，且a1＝2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且an＝. ‎ ‎(2)法一：因为an＝，‎ 所以ak＋1＝，Sk＝4， ‎ 要使＝>1成立，只要使<0(*)成立，‎ 当c≥4时，不等式(*)不成立； ‎ ‎(也可以根据Sk＝4>c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值为0,1,2,3)‎ 当c＝0时，1<2k<，不存在自然数k使(*)成立；‎ 当c＝1时，<2k<2，不存在自然数k使(*)成立；‎ 当c＝2时，2<2k<3，不存在自然数k使(*)成立；‎ 当c＝3时，4<2k<6，不存在自然数k使(*)成立．‎ 综上所述，不存在自然数c，k，使>1成立. ‎ 法二：要使＞1，只要>2，‎ 即只要<0，‎ 因为Sk＝4<4，‎ 所以Sk－＝2－Sk>0，‎ 故只要Sk－2＜c＜Sk.① ‎ 因为Sk＋1＞Sk，‎ 所以Sk－2≥S1－2＝1.‎ 又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3. ‎ 当c＝2时，因为S1＝2，所以当k＝1时，c＜Sk不成立，从而①不成立．‎ 当k≥2时，因为S2－2＝>c，‎ 由Sk＜Sk＋1，得Sk－2＜Sk＋1－2，‎ 故当k≥2时，Sk－2＞c，从而①不成立. ‎ 当c＝3时，因为S1＝2，S2＝3，‎ 所以当k＝1，k＝2时，c＜Sk不成立，从而①不成立．‎ 因为S3－2＝>c，又Sk－2＜Sk＋1－2，‎ 所以当k≥3时，Sk－2＞c，从而①不成立. ‎ 综上所述，不存在自然数c，k，使>1成立．‎ ‎6．(2019·南通中学模拟)已知函数f(x)＝ax＋＋6，其中a为实常数．‎ ‎(1)若f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)已知a＝，P1，P2是函数f(x)图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；‎ ‎(3)设定义在区间D上的函数y＝s(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝t(x)，当x≠x0时，若>0在D上恒成立，则称点P为函数y＝s(x)的“好点”．试问函数g(x)＝x2f(x)是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由. ‎ 解：(1)法一：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，即为(a－3)x2＋6x＋2>0在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎①a＝3时，结论成立；②a>3时，函数h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2图象的对称轴为x＝－<0，所以函数h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2在(1，＋∞)单调递增，依题意h(1)>0，即a>－5，所以a>3；③a<3不合要求，综上可得，实数a的取值范围是a≥3. ‎ 法二：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立等价于a>－－＋3，‎ 令h(x)＝－－＋3＝－22＋ 因为x>1，所以0<<1，故－50对任意x≠x0恒成立，因为 ‎＝ ‎＝ ‎＝[a(x2＋x0x＋x)＋6(x＋x0)＋2]－(3ax＋12x0＋2)‎ ‎＝ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)，‎ 所以ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0对任意x≠x0恒成立，‎ ‎①若a≤0，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0不可能对任意x≠x0恒成立，‎ 即a≤0时，不存在“好点”；‎ ‎②若a>0，因为当x＝x0时，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)＝0，‎ 要使ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0对任意x≠x0恒成立，‎ 必须Δ＝(ax0＋6)2＋4a(2ax＋6x0)≤0，(ax0＋2)2≤0，所以x0＝－，‎ 综上可得，当a≤0时，不存在“好点”；当a>0时，存在惟一“好点”为.‎