安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（文）试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（文）试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（文）试卷 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟 考生注意：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的。‎ ‎1．已知集合U＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛3，4，5，6｝则A∩CUB＝‎ ‎　A、｛1，2，3，4｝}B、｛1，2，7｝}C、｛1，2｝}D、｛1，2，3｝‎ ‎2．下列各式的运算结果虚部为1的是 ‎　A、　　 　B、　　　C、2＋ 　D、‎ ‎3、从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中， 任意安排 2 名同学早上到校门口值日， 另外 2 名同学下午到校门口值日， 则甲和丁不在一起值日的概率为 A、　　B、　　C、　　D、‎ ‎4．若实数x，y满足的最大值是 ‎　A、9　　　B、12　　　C.3　　　　D、6‎ ‎5．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国 到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”‎ 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是 ‎①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 ‎②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ‎③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 ‎　A、①②③　　B、②③　　C、①②　　D、③‎ ‎6．已知椭圆C：的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于 2， 则椭圆 C的方程为 ‎ ‎　‎ ‎7．已知函数的图象与直线y＝a(0 f (x)sin x （ 其中 f ¢(x) 是函数 f (x) 的导函数）， 则下列不等式成立的是 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13． 已知函数 则 f [ f (-2)] = _____.‎ ‎14． 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 S1 = 1， S5 = 25 ， 则 S6 = ____.‎ ‎15． 已知过点 (1,0) 的直线 l 被圆 x2 + y2 - 6x - 7 = 0 截得的弦长为 2， 则直线 l 的方程为______.‎ ‎16．体积为的三棱锥A-BCD中，BC＝AC=BD=AD=3，CD＝2，AB，则 该三棱锥外接球的表面积为_____‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，‎ 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．(本小题12分)‎ 设 DABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， 已知 b tan A = (2c -b) tan B ‎（ 1） 求角 A 的大小；‎ ‎（ 2） 若 DABC 的面积为 3， b + c = 5， 求 a 的值 ‎18.(本小题12分)‎ 在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝AB ‎（1）证明：BC⊥PA ‎（2）若PA＝PC＝AC＝，Q 在线段 PB 上，满足 PQ = 2QB ， 求三棱锥 P-ACQ 的体积。‎ ‎19.（本小题12分）‎ 从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查， 发现其用电量都在 50 到 350 度之间， 频率 分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中的 x值并估计这 50 户用户的平均用电量.‎ ‎（2）若将用电量在区间[50，150) 内的用户记为 A类用户， 标记为低用电家庭， 用电量 在区间[250，350)内的用户记为 B 类用户， 标记为高用电家庭， 现对这两类用户进行问 卷调查， 让其对供电服务进行打分， 打分情况见茎叶图：‎ ‎①从 B 类用户中任意抽取 1 户， 求其打分超过 85 分的概率；‎ ‎②若打分超过 85 分视为满意， 没超过 85 分视为不满意， 请填写下面列联表， 并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关” ？‎ ‎20． (本小题 12 分) 已知函数 ‎ ‎（ 1） 讨论函数 f (x) 的单调性；‎ ‎（ 2） 若 f (x) ³ a ， 求 a 的取值范围 ‎ ‎21． (本小题 12 分) 已知抛物线 C ：， 过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点， 且 A,B两点在抛物线 C 的准线上的投影分别 P 、 Q .‎ ‎（ 1） 已知 D(-1,0) ， 若＝0， 求直线 l 的方程； ‎ ‎（ 2） 设 P、Q 的中点为 M ， 请判断 PF 与 MB 的位置关系并说明理由 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题记分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：为参数，已知直 线，直线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立 极坐标系.‎ ‎（1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线2l与曲线C分别交于O、B两点，‎ 求△AOB的面积.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数 ‎（1）当a＝－2时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若 数学（文科）参考答案 一、选择题:本大題也2小題每小题5分，满分60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎■‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C A A A D C A D A A,C ‎、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13. — ； 14.36 ； 15. 〜— V5" = 0 或 + y — = 0 ; 16. —71、‎ 4 3‎ ‎17.(本小题12分)‎ 解：(1)由正弦定理得，sinB•坐4 = (2sinC-sing)•竺兰 1分 cos A cos 5‎ 因为 sin5^ 0 所以 sinZcosZ = 2sinCcosZ —cos/sinW sin A cos B + cos A sin B = 2 sin Ceos 2 分 sin(M + B) = 2 sin C cos N .3 分 sinC = 2sinCcos J 4 分 因为C u (0,tt),所以sinC # 0?所以cosA = -,‎ ‎2‎ 勿 因为Ze(0,勿),所以~ 6分 1 r ‎(2)因为SAABC = — bcsinA~——be = 3a/3 ,‎ 2 ‎4‎ 所以阮= 12, : 8分 因为b + c = 5也,所以b1 -^2bc + c2 = 50 ,‎ 所以屏+疽=26, 10分 根据余弦定理得，a2 = b2 +c2- 2bccos^4 = 26-12 = 14‎ 所以 a = 12 分 ‎18.(本小题 12分) / C Q 解；(1)证明：不妨设 AB = 2硏则 AC = CD = D4 = q D A 由MCD是等边三角形得，zL4CD = y 乏二11 B 第18题图 ‎7t 由余弦定理得,‎ 即BC = j3at 所以BC2 +AC2=AB2t 所以七彼二9俨，即BC1AC 3分 又平面24C丄平面ABCD 」‎ 平面PACH平面ABCD = AC 了 BCu 平面 4BCD ‎.BCV平面 5 分 ‎-PAcz平面用C ‎:.BC1PA 6 分 ‎(2)依题意得，PA.LPC ‎^P-ACQ = ^Q-PAC ~ § ^B-PAC 8 分 2 ‎1‎ ‎=—x — S昭ac ' BC .9 分 3 ‎3 *‎ 2 ‎11‎ ‎-~x-x-xP^-PC-BC 10 分 3 ‎3 2‎ ‎= 2x1x1xV2xV2x273 = ^ 12 分 1 ‎3 2 9 19.(本小题12分)‎ ‎1‎ 解:(1)由已知，x = ~(0.006 +■ 0.0036 + 0.0024 x2 + 0.0012) = 0.0044, 2 分 由频率分布直方图，估计这50户用户的平均用电量为 ‎50 x (75 x 0.0024 +125 x 0.0036 +175x0.006 +225 x 0.0044 + 275 x 0.0024 + 325 x 0.0012) = 186 4 分 ‎(2)①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，由样本估计总体 5分 设从3类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分为事件A 6分 则 P(A) = - =- 7 分 ‎9 3‎ ‎②填写列联表如下;‎ 满意 不满意 合计 |‎ ‎，类用户 1‎ ‎6‎ ‎9‎ B类用户 ‎6‎ ‎3‎ ‎9 J 合计 1‎ ‎12‎ ‎ 12‎ ‎24 |‎ 砰= 1.6 V 3.841, ‎ ‎12x12x9x15‎ ‎….11分 所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关” ‎ ‎■‎ ‎12分 ‎20.(本小题12分)‎ 解：(1) /(x)的定义域为(。,+8) ‎ ‎ 1分 又尸(x)=丄京滂 ‎ X X X ‎ 2分 ‎① 当QV0时，在(0,+。。)上，/(x)>0, /(x)是增函数…… ‎ ‎ 3分 ‎②当 U A 0 时，/7(x) = 0 ,得 X = £7 ,‎ 在(0,q)上，ff(x) < 0 ' /(X)是减函数； ‎ 在(a5+a))±, r(x)>0t /(对是增函数 ‎ ‎(2)由(1)知 ‎①当。<0 时，/(；) = —In2 + 2q2a,即 a>ln 2 不成立； ‎ ‎ 6分 ‎②当r>0时，‎ ‎/(^) > a , SP > a , ‎ ‎ 7分 因为々>0,由(1)知：当x = a时，/O)取得极小值也是最小值，‎ 所以 /Wmin = bl « + 1 > £7 8 分 即lna + l>a olna-々 + l20成立 ‎4" h(a) = In a - a + l(a > 0) …: 9 分 ‎1 i~a T(a) = — — 1 = ― =0,解得 a = l, 10 分 a a 在(0,1)上，"(a)>0,所以是增函数，‎ 在(l,*o)上，hf(a) < 0 ,万(a)是减函数，‎ 所以，当& = 1时，/?(>)有最大值力(1) = 0 .. 11分 要使得h(a)>Q 即：a = 1‎ 所以实数々的取值范围是a = l 」2分 ‎21.（本小题12分）‎ 解:（1）抛物线C: y = — x2，化为子=4>>，所以抛物线C的焦点^（0,1） 1分 ‎4‎ 设&冲弟，硏如乃），所以汤=（冶见），而=（气弟，而=（-1,0），‎ 羽 + 面+ QD =（X] + x2 -1必+,，2） 2 分 由（OA + OB^OD）-OD = Qt 得而+易=1, 3 分 又调=4>，对=4%，两式相减得：（邑f 2）（也+工2）= 4。1 一力），‎ 所以= : 4分 x} -x2 4‎ ‎1‎ 所以直线/的方程为：^ = 7x + l 5分 ‎4‎ ‎（2） PFHMB,理由如下： 6分 依题意可知抛物线C的准线方程为：丿=-1，‎ 依题意可设直线/的方程为：,=奴+ 1，‎ ‎¥ = fcc + l 联立< 1 2消 > 得疽—4Ax-4 = 0 ,‎ 所以X] +菅 =4k , XyX2 =一4, 8分 又户（气-1）, 0如t）；M%*,t），‎ 所以戸戸=（一而,2）,协=（易_石；改疗2 +1）=（五°五，无+1）， 9分 因为 2 x %2- X- -（F ）。2 +1）‎ L ‎=工2 — X] + X]刀 + X1‎ ‎= R + X必 ‎-x2 +x1(foc2 +1)‎ ‎=无 + Xc + 奴,X.‎ ‎=4" (-4*) = 0 .11 分 所以 TF//MB,所以PF//MB 12 ‎ 分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第-题记分。 22」选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）‎ x = 3 + 3 cos a 解：（1）依题意，由曲线C的参数方程｛ （a为参数），‎ y = 3sma 消参得3-3）2十尸=9,故曲线C的普通方程为泌+，2一6工=0 1分 由/?2=工2+寸，x = qcosQ, y = psind ,得 2 分 曲线C的极坐标方程为Q = 6cos0 3分 ‎7T 7T ‎«,匕的极坐标方程为小0 = ；(peR)，/2：。= ；3顿) 5分 ‎6 .3‎ ‎(2)把8 =巴代入q = 6cosQ,得r=30,所以成3占,勻， 6分 ‎6 6‎ ‎7T TT 把(9 二;代入 p = 6cos0f 得 /?2=3,所以 5(3, y), 7 分 所以电彼 ~~PiPi sin匕408 = —x3>/3 x3xsin(—-—)=史3 10 分 ‎23」选修4・5：不等式选讲](10分) 解：(1)当 a = 时，/(x) = |x-2L 则-‎ 1 ‎3 4‎ ‎1 0 1‎ ‎——< x-2< —‎ ‎3 . 3‎ c 1土 ‎ x-2< —— 或 x-2芻一 ‎—0, f(b-a-2')=b~2<~..…….7 分 贝!]|2(7 + Z?-4|=|2(7-2 + A- 2|<2|(3-l| + |Z>-2|< 专 + ： = $‎ 所以|2々+万一4|v$得证 10分